2023届陕西省宝鸡市高三三模数学（理）试题含解析

2023届陕西省宝鸡市高三三模数学（理）科试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则等于（    ）

A． B． C．． D．

【答案】B

【分析】求出两直线的交点坐标，即可得解.

【详解】由，解得，

因为集合，集合，

所以.

故选：B

二、多选题

2．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（    ）

A．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值

B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值

C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平

D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值

【答案】AC

【解析】直接由六维能力雷达图读取数据辨别即可

【详解】对于A选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A正确；

对于B选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的数学建模能力指标值优于甲的直观想象能力指标值，故选项B错误；

对于C选项，甲的六维能力指标值的平均值为，乙的六维能力指标值的平均值为，所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项C正确；

对于D选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，所以选项D错误.

故选：AC.

三、单选题

3．设i是虚数单位，复数为复数z的共轭复数，若满足，则复数z在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的乘、除法运算可得，由共轭复数的概念可得，结合复数的几何意义即可求解.

【详解】由题意知，

，

所以，在复平面内对应的点为，在第四象限.

故选：D.

4．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A．32 B．16 C． D．

【答案】D

【分析】根据三视图可知几何体为一个三棱柱切掉一个三棱锥，分别求解出三棱柱和三棱锥的体积，作差即可得到结果.

【详解】由三视图可知，几何体为一个三棱柱切掉一个三棱锥

如下图所示：

则为中点

，

所求几何体体积：

本题正确选项：

【点睛】本题考查多面体体积的求解问题，关键是能够通过割补的方式来进行求解.

5．已知命题p：，；命题q：直线：与：相互垂直的充要条件为，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】确定命题的真假，然后由复合命题的真值表判断．

【详解】令，则，所以p为真命题；

若与相互垂直，则，解得，故q为假命题，

所以只有为真命题.

故选：B．

6．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为（，），如图2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则1分钟内阻尼器由其它位置摆动经过平衡位置的次数最多为（    ）

A．19 B．20 C．40 D．41

【答案】C

【分析】先根据周期求出，从而得到，再根据的取值范围，得到的取值范围，从而得到1分钟内阻尼器由其它位置摆动经过平衡位置的最多次数，等价于1分钟内的最多次数，等价于区间里包含的最多次数，进而求解即可．

【详解】因为，，，所以，

又，所以，则，

由，则，

所以1分钟内阻尼器由其它位置摆动经过平衡位置的最多次数，等价于1分钟内的最多次数，等价于区间里包含的最多次数，

又，则区间里包含了，，，，…，或，，，…，，

所以区间里包含的最多次数为40．

故选：C．

7．已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，则结论错误的（    ）

A．，，，则

B．，且，则

C．，，且，则

D．，，，则

【答案】D

【分析】利用空间中线线、线面、面面关系逐一判断即可.

【详解】对于A：若，，则或，

若，，则，

若，则平面存在直线使得，又，所以，又，所以，故A正确；

对于B：若，，则，又则，故B正确；

对于C：若，，所以，又且，是空间两个不同的平面，则，故C正确；

对于D：若，，，则或与异面，故D错误.

故选：D

8．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二倍角公式化简得出，即可求得的值.

【详解】因为，则，所以，，

因为，所以，，

故，可得.

故选：B.

9．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图（含乾、坤，巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用组合知识求出从八卦中任取两卦的情况，再计算出这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的情况，求出概率.

【详解】从八卦中任取两卦，共有种情况，

其中这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线，则必有一卦为乾，另一卦从兑、离、巽中选出一卦，故共有，

故这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为.

故选：B

10．设，，，则a，b，c的大小顺序为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得解.

【详解】，，，

令，则，

当时，，当时，，

所以函数再上递增，在上递减，

由，

得，所以，即.

故选：B.

11．已知函数，则下列选项正确的是（    ）

A．没有极值点

B．当时，函数图象与直线有三个公共点

C．点是曲线的对称中心

D．直线是曲线的切线

【答案】D

【分析】当时，对求导，可得出有极小值点，可判断A；结合奇偶性，得出在R上的单调性、最值，可知当时，函数图象与直线有三个公共点，可判断B；若点是曲线的对称中心，则，令，可判断C；由导数的几何意义可判断D.

【详解】因为的定义域为，关于原点对称，

当时，，所以是奇函数，

对于A，时，，，

令，解得：，

令，得；令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以有极小值点，A不正确；

因为是奇函数，所以在上单调递减，在上单调递增，

且，

当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于正无穷时，趋近于负无穷，

所以当时，函数图象与直线有三个公共点，故B不正确；

若点是曲线的对称中心，则，

则令，则，而，，

故点不是曲线的对称中心，故C不正确；

当时，，，

则令，解得：，则切点为，

在处的切线为：，故D正确.

故选：D.

12．已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为，且到l的距离为，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为，PQ为的平分线．则下列正确的是（    ）

A．双曲线的方程为 B．

C． D．的面积为

【答案】D

【分析】由题求得双曲线的方程，利用角平分线定理及双曲线的定义，解出，的长，选出正确选项.

【详解】因为一条渐近线方程为，所以，

因为到l的距离，所以，双曲线的方程为，A错误；

因为，，，由角平分线定理，，

即，B错误；

又因为，所以，，

因为，在中，由余弦定理得 ，则，

，，

，C错误；

的面积为，D正确；

故选：D.

【点睛】由双曲线上点到两个焦点的距离之差的绝对值为2a，求得，，结合三角形知识解决面积等问题.

四、填空题

13．已知向量，，则平面向量在向量方向上的投影为________．

【答案】3

【详解】根据平面向量数量积的坐标表示可得，根据向量的几何意义可得，结合投影向量的概念计算即可求解.

由题意知，

，，

所以向量在向量上的投影为.

故答案为：3.

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且满足，，则边a等于________．

【答案】

【分析】先根据题意求得角，的值，再根据正弦定理求解即可．

【详解】由，显然，则，

又，则，

由，

又，则，整理得，

又，则，所以，得，

又由正弦定理有，则．

故答案为：．

15．已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 __________.

【答案】

【分析】分别求两条曲线的切线方程，比较系数得a的值.

【详解】函数的图象在处的切线的切点为，

因为，所以切线斜率为，切线方程为，即，

设的图象的切线的切点为，因为，所以切线斜率为，

切线方程为，即，

由题，解得，，斜率为.

故答案为：.

16．如图，正方体棱长为2，P是线段上的一个动点，则下列结论中正确的为________．

①BP的最小值为

②存在P点的某一位置，使得P，A，，C四点共面

③的最小值为

④以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为

【答案】③④

【分析】根据的最小值为等边三角形的高，可求得A正确；利用空间共面向量定理可判断②错误；将翻折到一个平面内，可知所求最小值为，利用余弦定理可求得③正确；利用点到面的距离公式点到平面的距离，根据交线为圆可求得交线长，知④正确.

【详解】对于①，在中，，即是边长为的等边三角形，

的最小值为的高，，①不正确；

对于②，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

，

设，则，即，

即，，

，

假设P，A，，C，由空间共面定理可得：，

则，

可得，故不存在点P，使得P，A，，C四点共面，故②不正确；

对于③，将翻折到一个平面内，如图所示，

为等腰直角三角形，为等边三角形，则的最小值为，

又，，，，

在中，由余弦定理得：，

，即，故③正确；

对于④，设点到平面的距离为，

，设平面，

则，则，

令，，则，

因为，所以

以点为球心，为半径的球面与平面的交线是以为半径的圆，

交线长为，④正确.

故答案为：③④

五、解答题

17．已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和为．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差数列和等比中项的性质列式求解即可得出答案.

（2）由（1）求出，再由错位相减法求和.

【详解】（1）由，则，则

，

由，，成等比数列可得：，

解得：，

设的公差为d，则．

故．

（2）由（1）知，，

则，

所以，①

所以，②

①-②得，，

所以，，

所以，．

18．为深入贯彻党的教䏍方针，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校从2022年起积极推进劳动课程改革，先后开发开设了具有地方特色的家政､烹饪､手工､园艺､非物质文化遗产等劳动实践类校本课程.为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表：

(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数与月份之间的关系，求关于的回归直线方程，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数；

(2)10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表：

请根据上表判断是否有的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关？参考公式：.

，其中.

【答案】(1)，2540

(2)有的把握

【分析】（1）根据线性回归方程公式求出，进而求出回归直线方程，预测出结果；

（2）根据公式求出，判断出有的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关.

【详解】（1）由题意可得，

则

可得，

故关于的回归直线方程为.

令，得，

据此预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数为人.

（2）提出假设：该校的学生性别与对劳动课程是否满意无关.

则.

因为，而，

故有的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关.

19．在四棱锥中，，，，， 平面，与平面所成角，又于，于.

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)利用空间向量的坐标运算，根据求出点的坐标，进而可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）利用空间向量的坐标运算求解面面夹角的余弦值.

【详解】（1）过作，则四边形为矩形，

以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

，因为与平面所成角，

所以，所以，所以,

，，

设，

所以，即,

因为，所以,解得，

所以，又因为，

所以，即，

又因为，，平面，

所以平面.

（2）由（1）可知平面，

则为平面的一个法向量.

,所以,即，

又因为平面，平面,所以，

又因为平面，

所以 平面，

则为平面的一个法向量.

则

所以二面角的余弦值为.

20．已知椭圆E：的离心率为，短轴长为4．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线与椭圆E交于C，D两点，在y轴上是否存在定点Q，使得对任意实数k，直线QC，QD的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在；或者

【分析】（1）根据椭圆的离心率、短轴的定义列出方程组，求出a、b即可求解；

（2）设存在点满足条件，记，．直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，结合两点表示斜率公式化简计算可得，当时为定值，解出m的值即可.

【详解】（1）由题意得，解得，

所以E的方程为．

（2）由（1）知，椭圆E的方程为．

设存在点满足条件，记，．

由消去y，得．显然其判别式，

所以，，

于是

．

上式为定值，当且仅当．解得或．

此时，或．

从而，存在定点或者满足条件．

21．已知函数，，．

(1)设的导函数为，当有两个零点时，求实数m的取值范围；

(2)设，，当时，若恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，利用导数求函数研究函数性质，数形结合求出参数的取值范围；

（2）将时，成立，转化为对恒成立，构造函数，即对恒成立问题，求出参数取值范围.

【详解】（1），令，

函数的零点即为的方程的根，令，

，

当或时，，单调递增，

当时，，单调递减，

且，，

或时，，时，，时，，

即m的取值范围为．

（2）当时，若成立，

即对恒成立，

即对恒成立，

亦即对恒成立，

设函数，即对恒成立，

又，

设，得，

当时，，此时在上单调递减，

当时，，此时在上单调递增，

所以，

所以在R上单调递增，又，即在上恒成立，

令，则，

①当时，在上恒成立，，此时满足已知条件，

②当时，由，解得，

当时，，此时在上单调递减，

当时，，此时在上单调递增，

的最小值，解得，

综上，m的取值范围是．

【点睛】观察，可化为，比较不等式两边代数式，考虑构造函数，将不等式转化为.

22．已知点在曲线上．

(1)求动点的轨迹C的参数方程，并化为直角坐标方程；

(2)过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率．

【答案】(1)参数方程为，为参数；直角坐标方程为

(2)

【分析】（1）先将曲线化为参数方程，可得到动点，从而得到点M的轨迹C的参数方程，再转化为直角坐标方程即可；

（2）先设l的参数方程，再代入曲线C的方程得，再结合韦达定理和同角三角函数的基本关系求解即可．

【详解】（1）由题意，曲线的参数方程为，为参数，

则，

再设，则，为参数，

消去参数，得到，

故点M的轨迹C的方程为．

（2）设l的参数方程为（t为参数），且，

代入曲线C的方程得，

设A，B两点对应得参数分别为，，则，

所以，则，

即直线l的斜率为．

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)令的最小值为.若正实数，，满足，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）零点分段法解绝对值不等式；（2）在第一问的基础上得到，用基本不等式“1”的妙用求解最值，证明出结论.

【详解】（1）

由得：

或或

解得：或或

综上所述：不等式的解集是.

（2）证明：由（1）中函数的单调性可得

∴

当且仅当时等号成立.