2022届云南省普通高中高三下学期4月第二次高中毕业生复习统一检测（二模）理科数学试题及答案

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2022届云南省普通高中高三下学期4月第二次高中毕业生复习统一检测(二模)

-、选择题：(本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目的要求的)

1.    设集合 S={0, 1},T={0,3},则 SUT=( )

A. 10] B. {1,3} C. {0,1,3) D. {0,1,0,31

2.    已知i为虚数单位，设Z = 则复数z在复平面内对应点位于( )

1 + z

3.已知a、是函数/(x) = (x-c)(d-x) +1的两个零点.若a<b，ccd,则( )

6.某超市为庆祝开业举办酬宾抽奖活动.凡在开业当天进店的顾客,=都能抽一次奖，每位进 店的顾客得到一个科不透明的盒子，盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个，其中红球 2个,黄球3个，篮球1个,出颜色外，小球的其他方面，如形状、大小、质量等完全相同，每个 小球上均写有获奖内容，顾客先从自己得到的盒子里随机抽取2个小球，然后依据取出的2个 小球获奖内容去兑奖，设X表示某顾客再一次抽奖时，从自己得到的那个盒子里取出的2个小 球中红球的个数，则X的数学期望E (X)=( )

7.    已知长方体ABCD-A^C^的表面积为62,所有棱长和为40,则线段AC:为( )

A. V38 B.应 。.逐 D. V29

2 3

8.                                                                                                                                                                                           若 a = 42,b = log3 2,c = log5 4则( )

1.     c>a>b B. b>a>c
2.     a>b>c D. a>c>b

9.    已知等差数列U,,｝的前n项和为若a、=8, S6=57,则数列［^—｝的前N项和是

10.                                           C X （2^-5）在双曲线 C

上，椭圆E的焦点与双曲线c的焦点視斜率为1的直线与椭圆EMU两点，若线段AB

的中点坐标为（1,-1），则椭圆E的方程为（

A. 1 + 21 = 1
45 36

A十1

1

.7i . z 97 x sin- sin（-—-） 9 18

A. 3

12.三棱锥P-ABC的顶点都在以PC为直径的球M表面上,PA丄BC,若球的表面积为100 n，PA=8,

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若（l + 3x）5 = + a}x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5,则 a0 -a}+a2-a3+a4-a5 的值为

14.设曲线a+1）2 + y2=10关于直线v = or-2对称，则a

16.             已知e是自然对数的底数.若3xeii,+oo）,使得memx-6x5lnx<0,则实数m的取值范

围=.

三、解答题：（共70分）

17.    （12 分）

△ ABC中，内角A, B.C的对边分贝为a.b.c.D是AC的中点.已知平面向量；：满足 —> —> —> —>

w = (sin A — sin —sin C)，n = (a+ b，c)，m 丄 z?.

(1)         求 A.

(2)         若 BD=、/i,b+2c=4Vi,求AABC 的面积.

18.               （12 分）

某地举行以“决胜全面建设成小康社会，决战脱贫攻坚”为主题的演讲比赛，有60名选手 参加了比赛，评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果、综合印象四个分项为选手打分.各项成绩 均按百分制计，然后再按演讲内容占40%、演讲能力占40%、演讲效果占15%、综合印象占5%, 计算选手的比赛总成绩（百分制）.

甲乙两名选手的单项成绩如下表:

（D分别计算甲、乙两名选手的比赛总成绩

（2）比赛结束后，对参赛的60名选手的性别和获奖情况进行统计，情况如下表:

能否有90%的把握认为这次演讲比赛，选手获奖与选手性别有关？

19.               (12 分)

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形,F是PG的中点.

(1)         求证:PA//平面BDF

(2)         若 ZBAD=60° , AB=AD=2, PA=PD=4, PB=3V2,求平面 BFP 与 PAD 所成二面角的正弦

值.

已知e是自然对数的底数，f(x) = ax-ex+\,常数a时实数

(1)         设3=6,求曲线y = f(x)在嗲(1,f(1))处的切线方程。

(2)         V«r>l，都有f(x)<ln(x + l),求a的取值范围.

21.                (12 分)

已知曲线C的方程为7(x-l)2 + /-|x+l|=O,点D的坐标为(1,0),点P的坐标为(1,2).

(1)     设E是曲线C上的一点，且E到D的距离等于4,求E的坐标.

(2)     设A、B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同动点，直线PA、PB与y轴分别交 于M、N两点，线段剛的垂直平分线经过P.证明：直线AB的斜率为定值.

（二）选考题：

22.                （10 分）

{x=cosa

在平面直角坐标系xQy中，曲线q的参数方程为ty=sina （a为参数），曲线c2的参 rx=2cos/?

数方程为（ p为参数），射线/,：x=o（x>o）与曲线c,交于a,射线 ir-y = > o）与曲线c2交于点b,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（D直接写出曲线c,、射线（的极坐标方程；

（2）求AA0B的面积.

23.                (10 分)

已知f(x) =|2x-3| + |x+3|的最小值为m.

(1)         求 m

(2)         若a、办都为正实数，且a+b=m，求证：«3+^3>16

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2022尔厶南竹第：次M屮毕业生统•检测

理科数学参考答案及评分标准

二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

16 ,

13. -32： 14. -2： 15. 3

4\n 2;

三、 解答题：本大题共6小题，共70分。

17.   （12 分）

解：(1) ••• m = (sin/f-sinfl, sin^-sinC). w = (a + 6 , c)» mln，

••• (sin A - sin B)(a + b) + (sin B -sin C)c = 0.

••• (a-办Xa + /») + (Z>-c)c = 0，HP b2 +c2 -a2 =bc.

.A b2+c2-a2 1

• • cos A =---—---=—

V 0 < /4 < ^ » .•./! = —  ....................... 3

(2) {1LAABD中，由fiD = V3 . J= y和余弦定理，得

BD2 =3= AB2 + AD2-2AB ADcosA = AB2 + AD2-AB AD. ..........

.%c2+(|)2 -cx| = 3,化简得4c2 ^b2-2bc = \2,即(Z> + 2c)2-6/>c = 12. .......

V/» + 2c = 473 , /. (4>/3)2-6Ac = 12.解得Ac = 6. 10 分

18.   （12 分）

解：（丨）甲选手的比赛总成绩：

85x40% + 90 x 40% + 85xl5% + 90x5% = 87.25 （分）.

.•.甲选手的比赛总成绩为87. 25分...............................3分

乙选手的比赛总成绩:

87 x40% + 88x 40% + 90x 15% + 87 x 5% = 87.85 （分〉.

.•.乙选T•的比赛总成绩为87. 85分.............................6分

/.没有90%的把梶认为选手获奖与选手性别有关......................12分

19.   （12 分）

（1）证明：连接AC,没ACC\BD = M ,连接FA/

V ABCD是平行四边形，

A7是/IC的中点.

是PC的中点，

:.'是A/ICP的屮位线.

... PA//FM .

又V PA（Z平面FA/c平面份）厂，

:.A4//平面份）厂.

(2)解：&AD的中点为£,连接肪,PE.

•••石为的中点，PA = PD = 4,

:-PE 丄/£)，PE = ylPA2-AE2 =7l6-l =Vl5. •: ABCD 是平行四边形，ZA4Z) = 60’，AB = AD = 2, :.BE = ^AE- + AB2 - 2AE x AB cos Z.BAE = ^l + 4 — 2x|x2x-j = ^3 .

••• /f£2 + 5E2 =l + 3 = 4 = /!5\PE2 +BE2 =15 + 3 = i8 = P52. /. BE 丄/ID, BE1PE.

V ADV\PE = E. ADc 平面 PAD. 平面 PAD.

:• BE丄平面PAD.

:.EB^平面/MD的•个法向g.....................................7分

分別以射线E4, EB, £戸为*轴，j•轴，2轴的非负半轴，逑立如图 所示的空间直角坐标系E-xyz.由题意可得£(0,0,0). 5(0,73,0),

C(一 2, 75, Oh P(0,0,Vl5).

•••S=(o，VLo), 紀=(-2,0.0). ^P=(0,-73 , Vl5).

设平面fiFP的一个法向S为w = (x,y,z).则什0, (w5P = -V3j + Vl5z = 0. 取.、，=，得 x = 0 • z = 1.

.•.w = （0,75 , I ＞是乎面5厂P的一个法向虽.

• 、a Vl5 V30

I 叫问 V3xV6 6

设平面5FP与平面R4Z）所成二面角的大小为a,则a的取倌范围为（0,幻， ••• sin a = Jl

V 36

:.平而BFP与平而PAD所成二面角的正弦值为i 6

20.    (12 分)

解：(1〉设= 则 f(x) = ex-ex + 1.

/(D = I. f\x} = e-ex. =......................................=0.              2 分

.•.曲线在点(1，/(1))处的切线方程为j，-l = 0(x-l)，即y-l = 0. •••曲线y = /(x)在点(1,/(1))处的切线方程为y-\ = Q.              4分

(2)设 F(.t) = ln(x +1) — /(x) = ln(x + I) + — ar — 1 . x e [0,+oo).

则 F*(x) = —-— + ex —a.

x + l

S/»(x) = F*(x)，则h'(x)=〆——=(ex-l) + [l ——]>0.

(x + 1)- (x + \)2

•・•函数广(x)在[0,-ko)单调递增................................6分

当aS2时，Ff(0) = 2-a>0.

:.r(x)>0.故F(x)在[O. + oo)单调递増.

XV F(0) = 0，故 F(x)^ 0 对任意 X€[0,+oo)都成立.

KP当aS2时，Vx>0, ffiTr/(.v)<ln(x + l)..............................8 分

当时.ln«>ln2>0. H0) = 2-a<0,

.•.3x0€(0,lna).使 F,(xo) = O....................................10 分

•.•函数F'(x)在[0, + qo)羊调递増，

Vxg(0, x0)» 都有Fr(x)< 0.

A Fix)在(O，.r0)单调速减.

.•.3x,€(O,xo).使F(x,)<F(0) = 0,即3x,€(O,xo),使/(x)> ln(x +1),与

Vx^O . /(x)^ ln(x + l)矛盾.

综上所述，a的取值范围为(-oo,2J. ...............................12分

21.    (12 分〉

(1)       解：・.•曲线c的方程为v(x-i)2+r -|x+i|=o，

由V(x-I)2+/2 -|x + l| = O化简得/=4,t.

.•.曲线C的方程为/=4x. ......................................2分

.•.£>( 1,0)为抛物线/ =如的焦点，线* = -I为抛物线/ = 4x的准线. 设E(xQ9yQ), «iJ|£D| = Xo + l.

•••|ED| = 4， .・.j❶+ 1 = 4，解得x0=3.

••• Jo =4.v0 = 12 » 解得 y❶=±2y[3 . •••£•的坐标为(3, 2斤)或(3,-2>/3). 4 分

(2)       证明：V P( 1 , 2 ),曲线C的方程为/=4x，22=4xl， .••点/>( 1,2)在曲线C上.

•: A . 5是曲线C上横也标不等子1的两个不同的动点，直线尸J、Pfi与y轴分别 交于点M、N，

/.直线R4、卯的斜率都存在，且都不为0,分别设；k、，则直线 的方程为夕_2 = A:(x —1)， Wy = kx + 2-k.

当x = 0吋，y = 2-k,即卵，2-幻.

同理可得AT(O,2 —勾).

V线段MN的垂直平分线经过点P ,

...2-人;2=2,即k、=_k .....................................6 分

v = kx + 2 —炎

\ ’得：AV-2(il2-2jt + 2)x + ^-4A+4 = 0.

y = 4x

23. （10分）选修4-5：不等式选讲

—3x-l, x<-3.

(1)解：由己知得：/(x)= -x + 5.-3^x^l, 3x + l,x>l.

... f（x）在（相，直】卜.足减函数.在（1，抑＞ 匕是増函数，

A/(x)min=/(l) = 4.

•••'” = 4. ...................................................4 分

(2) uE^J： Va>0. 6>0， a + b = 4.

••• a + Z> = 4 > 2\[ab •即 S 4.

••• a3 + 6’ ・(a+6)5 - 3a2b - 3ab2 = (a + b)3 - 3ab(a + b)

=4'-12t/Z>>64 - 48 = 16.

/.o3 + 63^I6. ................................................10 分

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