第4讲第2课时《勾股定理的逆定理》（教案）人教版数学八年级下册

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第四讲  勾股定理的逆定理［教学内容］八年级第四讲“勾股定理的逆定理”.（第二课时）［教学目标］知识技能1.理解并能证明勾股定理的逆定理；2.掌握勾股定理逆定理，并能判定一个三角形是不是直角三角形.数学思考1.会用勾股定理解决简单的实际问题.2.通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体会数形结合的思想.解决问题 体会数形结合方法在解决问题中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题.情感态度
1.学生通过适当训练，逐步体验数学说理的重要性.2.在活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神.[教学重点、难点]重点：会用勾股定理解决简单的实际问题难点：应用勾股定理解决简单的实际问题 [教学准备]动画多媒体课件       第二课时教学路径 师:上节课我们学习了勾股定理的逆定理，这节课我们继续探讨逆定理,重点学习一些解决几何问题的技巧和方法.初步性问题探究类型之四  勾股定理的逆定理与图形变换的综合运用例4               如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=___________度．   解析：（每一个颜色代表一步）先动画将△ABE到△CBE′（第一步与蓝色的字一起出）                                            BE′=BE             △ABE绕点B       △ABE≌△CBE′       CE′=AE         BE′=2顺时针旋转                               BE=2          CE′=1 90°到△CBE′                            AE=1∠E′BE=90°        连接EE′ , (动画在图中作出)（下一步）                                   （下一步）（每一个颜色代表一步）△EBE′中，∠E′BE=90°    ∠BE′E=45°B E′=BE=2              EE′=        △CE′E为直角三角形                           CE=3              ∠EE′C=90°                           CE′=1（最后突出黄色阴影部分，方法你自己决定） 答案：135 学生独立审题，思考由题中的条件都得到什么信息？师：如何求角的度数，显然要先分析条件,请同学来说一说.生：旋转的性质可得对应边相等，旋转角∠E′BE=90°，已知线段的长度，可知△EBE′等腰直角三角形，∠BE′E=45°，再由勾股定理的逆定理知△CE′E为直角三角形，∠EE′C=90°，也就是说我们把要求得角表示成了两个角的和.3.师：求角的大小的方法也很多，很显然，我们是从条件出发，即综合法：由因导果，在解决问题时，我们也可以用分析法：执果索因，当然对于比较复杂的问题，我们可以综合法与分析法相结合来解决问题. 类似性问题5.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP，连接CQ.（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由.    师：根据图示，我们不妨猜想AP=CQ， 数形结合是重要的数学解题方法.学生独立证明想AP=CQ解析：（1）猜想AP=CQ，证明△ABP≌△CBQ.（下一步）（2）猜想△PQC是直角三角形，利用勾股定理逆定理证明PQ2+QC2=PC2. 答案：解：（1）AP=CQ，证明如下：∵∠ABC=∠PBQ=60°,∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ.在△ABP和△CBQ中，∵AB=CB，∠ABP=∠CBQ， BP=BQ，∴△ABP≌△CBQ,∴AP=CQ.（下一步）（2）△PQC是直角三角形，证明如下：由PA∶PB∶PC=3∶4∶5,可设PA=3a,PB=4a,PC=5a,由（1）知PA=CQ=3a.∵PB=BQ且∠PBQ=60°,∴△PBQ为正三角形，∴PQ=4a.∵在△PQC中， PQ+QC=16a+9a=25a=PC,∴△PQC是直角三角形. 复习：基本型：两个等腰三角形共顶角的顶点，且顶角相等（两个共顶角顶点且相似的等腰三角形），则有全等三角形.        初步性问题探究类型之五  勾股定理的探究型问题例5  在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，设c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．(1)当△ABC三边长分别为6,8,9时，△ABC为___________三角形；当△ABC三边长分别为6,8,11时，△ABC为_______三角形．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              (2)猜想：当a2+b2______c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2______c2时，△ABC为钝角三角形．(3)判断当a=2,b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．  解析：(1)利用勾股定理计算出两直角边长分别为6,8时的斜边的长.（下一步）      （2）根据（1）的判断对应猜想；（下一步）（3）先根据三角形三边关系确定出c的取值范围，然后分情况讨论. 答案：（1）锐角；钝角 （直接填在横线上）（下一步）（2）>；<  （直接填在横线上）（下一步）（3）解：∵c为最长边，2+4=6，∴4≤c<6,a2+b2=22+42=20.①a2+b2>c2，即c2<20,0<c<,∴当4≤c<时，这个三角形是锐角三角形；②a2+b2=c2,即c2=20,c=,∴当c=时，这个三角形是直角三角形；③a2+b2<c2，即c2>20,c>,∴当<c<6时，这个三角形是钝角三角形.生独立画一画，并回答说说（1）师：由勾股定理的逆定理知，根据三边关系我们可以判断三角形的形状，那么我们是否继续思考，如果三边不是等量关系，而是不等关系，那么可以判断三角形的形状吗？生：当三边是6、8、9时是锐角三角形，当三边是6、8、11时是钝角三角形.师：大家是如何做出判断的呢？生：先计算出当6,8为直角边时，斜边长是10，通过作图发现的，或者通过大边对大角猜测.2.师：我们可以通过动画演示来给大家一个直观的感觉,第二问是否可以通过猜想得到？生：当a2+b2>c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2<c2时，△ABC为钝角三角形．3.师：能否证明这个猜想大家可以课后思考一下，我们可以借助这个猜想的结论来解决第三问.生：由三角形的三边关系能确定4≤c<6，然后再根据三角形的形状讨论 c2的取值范围. 初步性问题探究类型之六  利用勾股定理构造直角三角形 例6  如图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC.已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.    （1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？（3）根据（2）中的规律和结论，请构造图形求出代数式的最小值.修图) （1）解析：在Rt△ABC和Rt△CDE中，根据勾股定理得出AC，CE的长从而得出用含x的代数式表示AC+CE的长．  答案：解：设CD=x，则BC=8-x， 在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：AB2+ BC2= AC2,      ∴AC==.      同理CE=,        ∴AC +CE=+（2）解析：利用两点之间线段最短来说明，即当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小.连接AE交BD于点C(动画在图中作出). (下一步)构造直角三角形，过点E作EF∥BD交AB的延长线于点F(动画作出下图)，利用勾股定理求出即可．答案：解：如图，连接AE交BD于点C，由两点之间线段最短知，此时AC+CE=AE最短.过E点作EF∥BD交AB的延长线于点F ，则四边形BFED是长方形，BF=1，EF=8，AF=6．        在Rt△AFE中，∠F=90°，由勾股定理得：AF2+ FE2= AE2．    即：AC+CE=AE==10．      （3）解析：观察（2）中图形以及AC+CE表达式的特点可构造出与 相对应的图形来． 答案：解：如图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=3，ED=2.连接AE交BD于C，AE的长即为的最小值.（下一步）过点E作EF∥BD交AB的延长线于点F，得长方形BDEF.则BF=DE=2，EF=BD=12.所以AE==13,即的最小值为13.     学生独立思考，然后找学生说说自己解题思路.生：题目要求两个直角三角形中斜边的和，根据题目条件，我们能分别表示出直角三角形的两条直角边，利用勾股定理就可表示出斜边.2.师：好，第二问.生：根据两点之间线段最短，连接AE交BD于点C，此时线段的和最短，过E点作EF∥BD交AB的延长线于点F，构造直角三角形，利用勾股定理求出即可；3.师：第三问.生：根据第1、2问的结论我们可以知道代数式的结构和第一问中代数式的结构是一样的，这里我们可以认为AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x，则AC+CE=，求最小值的方法与第二问的方法一样.4.师：大家分析的思路都非常清楚，通过这道题目我们都有哪些收获呢？生：本题考查了勾股定理，两点之间线段最短，体现了数形结合的数学思想.师：这道题目充分体现了数形结合的一面“以形助数”，即借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，以后我们还会学习“以数解形”，借助于数的精确性来阐明形的某些属性，大家对于数学思考越深入，会发现数学方法思想的奥妙之处.5.拓展：思考：“最值”问题大都归于两类基本模型：1、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值.（以后要学）2、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”.凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型.（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型.