2023届北京市中国人民大学附属中学高三统练（四）数学试题含解析

这是一份2023届北京市中国人民大学附属中学高三统练（四）数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届北京市中国人民大学附属中学高三统练（四）数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答.【详解】集合，即，，则，所以.故选：B2．已知向量，且，则m=A．−8 B．−6C．6 D．8【答案】D【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．3．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.【详解】对于A，函数为奇函数，但在定义域上函数不单调，故A不符合；对于B，的定义域为，，则为偶函数，故B不符合；对于C，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上均为增函数，故在上为增函数，故C不符合；对于D，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上为减函数，在上为增函数，故在上为减函数，故D符合.故选：D.4．若实数、满足，则下列不等式中成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】对于D，结合对数函数的单调性即可判断；对于ABC，取，即可判断.【详解】由题意，，所以，故D正确；当，时，，但，，，故A，B，C错误.故选：D.5．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（    ）A．60 B．80 C． D．【答案】B【分析】根据各项系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可.【详解】当时，，解得，则的展开式第项，令，解得，所以，故选：B6．已知抛物线的焦点为F，点，点P为该抛物线上一动点，则周长的最小值是（    ）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根据题意分析出的最小值为点A到准线的距离，而为定值，即可求出周长的最小值.【详解】因为抛物线方程为，所以，所以焦点，且抛物线准线方程为.注意到的周长为，因为，，所以,所以.因为根据抛物线定义，点到准线的距离等于，则若求周长最小值，即求点到准线的距离与长度之和的最小值即可，由图可知，当点为过点作轴垂线与抛物线的交点时，点到准线的距离加长度之和最小，最小值为，所以周长的最小值为.故选：C.7．已知等差数列的前项和为，，，则（    ）A．当时，最大 B．当时，最小C．数列中存在最大项，且最大项为 D．数列中存在最小项【答案】C【分析】根据题意分析可得，.对A：根据等差数列的前项和的性质结合二次函数分析判断；对B：分类讨论判断与的大小关系；对C、D：根据等差数列的单调性以及的正负性分析判断.【详解】设等差数列的公差为d，∵，则，即，又∵，解得，对A：∵为等差数列，则可设，由二次函数可知不存在最大值，故A错误；对B：因为，则有：当时，，故；当时，，故；当时，，；故B错误；对C、D：∵，则数列为递减数列，且，所以对，均有；对，均有0，所以中，最大，无最小项，故C正确，D错误.故选：C.8．已知非零向量，，则“与共线”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件【答案】B【分析】取为方向相反的单位向量，得到不充分，根据得到，得到必要性，得到答案.【详解】若与共线，取为方向相反的单位向量，则，，，不充分；若，则，整理得到，若或，不等式成立，且与共线，若且，设夹角为，则，即，即，即，故与共线，必要性.综上所述：“与共线”是“”的必要不充分条件.故选：B9．血药浓度（Plasma    Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中：①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒；③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒.其中正确说法的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据图象，结合题意，逐个判断即可．【详解】①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使血药浓度大于最低有效浓度，药物持续发挥治疗作用，故正确；④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．故选：C．10．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答.【详解】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，，所以的取值范围是：.故选：B【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法. 二、填空题11．已知a，b均为实数.若，则_____________.【答案】【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.【详解】，故，.故答案为：.12．设双曲线的两个焦点为、，点是圆与双曲线的一个公共点，，则该双曲线的离心率为________．【答案】【分析】运用双曲线的定义、向量加法及数量积、余弦定理计算可得结果.【详解】由题意知，点P在双曲线E上，不妨取设，则由双曲线的定义知，，①因为O为的中点，所以，所以，又因为点P在圆上，所以，所以，即：，②又因为在△中，由余弦定理得：，即：，③由①②③得，所以.故答案为：. 三、双空题13．若函数在上取到最大值A，则的最小值为___________.若函数的图象与直线在上至少有1个交点，则的最小值为__________.【答案】          【分析】利用正弦函数的图象和周期即可求解.【详解】要使在区间上取到最大值A，则，，则的最小值为；又函数与在上至少有1个交点，即函数在区间上至少出现1次最小值，，解得：，则的最小值是.故答案为：；.14．如图，在中，，，、分别在边、上，，且.则值是__________；的面积是__________.【答案】          /【分析】分析可得，，在中，利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可求得的值；求出的长，利用两角和的正弦公式求出的值，利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】因为，则，故，因为，则为的中点，且，在中，由正弦定理可得，即，易知为锐角，故，可得，所以，，则，，，故在中，为锐角，故，所以，，因此，.故答案为：；. 四、填空题15．在数列中，对任意的都有，且，给出下列四个结论：①对于任意的，都有；②对于任意，数列不可能为常数列；③若，则数列为递增数列；④若，则当时，.其中所有正确结论的序号为_____________.【答案】③④【分析】对数列递推关系变形得到，得到与同号，当时，，①错误；当时，推导出此时为常数列，②错误；作差法结合时，，求出数列为递增数列，③正确；由与同号，得到当，有，结合作差法得到为递减数列，④正确.【详解】因为，所以，因为任意的都有，所以，所以与同号，当，则时，都有，①错误；当时，，所以，同理得：，此时为常数列，②错误；，由A选项知：若，则，所以，则数列为递增数列，③正确；由与同号，当，则时，都有，且此时，所以数列为递减数列，综上：若，则当时，，④正确.故答案为：③④ 五、解答题16．已知函数.在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：条件①：在图象上相邻的两个对称中心的距离为；条件②：的一条对称轴为.(1)求ω；(2)将的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的值域.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由三角函数的恒等变换对进行化简，再分别由条件①②求的值．（2）由三角函数的平移变换得的解析式，再由函数的定义域求值域即可．【详解】（1）选①：图象上相邻两个对称中心的距离为，则，则，选②：的一条对称轴为，则，，又，则，于是（2）将的图象向右移个单位长度（纵坐标不变），得到函数的图象，，，的值域为．17．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为线段AD的中点.PE⊥底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.(1)求证：；(2)若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理和性质定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：因为E为AD中点，所以．又因为BC＝1，所以DE＝BC．在梯形ABCD中，DEBC，所以四边形BCDE为平行四边形．所以BECD．又因为BE⊄平面PCD，且CD⊂平面PCD，所以BE平面PCD．因为BE⊂平面BEF，平面BEF∩平面PCD＝FG，所以BEFG．.（2）因为PE⊥平面ABCD，且AE，BE⊂平面ABCD，所以PE⊥AE，且PE⊥BE．因为四边形BCDE为平行四边形，∠ADC＝90°，所以AE⊥BE．以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz．则．设，所以，．因为PC与AB所成角为，所以．所以．则，．所以，，．设平面BEF的法向量为，则，即令，则，所以．所以．所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为．18．某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：专家 A    B    C    D    E    评分 9.6  9.5  9.6  8.9  9.7  （1）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E（Y）的值；（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系．【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【分析】（1）由频率和为1可得a的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率；（2）计算概率可得分布列和期望．（3）由两组数据的比重可直接作出判断.．【详解】（1）由图知，某场外观众评分不小于9的概率是． （2）X的可能取值为2，3．P（X=2）=；P（X=3）=．所以X的分布列为X23P所以E（X）=2×．由题意可知，，所以E（Y）=np=．（3）．【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布，属中档题．19．已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【详解】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.试题解析：（I）的定义域为.当时，，曲线在处的切线方程为（II）当时，等价于设，则，（i）当，时，，故在上单调递增，因此；（ii）当时，令得.由和得，故当时，，在单调递减，因此.综上，的取值范围是【解析】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性【名师点睛】求函数的单调区间的方法：（1）确定函数y＝f（x）的定义域；（2）求导数y′＝f′（x）；（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 20．如图，已知椭圆的离心率为，F为椭圆C的右焦点，，.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M，直线OM与直线交于点D，过O且平行于AP的直线与直线交于点E.求证：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的离心率为， ，结合性质 ，列出关于、、的方程组，求出、、，即可得椭圆C的方程；（2）设直线的方程为：，将其代入椭圆方程，整理得，根据韦达定理可得，直线的方程是，令 ，得，同理可得，根据斜率公式可得在和中，和都与互余，所以.【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c，依题意，得：，解得，，，椭圆C的方程是：.（2）证明：由第一问得，设AP的中点，，设直线AP的方程为：，将其代入椭圆方程，整理得：，椭圆C与直线AP的交点为与，，的中点是，，代入得：，即，直线OM的斜率是，直线OM的方程是，令，得，，且直线过原点，直线OE的方程是，令，得，由，得直线EF的斜率是，直线OM的斜率与直线EF的斜率互为负倒数，，记垂足为H，直线DF的斜率是，直线DF的斜率与直线OE的斜率互为负倒数，，记垂足为G，在和中，和都与互余，.21．对非空数集，，定义，记有限集的元素个数为.（1）若，，求，，；（2）若，，，当最大时，求中最大元素的最小值；（3）若，，求的最小值.【答案】（1）；（2）13；（3）15【解析】（1）根据新定义求出，进而可得答案；（2）设，，当A中元素与B中元素的差均不相同时，可取到最大值，进而可求出最大值，再通过得到，可得中最大元素的最小值；（3）对非空数集T，定义运算，首先确定A中不同的元素的差均不相同，B中不同的元素的差均不相同，由可得的最小值，然后验证最小值可以取到即可.【详解】解：（1），，，;（2）设，，①，，当A中元素与B中元素的差均不相同时等号成立，所以最大值为16；②当时，A中元素与B中元素的差均不相同，，又因为，，，则，综上，最大值为16，A中最大元素的最小值为13；（3）对非空数集T，定义运算，①,，当且仅当时取等号，又因为，所以A中不同的元素的差均不相同，同理，B中不同的元素的差均不相同，若因为，，②令，，所以，A中不同元素的差均不相同，B中不同元素的差均不相同，所以，经检验，符合题意，综上的最小值为15.【点睛】本题考查集合的新定义问题，正确理解题意是解题的关键，考查学生分析问题解决问题的能力，是一道难度较大的题目.