2023年湖南省娄底市涟源市中考数学一模试卷（含答案解析）

2023年湖南省娄底市涟源市中考数学一模试卷

1.  “学习强国”平台上线的某天，全国约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  代数式有意义，那么x应满足的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在数轴上表示不等式组的解集，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  某纺织厂从10万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么估计该厂10万件产品中合格品为(    )

A. 万件 B. 95万件 C. 9500件 D. 5000件

7.  如图，OA是北偏东方向的一条射线，若，则OB的方位角是(    )

A. 西北方向
B. 北偏西
C. 北偏西
D. 西偏北

8.  若反比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值可能是(    )

A. 7 B. 5 C. 3 D. 1

9.  若，，则一次函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  今年，郑凯12岁，他爸39岁年后郑凯年龄是他爸的一半，则x是(    )

A. 10 B. 12 C. 14 D. 15

11.  已知a、b、c是的三条边，且满足，则一定是(    )

A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

12.  如图，中，，AD是的角平分线交BC于点D，于点E，于点F，，则CF的长为(    )

A. 4
B. 6
C. 9
D. 12

13.  如果一组数据4，x，2，3，6的平均数是4，那么这组数据的中位数是______ .

14.  已知，是方程的两个根，则______ .

15.  已知m为实数，则点一定在第______ 象限.

16.  两位同学玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是______ .

17.  将一副三角尺按如图的方式拼摆，则的度数为______

18.  如图，下列是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的数量是______ 个用含有n的式子表示
 

19.  计算：

20.  先化简，再求值：，其中x的值从，0，1，2中选取.

21.  购物支付方式日益增多，主要有：A微信，B支付宝，C现金，D其他.数学兴趣小组对消费者的支付方式进行了抽样调查，得到如两幅不完整的统计图.请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
本次一共调查了多少名消费者？
补全条形统计图；
求扇形统计图中D对应的圆心角度数.
 

22.  如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为，在点C处测得摄像头M的仰角为，求学校大门ME的高是多少米.

23.  直播带货已经成为年轻人的购物时尚.为回馈粉丝，直播带货达人甜甜姐推出促销措施，在她的直播间按市场价购买火狐狸服装，均可到线上客服处领取的补贴.粉丝丽丽因此购买了一件皮衣和一件毛衣，共花去6000元，已知皮衣单价比毛衣单价的2倍还多600元.
丽丽所买皮衣与毛衣的单价各是多少元？
丽丽可以到线上客服处领取多少元补贴？

24.  如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使，依次连接B，F，D，E各点.
求证：≌；
若，当四边形BFDE是正方形时，求的度数.

25.  如图，AB是的直径，C是上一点，于点D，过点A作的切线，交OD的延长线于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点
求证：PC是的切线；
若，，求BE的长.

26.  如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴为直线，且
求抛物线的解析式；
连接求证：；
点P是x轴上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
 

2.【答案】B 

【解析】解：是轴对称图形，不符合题意；
B.不是轴对称图形，符合题意；
C.是轴对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，不符合题意，
故选：
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
本题考查轴对称图形的识别，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
 

3.【答案】C 

【解析】解：代数式有意义，
，
解得：
故选：
直接利用二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
 

4.【答案】C 

【解析】解：不等式组的解集为，
在数轴上表示为
.
故选：
先表示出不等式组的解集，然后利用数轴表示出解集即可．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意定界点，要注意点是实心还是空心；定方向，小于向左，大于向右．
 

5.【答案】C 

【解析】解：从左面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形。
故选：C。
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中。
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图。
 

6.【答案】A 

【解析】解：根据抽样调查的结果可知，该纺织厂的合格率为：，
故该厂10万件产品中的合格品为：万件，
故合格品为万件，
故选：
根据抽样调查中的合格率，计算出10万件产品中的合格品数量即可．
本题考查由样本估算整体，能够熟练地整理数据，并从数据中获取有用的信息是解决本题的关键．
 

7.【答案】C 

【解析】解：如图：

由题意得：，
，
，
的方位角是北偏西，
故选：
根据方向角的定义可得：，然后利用角的和差关系可求出，从而根据方向角的定义，即可解答．
本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
 

8.【答案】D 

【解析】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
解得：
选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意；
故选：
根据反比例函数的图象经过第二、四象限，可得，从而可得答案．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质：当反比例函数图象在一、三象限时，则；当反比例函数图象在第二、四象限时，则
 

9.【答案】C 

【解析】解：，
，
，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故选：
根据一次函数的图象与系数的关系即可确定．
本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

10.【答案】D 

【解析】解：由题意得：，
解得：
故选：
根据“x年后郑凯年龄是他爸的一半”列出方程，求解即可解答．
本题主要考查一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系列出方程是解题关键．
 

11.【答案】A 

【解析】解：已知等式变形得：，即，
，
，即，
则为等腰三角形．
故选：
将等式移项整理后，将左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0得到，即可确定出三角形形状．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】B 

【解析】解：，
，
由题意可知：，
∽，
，
设，
，
，

故选：
根据等腰三角形的性质可知，根据相似三角形的判定定理可证明∽，利用相似三角形的性质定理即可求出CF的长度．
本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
 

13.【答案】4 

【解析】解：由题意知，
解得，
这组数据为2、3、4、5、6，
所以其中位数为4，
故答案为：
先根据平均数的定义求出x的值，再依据中位数的定义可得答案．
本题主要考查中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数和平均数的定义．
 

14.【答案】2023 

【解析】解：，是方程的两个根，
，，

故答案为：
先根据根与系数的关系可求，，再把，的值整体代入所求代数式计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是注意根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

15.【答案】四 

【解析】解：，，
点一定在第四象限．
故答案为：四．
直接利用各象限内点的坐标特点，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握平面内点的坐标特点是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：画树形图如下：

从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，两人手势相同有3种，两人手势相同的概率，
故答案为：
画出树状图分析，找出可能出现的情况，再计算即可．
本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】105 

【解析】解：一副三角尺按如图的方式拼摆，
，，，
，

故答案为：
根据三角形外角的性质可得，进而得出答案．
本题考查了三角板中的角度计算以及三角形外角的性质，熟记三角板的角度以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由图形可知：
第1个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：5，
第2个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
第3个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
…，
第n个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
故答案为：
通过分析图案个数与涂有阴影的小正方形的个数之间的关系即可得出结论．
本题主要考查了图形与数字的变化规律，列代数式，通过分析找到图案个数与涂有阴影的小正方形的个数之间的关系是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

 

【解析】分别根据绝对值的性质、数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

20.【答案】解：

，
，时，原分式无意义，
，
当时，原式 

【解析】先将括号内的式子通分，再将括号外的除法转化为乘法，再约分，最后从，0，1，2中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意分式有意义的条件．
 

21.【答案】解：名，
答：本次调查的总人数为200名；
支付方式的人数为名，
D支付方式的人数为名，
补全条形统计图如下：

在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为 

【解析】由B支付方式及其所占百分比可得总人数；
总人数乘以A对应百分比可得其人数，根据各支付方式的人数之和等于总人数求出D支付方式的人数，从而补全图形；
用乘以D对应人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：由题意得：
米，米，，
是的一个外角，
，
，
，
米，
在中，米，
米，
学校大门ME的高是米． 

【解析】根据题意得：米，米，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出MF的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】解：设丽丽所买皮衣的单价是x元，毛衣的单价是y元，
根据题意得：，
解得：
答：丽丽所买皮衣的单价是4200元，毛衣的单价是1800元；
元
答：丽丽可以到线上客服处领取780元补贴． 

【解析】设丽丽所买皮衣的单价是x元，毛衣的单价是y元，根据“丽丽购买了一件皮衣和一件毛衣，共花去6000元，皮衣单价比毛衣单价的2倍还多600元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
利用到线上客服处领取的补贴=购买了一件皮衣和一件毛衣的总价，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌；
解：四边形ABCD是菱形，
，，，，
四边形BFDE是正方形，
，
 

【解析】由菱形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，证出，由SAS证明≌即可；
由菱形的性质得出，，，，由正方形的性质可得，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，连接OC，

，OD经过原点，
垂直平分AC，
，
在和中，
，
≌，
，
是的切线，
，
，即，
是的切线．
连接BC，如图，


是的直径，
，
，
，
，
，
，
∽，
：：EC，
，
，，
，，
，
 

【解析】如图，连接OC，由“垂径定理”可知，OP垂直平分AC，所以，由SAS可证明≌，所以，由切线的性质可知，，所以，即，由此可得结论；
连接BC，根据正切函数可得AE的长，利用勾股定理可得PE的长，因为AB是的直径，所以，所以，因为，所以，易证∽，所以EC：：EC，代入数值可得答案．
本题考查了切线的性质及判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．
 

26.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，且，
则、，
由题意得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；

证明：
如下图，连接

抛物线与y轴交于点C，顶点为D，
，
当时，，
即点，
，
由点B、C、D的坐标得：，
同理可得：，，
，
为直角三角形，
即；

解：
存在，理由：
设直线BC的解析式为：，
、，
，解得：
直线BC的解析式为：，
，
设点，
当CD是对角线时，由中点坐标公式得：且，
解得：，，
则点P、Q的坐标分别为、，
经验证：，故此种情况不存在；
当CP是对角线时，由中点坐标公式得：且，
解得：，，
则点P、Q的坐标分别为、，
经验证：，故此种情况存在；
当CQ是对角线时，由中点坐标公式得：且，
解得：，，
则点P、Q的坐标分别为、，
经验证：，故此种情况不存在；
点P、Q的坐标分别为、 

【解析】用待定系数法即可求解；
证明，即可求解；
当、是对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解．
本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、直角三角形的判定、勾股定理、矩形的性质等知识，有一定的综合性，属于中考压轴题．