2023届山东省潍坊市高三二模数学试题含解析

2023届山东省潍坊市高三二模数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】化简集合M，N，根据集合的运算判断为两集合交集即可得解.

【详解】，，

,

由Venn图知，A符合要求.

故选：A

2．若角的终边过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合三角函数定义求得，由即可求解

【详解】角的终边过点，

，

故选：D

【点睛】本题考查三角函数的定义，正弦二倍角公式的使用，属于基础题

3．已知函数，则（    ）

A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数

【答案】C

【分析】判断的关系即可得出函数的奇偶性，再根据指数函数的单调性即可得出函数的单调性.

【详解】函数的定义域为R，

因为，所以函数为奇函数，

又因为函数在R上都是减函数，

所以函数在R上是减函数.

故选：C.

4．在中，，点是的中点，记，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角形中向量对应线段的数量及位置关系，用、表示出即可.

【详解】由题设，

所以.

故选：B

5．已知事件A、B满足，，则（    ）

A． B．

C．事件相互独立 D．事件互斥

【答案】C

【分析】利用对立事件概率求法得，结合已知即独立事件的充要条件判断C，由于未知其它选项无法判断.

【详解】由题设，

所以，即相互独立，同一试验中不互斥，

而未知，无法确定、.

故选：C

6．某公司为实现利润目标制定奖励制度，其中规定利润超过10万元且少于1000万元时，员工奖金总额y（单位：万元）随利润x（单位：万元）的增加而增加，且奖金总额不超过5万元，则y关于x的函数可以为（    ）（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数单调性排除D，再由函数值在排除AC，即可得解.

【详解】由题意，函数在时为增函数，故D不合题意，排除D；

因为当时，，故C不符合题意，排除C；

当时，，故不符合题意，排除A;

因为为增函数，且时，，当时，，满足题意，故B正确.

故选：B

7．如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱（内部全空），其中模型上、下层的底面周长均为，高为.现在其内部放入一个体积为的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于.则该模型的侧面积至少为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由球心到各面距离为8，求出对应正棱柱的侧面积，即可得解.

【详解】由题意，上下两层是底面周长，高为的正六棱柱，

所以侧面积为，

当球形灯球心到各面的距离等于时，中间六棱柱的高为，

由球心到侧面距离为8，可知棱柱底面边长满足，解得，

所以中层正六棱柱的侧面积，

故该模型的侧面积至少为，

故选：B

8．已知双曲线的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过作的一条浙近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】C

【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值．

【详解】如下图所示，双曲线的右焦点，渐近线的方程为，

由点到直线的距离公式可得，

由勾股定理得，

在中，，，

在中，，，，

，

由余弦定理得，

化简得，，即，因此，双曲线的离心率为，

故选：C．

【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：

①直接求出、，可计算出离心率；

②构造、的齐次方程，求出离心率；

③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解．

二、多选题

9．在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出判断B，再由韦达定理判断A，根据复数的乘法及共轭复数判断C，再由复数除法判断D.

【详解】因为且实系数一元二次方程的两根为，

所以，可得，故B正确；

又，所以，故A错误；

由，所以，故C错误；

，故D正确.

故选：BD

10．已知实数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】作差法判断A、B；特殊值法判断C；由基本不等式易知，再根据对数性质判断D.

【详解】A：，则，正确；

B：，则，正确；

C：当时，，错误；

D：由（注意等号取不到），则，正确.

故选：ABD

11．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（    ）

A．

B．函数为偶函数

C．

D．曲线在处的切线斜率为

【答案】ACD

【分析】根据图象求出函数解析式，根据解析式及正弦函数的性质判断AB，再由函数图象中心对称的性质判断C，利用导数的几何意义判断D.

【详解】由函数图象可知，，，

，

当时，()， ,()，

又，，

，

对A，，正确；

对B，，显然不是偶函数，故错误；

对C，若，则图象关于点对称，又，故正确；

对D，，所以曲线在处的切线斜率为，故D正确.

故选 ：ACD

12．已知四棱锥，底面是正方形，平面，，点在平面上，且，则（    ）

A．存在，使得直线与所成角为

B．不存在，使得平面平面

C．当一定时，点与点轨迹上所有的点连线和平面围成的几何体的外接球的表而积为

D．若，以为球心，为半径的球面与四棱琟各面的交线长为

【答案】BCD

【分析】根据线面角是斜线与平面内直线所成角的最小角判断A，根据平面平面判断B，根据圆锥与其外接球轴截面求球的半径判断C，利用侧面展开图求球与侧面交线长，再由球与底面交线为以点A为圆心，为半径的四分之一圆弧即可判断D.

【详解】对A，如图，

由题意为直线与平面ABCD所成的角，所以与所成的角不小于，故A错误；

对B，平面，平面，，又，面，面，点要在直线上，

因为，所以不存在，故B正确.

对C，由题意知，几何体为圆锥，作圆锥及外接球的轴截面图，如图，

所以外接球的半径满足，解得，

所以外接球的表而积为，故C正确；

对D，将侧面展开，知球与侧面的交线为以点P为圆心，为半径的圆与侧面展开图的交线，即图中，

因为，所以，

又，所以，

由对称性知，所以,

故的长为，

又球与底面交线为以点A为圆心，为半径的圆与底面ABCD的交线，

故长度为，所以球面与四棱琟各面的交线长为，D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：因为平面与球的截面为圆面，交线为一段圆弧，所以球与棱锥各面的交线是圆上一段，且圆的半径为，所以只需求出圆心角，本题选项D可以沿侧棱展开，棱锥各个侧面放在同一平面上，借助平面几何知识及对称性求出圆心角为即可得解.

三、填空题

13．若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是__________.

【答案】（只需满足即可）

【分析】解不等式，可得出满足条件的一个的值.

【详解】由可得，则，

所以，，解得，

因为“”是“”的一个充分条件，故的一个可能取值为.

故答案为：（只需满足即可）.

14．某学校门口现有2辆共享电动单车，8辆共享自行车.现从中一次性随机租用3辆，则恰好有2辆共享自行车被租用的概率为__________.

【答案】

【分析】根据古典概型列式结合组合数计算求解概率即可.

【详解】恰好有2辆共享自行车被租用的概率为

故答案为:.

15．如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成.已知A，C可在带滑槽的直杆上滑动；另一根带滑槽的直杆DH长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子（可在带滑槽的直杆上滑动）.若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P到点B距离的最大值为__________.

【答案】

【分析】根据题意分析可得，

【详解】如图，连接，故点的轨迹为以为焦点的椭圆，结合椭圆的性质分析运算.

因为为菱形，则为线段的垂直平分线，故，

所以，

故点的轨迹为以为焦点的椭圆，

可得，即，

所以的最大值为.

故答案为：3.

四、双空题

16．已知数列满足，，，，则__________.设，其中表示不超过的最大整数，为数列的前项和，若，则的取值范围为__________.

【答案】         

【分析】根据递推关系，利用累加法求出通项，据此求出，再化简，利用裂项相消法求出得解.

【详解】，，

是以3为首项，4为公比的等比数列，

，

，

又，

.

，

，

故答案为：257；

【点睛】方法点睛：本题综合性较强，第一问即可直接写出，也可构造等比数列求出，结合取整函数，能够分析出是解题的关键，据此利用裂项相消法求和，再由建立不等式求解，属于难题.

五、解答题

17．在四边形中，，，，为的面积，且.

(1)求角；

(2)若，求四边形的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角形面积公式及数量积的定义化简方程可得，即可得解；

（2）求出，再由正弦定理求出AB=BC=1，即可得解.

【详解】（1）由，

在中得，

即，可得，

因为，所以.

（2）由，所以，

所以为等边三角形，，

所以，

由正弦定理知，得，

故四边形的周长为.

18．已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的最大项.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差数列前n项和及等比中项列方程求出首项即可得出通项公式；

（2）化简，利用换元法由函数的单调性确定数列的最大项.

【详解】（1）由题意知，

又因为，

即，

解得，又，

所以.

（2）由（1）知，

设，

所以，又因为，

所以，

因为函数在时递减，

所以的最大值可能出现在或时，

时，，

时，，

所以数列的最大项为.

19．如图，圆台上底面半径为1，下底面半径为，为圆台下底面的一条直径，圆上点满足，是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.

(1)证明：平面；

(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成的正弦值.

条件①：三棱锥的体积为；条件②：与圆台底面的夹角的正切值为.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意证明四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理证明；

（2）选择条件①根据体积求出，选择条件②根据线面角的正切值求出，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）取中点，连接，如图，

由题意，，

又.

又，

故，

所以四边形为平行四边形，

则，又面平面，

故平面.

（2）选①：，

又平面，

所以三棱锥体积.

所以.

选②：因为平面，

所以为与底面所成的角，

所以，

又，所以

以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则有，

故，

设平面的法向量，

而，

故

令，解得，得，

设所求角的大小为，

则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．已知抛物线的焦点为，圆，抛物线上一点到其准线的距离等于其到圆心的距离，且.

(1)求抛物线和圆的方程；

(2)过抛物线上一点作圆的切线分别交抛物线于两点，已知直线的斜率为，求点的坐标.

【答案】(1)抛物线的方程为，圆的方程为

(2)或

【分析】（1）根据题意求出点的横坐标，再根据在抛物线上求出纵坐标，由三角形面积可得，即可得解；

（2）设，直线的方程为，联立抛物线，由根与系数关系求出，再写出圆的切线方程，得出为方程的两根，即可借助根与系数的关系求解.

【详解】（1）由题意知，易知点横坐标为，故，

所以，所以，即，

所以抛物线的方程为，圆的方程为.

（2）设，直线的方程为，

由 得，

则，

设直线的方程为，

整理得，

因为与圆相切，所以，

整理得，

同理可得，

所以为方程的两根，

则，

所以，即，

所以或，经检验符合题意.

所以或.

21．5G网络是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.已知某精密设备制造企业加工5G零件，根据长期检测结果，得知该5G零件设备生产线的产品质量指标值服从正态分布.现从该企业生产的正品中随机抽取100件､测得产品质量指标值的样本数据统计如图.根据大量的产品检测数据，质量指标值样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.已知质量指标值不低于70的样品数为25件.

附：，，.

(1)求（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)若质量指标值在内的产品称为优等品，求该企业生产的产品为优等品的概率；

(3)已知该企业的5G生产线的质量控制系统由个控制单元组成，每个控制单元正常工作的概率为，各个控制单元之间相互独立，当至少一半以上控制单元正常工作时，该生产线正常运行生产.若再增加1个控制单元，试分析该生产线正常运行概率是否增加？并说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)质量控制系统有奇数个控制单元，增加1个控制单元设备正常工作的概率变小；质量控制系统有偶数个控制单元，增加1个控制单元设备正常工作的概率变大.答案见解析

【分析】（1）根据题意求出，再由频率分布直方图中频率之和为1求，计算均值即可；

（2）由产品质量指标值，根据正态分布曲线的对称性求解即可；

（3）分原控制单元的个数为偶数、奇数两类情况分别讨论，分别计算增加一个控制单元后正常工作概率，作差比较即可得解.

【详解】（1）因为质量指标值不低于70的样品数为25件，所以

所以，

因为，

所以，.

由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取100件的平均数为：

.

（2）由题意知，

样本方差，故，

所以产品质量指标值，

优等品的概率

（3）假设质量控制系统有奇数个控制单元，

设，

记该生产线正常运行的概率为，若再增加1个控制单元，

则第一类：原系统中至少有个控制单元正常工作，

其正常运行概率为；

第二类：原系统中恰好有个控制单元正常工作，新增1个控制单元正常工作，其正常运行概率为

；

所以增加一个控制单元正常运行的概率为

即，

因为，所以，

即增加1个控制单元设备正常工作的概率变小；·

假设质量控制系统有偶数个控制单元，设，记该生产线正常运行的概率为，若增加1个元件，

则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其正常运行概率为；

第二类：原系统中恰好有个控制单元正常工作，新增1个控制单元正常工作，

其正常运行概率为；

所以增加一个控制单元正常运行的概率为，

即

因为，所以，

即增加1个控制单元设备正常工作的概率变大.

22．已知函数.

(1)若在上周期为，求的值；

(2)当时，判断函数在上零点的个数：

(3)已知在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)一个零点

(3)

【分析】（1）利用恒成立，得到在上恒成立，即可求值；

（2）对函数求导，讨论、，根据导数符号判断单调性，结合零点存在性定理研究零点的个数；

（3）将问题化为在上恒成立，构造函数，讨论参数并研究其单调性，进而分区间判断是否恒成立求参数范围.

【详解】（1）由题意，在上，

所以，

即在上恒成立，

又，故.

（2）当时，则，

当时，所以，即在上单调递增.

又，所以在上有且仅有一个零点；

当时，所以在上无零点.

综上，在上有且仅有一个零点.

（3）由，即，整理得，

令，则，

当时，对任意有，又，

所以，此时在上单调递增，故，符合题意.

当时，令，则，

所以，在上恒成立，即在上单调递增.

又.

当，即时，在上有，此时在上单调递增，，符合题意.

当，即时，若，即，

由零点存在定理，存在使，故上，

所以在上递减，此时，不合题意.

若，即，此时对恒有且不恒为0.

即在上单调递减，所以，不合题意.

综上，的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：第三问，问题转化为在上恒成立，构造中间函数研究函数符号.