第13讲第1课时《关于一次函数的分段函数的应用》（教案）人教版数学八年级下册

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第十三讲  关于一次函数的分段函数的应用 [教学内容]：八年级第十三讲“关于一次函数的分段函数的应用” .（第一课时） [教学目标]:知识技能：1、根据不同情境了解分段函数的意义；2、能够根据题意写出分段函数，并利用分段函数的图象解决实际生活中的简单应用问题.数学思考：通过利用分段函数（图象）解决实际问题的过程，使学生数学抽象思维能力得到发展，体验到数学与实际生活的联系问题解决： 通过利用分次函数解决实际问题，使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，进一步发展学生解决问题的能力.情感态度：学生在小组合作学习中体验学习的快乐，合作交流的好氛围，让学生更有机会体验自己与他人的想法，从而掌握知识，发展技能，获得愉快的心里体验，通过小组合作学习，培养学生的合作精神.[教学重点和难点]:重点：利用分段函数（图象）解决实际生活中的应用问题难点：利用分段函数（图象）解决实际生活中的应用问题[教学准备]:动画多媒体语音课件       第一课时教学过程：教学路径 方案说明一 、课前谈话：上节课我们已经学习了运用一次函数解决实际问题的知识，但上节课我们所用到的函数主要是一次函数，并且整个实际过程都是用一个函数来描述的，但是在实际生活当中，往往一个问题可能有几个不同的阶段，并且每一阶段用来描述问题的函数也设不一样的，那么这样的问题又改如何来解决呢？师：带领学生回顾复习分段函数的相关知识.小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，用时10分，到达学校的时间是7：55，为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步.（分两题）（1）小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？ 小萍：（1）小刚每分钟走1 200÷10=120（步），每步走100÷150＝（米），所以小刚上学的步行速度是120×＝80（米/分）.小刚家和少年宫之间的路程是80×10＝800（米）.少年宫和学校之间的路程是80×（25-10）＝1 200（米）. （2）下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留.问：①小刚到家的时间是下午几时？②小刚回家过程中，离家的路程s（米）与时间t（分）之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数解析式.     小颖：（2）①＝60（分），所以小刚到家的时间是下午5：00. （下一步）②小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，用时=20分，此时小刚离家1100米，所以点B的坐标是（20，1100）.线段CD表示小刚与同伴玩了30分钟后，回家的这个时间段中离家的路程s(米）与行走时间t（分）之间的函数关系，由路程与时间的关系得s=1100-110(t-50),即线段CD所在直线的函数解析式是s=6600-110t.（下一步）线段CD所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得：点C的坐标是（50，1100），点D的坐标是（60，0），设线段CD所在直线的函数解析式是s=kt+b，将点C,D的坐标代入，得解得所以线段CD所在直线的函数解析式是s=-110t+6600.二、自主探究，合作交流回顾：（1）分段函数的特征：不同的自变量区间所对应的函数解析式不同，其函数图象是一个折线.（2）分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上，在求函数解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值. 师：下面我们来看几道例题：初步性问题探究类型之一   天然气（或水费）中的分段函数例1：为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源.某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如下表所示：    （1）若甲用户3月份的用气量为60 m3，则应缴费______元； 解析：60×2.5=150（元） 答案：150 （2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m3）,y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；  解析：动画用手标把B点横纵线，描一遍，然后出示：根据用气125 m3时费用为325元列方程求a的值；（下一步）现在图中把A点描一遍，然后A点y轴左边出示：75×2.5=187.5根据点A（75,187.5），B（125,325），C（145,385）用待定系数法求每一段对应的函数解析式. 答案：解：根据题意得75×2.5+（125-75）a=325，解得a=2.75.线段OA的函数解析式为y=2.5x(0≤x≤75).75×2.5=187.5，故A(75,187.5)，B（125,325），C（145,385）.（下一步）设线段AB和射线BC的函数关系式分别为y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,由题意得 解得 所以y1=2.75x-18.75(75＜x≤125)，y2=3x-50(x＞125).综上可知y=  （3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用气175 m3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？ 解析：设乙用户2月份用气x m3，则3月份用气（175-x）m3，由x>175-x解得x>87.5；（下一步）（动图）（下一步）分87.5<x<100，100≤x≤125，x>125三种情况讨论.       答案：解：设乙用户2月份用气x m3,则3月份用气（175-x）m3，根据题意得x>175-x，解得x>87.5.①当87.5<x<100时,75<175-x<87.5,2.75x-18.75+2.75（175-x）-18.75=455,此方程无解.②当100≤x≤125时, 50≤175-x≤75,2.75x-18.75+2.5（175-x）=455,解得x=145，舍去.③当x>125时， 175-x<50,3x-50+2.5(175-x)=455,解得 x=135,175-x=40.故乙用户2、3月份的用气量分别是135 m3、40 m3.  师：如何求分段函数的解析式？生：先求出a，再用待定系数法求每段函数的解析式.师：如何求乙用户2、3月份的用气量？生：设乙用户二月份的用气量为x，先根据不等关系求出取值范围，然后再分类讨论.师：（1）单价×数量=总价；（2）运用待定系数法求一次函数的解析式；（3）解决分段函数问题时，要注意分类讨论思想在解实际问题的运用.  探究类型之二   分段函数在实际生活中的应用例2：为响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的阶梯电价，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如折线图，        请根据图象回答下列问题：（1）当用电量是180千瓦时时，电费是_________元；（2）第二档的用电量范围是___________________；（3）“基本电价”是____________元/千瓦时； 解析：（1）动画用手描一边A点及x,y轴的垂线，然后出示：用电量为180千瓦时的电费为108元；（下一步）（2）动画用手分别用三种颜色描OA,AB，BC，然后出示文字：从函数图象可以看出第二档的用电量的范围是超过180千瓦时但不超过450千瓦时；（下一步）（3）108÷180=0.6（元/千瓦时）. 答案：（1）108     （2）超过180千瓦时但不超过450千瓦时（3）0.6  （直接填在横线上） （4）小明家8月份的电费是328．5元，这个月他家用电多少千瓦时？ 解析：动画用手先将328．5元标在y轴上，做动画：然后出示文字：小明家8月份的用电量超过450千瓦时，先求出直线BC的函数解析式，再将y=328．5代入计算． 答案：因为328．5＞283．5，所以他家本月用电量超过450千瓦时.设直线BC的解析式为y=kx+b，将（450，283．5），（540，364．5）坐标代入，得 解得所以直线BC的解析式为y=0.9x-121.5.将y=328.5代入y=0.9x-121.5，得328.5=0．9x-121.5，解得x=500，所以小明家本月用电500千瓦时. 师：如何求8月份的用电量？生：由电费是328．5元，他家本月用电量超过450千瓦时，要想求出他家的用电量，先利用待定系数法求分段函数在BC段的解析式，代入求值即可.师：此类问题多以分段函数的形式出现，正确理解分段函数是解决问题的关键，一般应从如下几方面入手:（1）寻找分段函数的分段点；（2）针对每一段函数关系，求解相应的函数解析式；（3）利用条件可求未知问题. 探究类型之三  出租车计费中的分段函数例3某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下列问题：    （分两道题出示）（1）出租车的起步价是多少元？当x>3时，求y关于x的函数解析式；（2）若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程.  解析：（1）动画用手描一遍图中的平行x轴的线段，然后出示文字：出租车的起步价是8元，（下一步）动画用手描一遍图中的斜线段，描点（3，8），（5,12），然后出示文字：设当x＞3时，y与x的函数关系式为y=kx+b，运用待定系数法即可求出；（下一步）（2）将y=32代入（1）中的函数解析式就可以求出x的值． 答案：解：（1）由图象可知，出租车的起步价是8元.当x>3时，设函数的解析式为y=kx+b.∵图象经过点（3,8），（5,12），∴ 解得 ∴y=2x+2.（2）当y=32时，2x+2=32，解得x=15.答：这位乘客乘车的里程是15 km. 类似性问题1.某移动通讯公司提供了A、B两种方案的通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是（     ）A. 若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元B. 若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜C. 若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多D. 若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分      1、学生独立解答完成本题，最后找学生来说说自己的解答过程.2、老师评价. 2.一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y(单位：升)与时间x（单位：分）之间的部分关系如图所示．那么，从关闭进水管起______分钟该容器内的水恰好放完.       解析：进水速度：20÷4=5（升/分）；（下一步）出水速度：5-（30-20）÷8=3.75（升/分）；（下一步）30÷3.75=8（分）. 1、学生独立解答完成本题，最后找学生来说说自己的解答过程.2、老师评价.三、总结反思，拓展升华这节课我们主要学习了不等式组解法的相关知识，同学们自己思考掌握的怎么样？还有哪些地方需要努力.       教师引导学生寻找信息；尝试解答。（假如解决有困难，可以在第一课时讲解完成后在来叫学生独立解答）                    小组讨论；尝试解答           老师带领学生来总结函数图象平移法则     ；                        学生相互交流；     尝试解答