2023届湖南省名校教研联盟高三下学期4月联考数学试题含解析

这是一份2023届湖南省名校教研联盟高三下学期4月联考数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湖南省名校教研联盟高三下学期4月联考数学试题 一、单选题1．集合，若，则集合可以为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式化简集合M，再根据给定的并集结果逐项判断作答.【详解】解不等式得：，则，而，对于A，，不符合题意，A不是；对于B，，不符合题意，B不是；对于C，，符合题意，C是；对于D，若，则，不符合题意，D不是.故选：C2．复数是纯虚数的充分不必要条件是（    ）A．且 B． C．且 D．【答案】C【分析】运用纯虚数的定义求出参数的范围，结合集合的包含关系即可求得结果.【详解】因为复数是纯虚数的充要条件是且，又因为且是且的充分不必要条件，所以且是复数为纯虚数的充分不必要条件.故选：C.3．函数的定义域为，导函数为，若对任意，成立，则称为“导减函数”.下列函数中，是“导减函数”的为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】理解题目新定义，对各选项进行计算分析即可得出答案.【详解】若函数的定义域为，若对任意，， ，当时，，则不符合导减函数的定义；，，当时，，则不符合导减函数的定义；，，当时，，则不符合导减函数的定义；，，则符合导减函数的定义.故选：D.4．用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色.在所有着色方案中，①③⑤着相同色的有（    ）A．96种 B．24种 C．48种 D．12种【答案】B【分析】根据分步计数原理计算即可.【详解】因为①③⑤着相同的颜色，可以有种，②④⑥按要求可随意着与①③⑤不同色的另外两种颜色，故有种，所以共有24种.故选：B5．从午夜零时算起，在钟表盘面上分针与时针第次重合时，分针走了，则24小时内（包括第24时）所有这样的之和（    ）A．24 B．300 C．16560 D．18000【答案】C【分析】易知分针每分钟转，时针每分钟转，则，有，根据等差数列的定义可知为等差数列，由求得，结合等差数列前n项求和公式计算即可.【详解】在钟表盘面上，分针每分钟转，时针每分钟转，即,得，则数列是以为首项，公差为的等差数列.由，得，解得，所以24小时内分针与时针重合22次，.故选：C.6．将水平放置，棱长为1的正方体容器（不计容器壁厚度）中注入一半的水，现将该正方体容器任意摆放，并保证水不溢出，则平行于水平面的水面面积的最大值为（    ）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】分类讨论当以点D为中心旋转时，水面是以为边长的正六边形时面积最大；当以棱AD为轴旋转时，水面是正方体的体对角面时面积最大.两者比较即可.【详解】如图所示，因为水的体积恰好是容器容积的一半，所以①水面可以是以为边长的正六边形，此时水面面积为；②水面可以是正方体的体对角面，此时水面面积为，所以平行于水平面的水面面积的最大值为.故选：D.7．2022年12月4日20点10分，神州十四号返回舱顺利着陆，人们清楚全面地看到了神州十四号返回舱成功着陆的直播盛况.根据搜救和直播的需要，在预设着陆场的某个平面内设置了两个固定拍摄机位和一个移动拍摄机位.根据当时气候与地理特征，点在拋物线（直线与地平线重合，轴垂直于水平面.单位：十米，下同.的横坐标）上，的坐标为.设，线段，分别交于点，，在线段上.则两固定机位，的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，，根据条件，，得出坐标间的关系，表示直线的方程，求出恒过的定点即为点，计算即可.【详解】设，，，，，根据条件有，，,，.∴，.由题意互不相等，把，，分别代入上两式化简得，，消去得.的方程是，即，∴的方程为，则，∴经过定点.所以点的坐标为.，即两固定机位的距离为.故选：B.8．设的最小值为，最大值为，若正数，满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，，得出点的轨迹是椭圆在坐标轴正半轴和第一象限的部分,再数形结合，求出的大小，再验证选项即可.【详解】设，，则，，，则，即点的轨迹是椭圆在坐标轴正半轴和第一象限的部分.设，即，所以当，即时，取得最小值2，即（此时直线过椭圆的上顶点）.直线与椭圆在第一象限相切时，最大.将代入椭圆方程并化简得，所以，所以（负值已舍）.所以.，即，所以.由知，，，所以与均是单调减函数，所以.所以A正确.故选：A. 二、多选题9．已知一组数据：0，1，2，4，则下列各选项正确的是（    ）A．该组数据的极差，中位数，平均数之积为10B．该组数据的方差为2.1875C．从这4个数字中任取2个不同的数字可以组成8个两位数D．在这4个数字中任取2个不同的数字组成两位数，从这些两位数中任取一数，取得偶数的概率为【答案】BD【分析】对于AB选项，根据极差、中位数、平均数、方差的求法计算即可；对于C选项，利用分步计数原理计算即可；对于D项，根据古典概型计算即可.【详解】由数据计算可得：该组数据的极差为4-0=4，中位数为（1+2）÷2=1.5，平均数为（0+1+2+4）÷4=1.75，它们之积为4×1.5×1.75=10.5，故A错误；方差为，故B正确；先排十位数，有三种排法，再排个位数也是三种派发，故可以组成9个两位数，即C错误；而组成的9个两位数其中只有21，41两个奇数，从中随机抽一数，抽到偶数的概率为，故D正确.故选：BD.10．若函数同时满足以下条件：①是函数的零点，且；②，有，则（    ）A．B．将的图象向左平移个单位长度得到的图象解析式为C．在上单调递减D．直线是曲线的一条对称轴【答案】ABC【分析】由条件先得出，再利用三角函数的图象与性质逐项分析正误即可.【详解】函数的零点，即方程的解，所以，，由②知是函数的一条对称轴，则有，解得，所以.故A正确；将的图象向左平移个单位长度得到函数.故B正确；令，即时函数单调递减，，故C正确；时，，显然不是函数的对称轴，故D错误；故选：ABC11．直线，与椭圆共有四个交点，它们逆时针方向依次为，则（    ）A．B．当时，四边形为正方形C．四边形面积的最大值为D．若四边形为菱形，则【答案】ACD【分析】A选项，由对称性得到是平行四边形，联立直线与椭圆方程，由根的判别式得到答案；B选项，利用弦长求出和两平行线之间的距离，判断出，得到结论；C选项，表达出，利用基本不等式求出面积最值；D选项，由菱形得到，得到，求出答案.【详解】A选项，可以看出，由椭圆的对称性知四边形是平行四边形，设，，联立与得，，其中，解得，A正确.B选项，由韦达定理得，，，平行四边形的高即为两平行线之间的距离，当时，，，故，B错误.C选项，，设，，，当且仅当，即时，等号成立，C正确.D选项，若四边形是菱形，则，即故，解得，，D正确.故选：ACD【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．12．已知和是定义在上的函数，若存在区间，且，则称与在上同步.则（    ）A．与在上同步B．存在使得与在上同步C．若存在使得与在上同步，则D．存在区间使得与在上同步【答案】BC【分析】由题意转化为在上是否至少存在两个零点，，结合零点存在性定理判断选项A、B；结合导数找到函数的单调性及最值，再根据函数零点情况判断选项C、D.【详解】由题知与在上同步，即在上，至少存在两个零点，，对于A，在上单调递增，故A错误.对于B，，，，，函数在上必有一个零点，故B正确.对于C，，，当时函数在上单调递减，至多有一个零点，不符合题意，当时，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，当时，当时，，当时，取最大值，若要有两个零点，则，解得，故C正确.对于D，，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，所以，没有零点，故D错误.故选：BC. 三、填空题13．展开式中的系数为______.【答案】135【分析】根据二项式展开式的通项公式，令，解出r即可求解.【详解】展开式的通项公式为，令，解得，所以含的项的系数为.故答案为：135.14．双曲线的上焦点为，，为曲线上两点，若四边形为菱形，则的离心率为______.【答案】/【分析】根据四边形为菱形，结合，得到，将其代入双曲线得到，根据与的关系即可得到答案.【详解】由题得得双曲线上焦点，因为四边形为菱形，，则可设，由得，将点的坐标代入解得，则，所以的离心率为.故答案为：.15．在正五边形中，，则______.【答案】/【分析】先利用正五边形的结构特征求得的长度，再利用向量数量积定义即可求得的值.【详解】分别连接，，设，，连接，由，可得，又，则同理可得，则，则.则，.设，则.由得，即，解得.所以故答案为：16．若，，则______.【答案】【分析】运用诱导公式化简后构造函数，研究其奇偶性，运用导数研究其单调性，依据奇偶性及单调性解方程即可.【详解】由，得，，即，.设，定义域为,则所以是上的奇函数，又因为，所以是上的单调增函数.又因为，，所以，所以，即，所以.故答案为：. 四、解答题17．已知的内角，，的对边分别为，，，若.(1)求的值；(2)若的面积为，求周长的最大值.【答案】(1)(2)12 【分析】（1）法一：设，，由正弦定理得到，利用积化和差公式得到，求出答案；法二：设，，由正弦定理得到，由三角恒等变换得到，求出答案；（2）由面积公式得到，由正弦定理结合三角恒等变换得到，结合的范围，求出最值.【详解】（1）法一：设，，在中，由正弦定理得，，，代入已知化简得，又在中有：，即，∵，即，所以，所以.法二：设，，在中，由正弦定理得，，，代入已知化简得，又在中有：，即，∵，即，所以，所以.（2）在中有，，即，由正弦定理得：，故，，，因在中，，，，所以，当时，等号成立，周长取得最大值12.18．在数列中，，，.(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，求的最大值.【答案】(1)(2)96 【分析】（1）由已知条件可得，当为奇数时，数列的奇数项的通项公式为，当为偶数时，即数列的偶数项的通项公式为；（2）分别讨论当为奇数或偶数，得出数列各项的值或大小，从而求得的最大值.【详解】（1）当为奇数时，即数列的奇数项是以18为首项，为公差的等差数列，.当为偶数时，即数列的偶数项是以24为首项，为公差的等差数列，.所以.（2）当为奇数时，，即，，都大于0，，，当为偶数时，，即，，，都大于，，，所以的最大值为.19．某商场举行有奖促销活动，顾客当日消费金额达366元及以上的均可抽奖.每次抽奖都是从装有2个红球，8个白球的箱子中一次性取出2个小球，若取出2个红球，得200元本商场购物券；若取出1个红球和1个白球，得80元本商场购物券；若取出2个白球，得10元本商场购物券.(1)求顾客抽一次奖获得购物券金额的分布列；(2)为吸引更多的顾客，现在有两种改进方案，甲方案：在原方案上加一个红球和一个白球，其他不变.乙方案：在原方案的购物券上各加10元，其他不变；若你是顾客，你希望采用哪种方案.【答案】(1)分布列见解析；(2)顾客希望采用方案乙. 【分析】（1）设获得购物券的金额为，先求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列；（2）分别求得甲乙两方案顾客所得购物券金额的数学期望，对二者进行大小比较，选择数学期望较大者即可.【详解】（1）设获得购物券的金额为，则可以取200，80，10，，，.的分布列为：2008010（2）方案甲，设获得购物券的金额为，则可以取200，80，10，，，.则.方案乙，设获得购物券的金额为，.因，所以顾客希望采用方案乙.20．在四棱锥中，，，，，顶点在底面上的射影在线段上，且.(1)证明：；(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由余弦定理和勾股定理逆定理得到，求出各边长度得到四边形为平行四边形，从而得到，再由证明出线面垂直，进而证明出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小.【详解】（1）在中，由余弦定理得，∵，∴，延长交于点，由题易知，∵，∴，，∵，，∴四边形为平行四边形，∴，．∵平面ABCD，平面，∴.∵，是平面内两相交直线，∴平面BPD．∵平面BPD，∴.（2）由（1）知，，互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，，.设平面的一个法向量为，则，即，不妨取，得.设平面的一个法向量为，则，不妨取，得，所以，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.21．椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点到直线的距离为.(1)求的方程；(2)过点的直线交双曲线右支于点，，点在上，求面积的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先得到直线的方程，利用点到直线的距离公式得到，再由离心率求出，，即可得解；（2）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再设平行于与椭圆相切的直线为，联立方程，利用得到，再求出两平行线之间的距离，从表示出三角形的面积，在换元求出取值范围.【详解】（1）直线方程为，即，到直线的距离，化简得，又离心率，即，且，解得，，，所以的方程为：.（2）设直线的方程为，由于的渐近线的斜率为，所以.将方程代入，化简得.设，，则，，，设平行于与椭圆相切的直线为，由得，由得，直线与之间的较小距离，直线与之间的较大距离，则面积的较小值为，面积的较大值为，设，，，则，，，∴，.所以面积的取值范围为.22．已知函数，.(1)函数在处取得极大值，求的值；(2)若，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）运用导数求得函数的极大值即可.（2）令，分类讨论、、与时研究其最值与0比较即可.【详解】（1）因为，，所以，所以，所以.因为，所以.当，或时，，当时，，令，则当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且.因为，，所以，即.（2）由为偶函数，则只需考虑的情况：记，有，（ⅰ）当，有，所以单调递增，有，①当，有，成立；②当，记，则只需证，；，；有，当，有，则单调递增，，成立；当，有，则单调递减，有，成立；（ⅱ）当，有，所以单调递减，有，记，其中，只需证，有，当，易知，当，有，所以单调递减，则，成立；综上可知，有.【点睛】利用导数证明不等式策略：（1）待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．（2）若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x与ex，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．