第7讲第2课时《正方形》（教案）人教版数学八年级下册

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初步性问题

例4  如图甲，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接EG，FH交点为O.（分两题出示）

（1）如图乙，连接EF，FG，GH，HE.试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；

（2）动画先出示将“正方形ABCD沿线段EG，HF剪开再把得到的四个四边形按图丙方式拼接成一个四边形”

（下一题）

正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图丙方式拼接成一个四边形.若正方形ABCD的边长为3 cm,HA=EB=FC=GD=1 cm,则图丙中阴影部分的面积为       cm².

师：如何判断四边形的形状？

生：（预设）很容易证明是菱形，继续思考是否为正方形，有一个角为直角，所以为正方形.

师：如何求阴影面积？

生：（预设）阴影部分为正方形，求出边长即可.

师：要判定一个四边形是正方形，最常用的方法是先证明它是矩形（或菱形），再证明这个矩形（或菱形）有一组邻边相等（或有一个角是直角），也可以根据其定义来判定.

（1）

解析：

首先证明四边形EFGH为菱形，再证明有一角是直角（也可先证明四边形EFGH是矩形，再证明有一组邻边相等）.

答案：

答：四边形EFGH是正方形， 证明如下：

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.

∵HA=EB=FC=GD,

∴AE=BF=CG=DH.

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.

∴HE=EF=FG=GH，

∴四边形EFGH是菱形.

由△DHG≌△AEH知∠DHG=∠AEH.

∵∠AEH+∠AHE=90°,

∴∠DHG+∠AHE=90°,

∴∠GHE=90°,

∴四边形EFGH是正方形.

（2）

解析：

图丙中间阴影部分是一个正方形.

（下一步）从图中可知AH=1 cm，AE=3-1=2（cm）,

所以阴影部分正方形的边长为2-1=1(cm),故阴影部分的面积为1 cm².

答案：1（填在横线上）

初步性问题

探究类型之四    中点四边形

例5   如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°.顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去……则四边形A2B2C2D2的周长是__________,四边形A2 013B2 013C2 013D2 013的周长是__________.

1.师：仔细观察图，你发现什么？

生：一个菱形，一个正方形；字母的序号是奇数时，四边形是菱形；字母的序号是偶数时，四边形是矩形。

师：四边形的周长之间有什么关系吗？

生独立思考，同桌之间相互交流，然后找学生说说：

生：每一个矩形的周长都是前一个矩形周长的一半，每一个菱形周长都是前一个菱形周长的一半.

师：说得非常好，我们要想求周长，关键弄清楚第一个矩形和菱形的周长和四边形的个数.

学生同桌之间相互讨论：矩形A2n-1B2n-1C2n-1D2n-1的周长与矩形A1B1C1D1周长之间的关系，菱形A2nB2nC2nD2n的周长与菱形A2B2C2D2的周长之间的关系.

，.

（一定注意解答时注意分母部分2的指数）

2.拓展：每个四边形的面积之间有什么关系呢？

生：由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半.

3.师小结：这是一道关于中点四边形的问题，任意四边形的中点四边形都是平行四边形；平行四边形的中点四边形是平行四边形；矩形的中点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形是正方形；一般梯形的中点四边形是平行四边形；直角梯形的中点四边形是平行四边形；等腰梯形的中点四边形是菱形.

解析：动画用手依次将每个菱形和矩形四条边描一边，菱形和矩形用不同的颜色的线.

(下一步)

观察图形，得四边形A2n-1B2n-1C2n-1D2n-1是矩形，A2nB2nC2nD2n是菱形，其中n为正整数；（下一步）

每一个矩形周长都等于前一个大矩形周长的一半,每一个菱形的周长都等于前一个大菱形周长的一半；（下一步）

，.（下一步）

连接BD、AC（动画在图中作出），根据勾股定理及菱形的性质分别求出BD和AC的长，=AC+BD.

答案：20；

初步性问题

探究类型之五    正方形的探究型问题

例6   如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．（分三题出示）

（1）探究1：小强看到图后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程.

小强（头像）：证明：如图，取AB的中点M，连接EM．（动画在原图中作出）

（下一步）∵∠AEF=90°,∴∠FEC+∠AEB=90°,又∵∠EAM+∠AEB=90°,∴∠EAM=∠FEC.

∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点,∴AM=EC,BM=BE.

∴△BME是等腰直角三角形,∴∠BME=45°,∴∠AME=135°.

又∵CF是正方形外角的平分线,∴∠ECF=135°,

∴△AEM≌△EFC（ASA）,∴AE=EF.

（2）探究2：小强继续探索，如图，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．

解析：

在AB上截取AM=EC，连接EM(动画在图中作出，做动画叫我)，

（下一步）（△AEM与△EFC填充上颜色，然后出示文字）

先证明∠EAM=∠FEC，∠AME=∠ECF=135°，再利用ASA证明△AEM≌△EFC.

答案：

证明：在AB上截取AM=EC，连接ME.

∵AM=EC，AB=BC，

∴BM=BE，

∴∠BME=45°，

∴∠AME=∠ECF=135°.

∵∠AEF=90°，

∴∠FEC+∠AEB=90°，

又∵∠EAM+∠AEB=90°，

∴∠EAM=∠FEC.

在△AEM和△EFC中，

∵∠AME=∠FCE，AM=EC，∠BAE=∠FEC，

∴△AEM≌△EFC（ASA），

∴AE=EF.

（3）探究3：小强进一步还想试试，如图，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．

解析：

延长BA到M使AM=CE，连接EM(动画在图中作出)，

（下一步）（△AEM与△EFC填充上颜色，然后出示文字）

证明∠BME=45°，从而得到∠BME=∠ECF=45°.易证∠DAE=∠BEA，进而证明∠MAE=∠CEF，然后利用ASA证明△MAE≌△CEF．

答案：

答：结论AE=EF成立，证明如下：

证明：延长BA到M使AM=CE，连接ME.

∵AB=BC,∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠BME=∠ECF=45°.

又∵AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，

又∵∠MAD=∠AEF=90°，

∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF，即∠MAE=∠CEF.

在△MAE和△CEF中，∠BME=∠ECF，AM=CE，∠MAE=∠CEF，

∴△MAE≌△CEF（ASA），∴AE=EF.

师：如何证明线段相等？

生：类比，由特殊到一般，根据第一问的方法尝试，构造全等三角形.

师：规律探索问题是指由几个具体结论通过猜想,推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题.解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.

类似性问题

2.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的大正方形，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x,y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x²+y²=49；②x-y=2；③2xy+4=49；④x+y=9.

其中说法正确的是（    ）

A.①②      B.①②③      C.①②④     D.①②③④

解析：

先将x，y所在的三角形填充上颜色，然后出示文字：

利用勾股定理，得①正确；（下一步）

由题意得小正方形的边长为2，则x-y=2，②正确；（下一步）

由4个小三角形面积+小正方形面积=大正方形的面积，③正确.

6.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，O又是正方形A1 B1 C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.

（1）求证:△AOE≌△BOF.

（2）如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1 B1 C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？

答案：

（1）证明：在正方形ABCD中，

AO=BO，∠AOB=90°,∠OAB=∠OBC=45°，

∵∠AOE+∠EOB=90°,∠BOF+∠EOB=90°,∴∠AOE=∠BOF.

在△AOE和△BOF中∠OAE=∠OBF，OA=OB，∠AOE=∠BOF，

∴△AOE≌△BOF.（下一步）

(2) 解：两个正方形重叠部分面积等于a².

∵△AOE≌△BOF，

∴=+=+===a².