（宁波卷）（全解全析）2023年中考数学第二模拟考试卷

这是一份（宁波卷）（全解全析）2023年中考数学第二模拟考试卷，共22页。试卷主要包含了的相反数是，下列计算正确的是，估计的值在，计算的结果是，如图1是一座立交桥的示意图等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学第二次模拟考试卷（宁波卷）
数学·全解全析
1．的相反数是（　　）
A． B． C．2022 D．﹣2022
【分析】直接根据相反数的概念解答即可．
【详解】解：的相反数是﹣，
故选：B．
【点睛】此题考查的是相反数，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解决此题关键．
2．作为我国核电走向世界的“国家名片”，“华龙一号”是当前核电市场接受度最高的三代核电机型之一，是我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的三代压水堆核电创新成果，中核集团“华龙一号”示范工程全面建成后，每台机组年发电能力近12000000亿千瓦时．12000000亿用科学记数法表示为（　　）
A．12×106 B．1.2×107 C．1.2×1014 D．1.2×1015
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：12000000亿＝1200000000000000＝1.2×1015，
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据圆锥、圆柱、正方体、三棱柱的主视图、俯视图进行判断即可．
【详解】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，因此A不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此B不符合题意；
正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项C符合题意；
三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
4．下列计算正确的是（　　）
A．2x2•3x3＝6x6 B．（y﹣2）2＝y2﹣4
C．2y3﹣6y2＝﹣4y D．（﹣y2）3＝﹣y6
【分析】直接利用单项式乘以单项式以及完全平方公式、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：A、2x2•3x3＝6x5，故此选项错误；
B、（y﹣2）2＝y2﹣4x+4，故此选项错误；
C、2y3﹣6y2，无法计算，故此选项错误；
D、（﹣y2）3＝﹣y6，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式以及完全平方公式、积的乘方运算，正确把握相关运算法则是解题关键．
5．估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】依据被开方数越大对应的算术平方根越大进行估算即可．
【详解】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
6．计算的结果是（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．2b﹣2a
【分析】根据同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，计算即可．
【详解】解：
＝
＝﹣
＝﹣2，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键．
7．为了奖励学习认真的同学，班主任老师给班长拿了40元钱，让其购买奖品，现有单价为4元的A种学习用品和单价为6元的B种学习用品可供选择，若40元钱恰好花完，则班长的购买方案有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】设购买A种学习用品x件，B种学习用品y件，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出购买方案的个数．
【详解】解：设购买A种学习用品x件，B种学习用品y件，
依题意得：4x+6y＝40，
∴x＝10﹣y．
又∵x，y均为自然数，
∴或或或，
∴班长共有4种购买方案．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，则线段DE的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．
【分析】求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE＝DE，求出AE＝BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵AB＝5，
∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE＝BE＝AE．
9．某数学兴趣小组在研究二次函数y＝x2+ax+b的图象时，得出如下四个命题：
甲：图象与x轴的一个交点为（3，0）；
乙：图象与x轴的一个交点为（1，0）；
丙：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧．
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据抛物线的对称性、抛物线与x轴的交点判断即可．
【详解】解：对于y＝x2+ax+b，二次项系数为1＞0，
∴抛物线开口向上，
当图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线，图象与x轴的一个交点为（3，0）时，
图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），图象与x轴的交点在原点两侧，
∴乙是假命题，
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、二次函数的性质，掌握抛物线的对称性、抛物线与x轴的交点情况是解题的关键．
10．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以12m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是（　　）

A．甲车从G口出，乙车从F口出
B．立交桥总长为252m
C．从F口出比从G口出多行驶72m
D．乙车在立交桥上共行驶16s
【分析】根据题意，根据弧长公式并结合图象问题可得．
【详解】解：根据两车运行时间，可知甲车从G口出，乙车从F口出，故A正确；
由图象可知，两车通过、、弧时每段所用时间均为3s，
通过直行道AB，CG，EF时，每段用时为4s．
所以立交桥总长为（3×3+4×3）×12＝252m，故B正确；
根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走，弧长之和，
用时为6s，则多走72m，故C正确；
根据题意乙车行驶时间为：4×2+3×3＝17秒，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解答时要注意数形结合．
二．填空题（共6小题）
11．把化成最简二次根式为 　　．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式的性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．
12．因式分解：9x2﹣4＝　（3x﹣2）（3x+2）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】解：9x2﹣4＝（3x﹣2）（3x+2）．
故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键．
13．在一个不透明的袋子里，装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外没有任何区别，现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 　　．
【分析】根据题意，确定出符合条件的可能数，和出现的总可能数，利用概率定义求解即可．
【详解】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个红球和3个白球，共5个，
摸到红球的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．
14．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，E是BC上一点，把△CDE沿DE折叠得到△C'DE，当点C'落在线段AE上时，CE的长为 　1　．

【分析】由四边形ABCD是矩形，得∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，根据将△CDE沿DE所在直线折叠，点C的对应点C′恰好落在AE上，可得C'D＝CD＝3，∠DC'E＝∠D＝90°＝∠DC'A，CE＝C'E，即得AC'＝4，设CE＝C'E＝x，在Rt△ABE中，有32+（5﹣x）2＝（4+x）2，即可解得CE＝1．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵将△CDE沿DE所在直线折叠，点C的对应点C′恰好落在AE上，
∴C'D＝CD＝3，∠DC'E＝∠D＝90°＝∠DC'A，CE＝C'E，
在Rt△AC'D中，
AC'＝＝＝4，
设CE＝C'E＝x，则AE＝AC'+C'E＝4+x，BE＝BC﹣CE＝5﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
∴32+（5﹣x）2＝（4+x）2，
解得x＝1，
∴CE＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程．
15．如图，AB是⊙O的弦，点C是上一点，与点D关于AB对称，AD交⊙O于点E，BD交⊙O于点F，CD交⊙O于点G，且连接EF．给出下面四个结论：①CD⊥AB；②CD平分AB；③CG平分∠FCE；④点D为△CEF的内心．其中，所有正确结论的序号是 　①③④　．

【分析】连接AC、BC，根据轴对称的性质得AB垂直平分CD，可知①正确，②错误；再利用等腰三角形的性质和圆周角定理可知BF平分∠EFC，同理，AE平分∠FEC，进而判断③④正确．
【详解】解：连接AC、BC，
∵点C与D关于AB对称，
∴AB垂直平分CD，
故①正确，②错误；
∴AD＝AC，BD＝BC，
∴∠EAB＝∠CAB，
∵∠EAB＝∠EFB，∠BAC＝∠BFC，
∴∠EFD＝∠CFB，
∴BF平分∠EFC，
同理，AE平分∠FEC，
∴CG平分∠FCE，
∴点D为△CEF的内心，
故③④正确，
故答案为：①③④．

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内心的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
16．如图，已知正比例函数与反比例函数 图象相交于A，B两点，矩形APBQ的两个顶点P，Q均在y轴上，且S矩形APBQ＝，则k的值为 　2　．

【分析】利用矩形的性质得出，OA＝OP＝OB＝OQ，S△AOP＝S矩形APBQ＝，即可得到OP•m＝，求得OA＝OP＝，利用勾股定理得到m2+（）2＝（）2，解得m＝2，从而求得A（2，1），代入 即可求得k＝2．
【详解】解：∵四边形APBQ为矩形，
∴OA＝AB，OP＝PQ，AB＝PQ，
∴OA＝OP＝OB＝OQ，
∵S矩形APBQ＝，
∴S△AOP＝S矩形APBQ＝，
设A（m，m）（m＞0），
∴OP上的高为m，
∴OP•m＝，
∴OP＝，
∴OA＝，
∵OA2＝m2+（）2，
∴m2+（）2＝（）2，整理得m4＝16，
∴m＝2，
∴A（2，1），
∵点A在反比例函数 图象上，
∴k＝2×1＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、矩形的性质，勾股定理的应用，根据矩形的性质求得S△AOP＝S矩形APBQ＝是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．（8分）（1）计算：2a（a+b）﹣（a+b）2
（2）解不等式组 ，并将解集在数轴上表示．
【分析】（1）根据单项式乘多项式的法则和完全平方公式分别进行计算，再把所得的结果合并即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来，找出解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）2a（a+b）﹣（a+b）2＝2a2+2ab﹣（a2+2ab+b2），
＝2a2+2ab﹣a2﹣2ab﹣b2，
＝a2﹣b2，
（2），
由①得：x＞﹣5，
由②得：x≤3，
在数轴上表示：
，
则不等式组的解集为：﹣5＜x≤3，
【点睛】此题考查了整式的混合运算和解一元一次不等式组，用到的知识点是整式混合运算的法则和乘法公式，解一元一次不等式组，注意结果的符号．
18．（8分）如图是由小正方形组成的6×6的网格，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹，不写画法．
（1）在图1中的AB上画出△ABC的高线；
（2）在图2中的AC上找出一点E，画线段BE，使△ABE与△CBE面积比为3：7两部分；
（3）在图3中的BC上找一点F，画∠BAF，使得∠C＝2∠BAF．


【分析】（1）先判断出BC＝AC＝5，进而AB边上的高也是AB边的中线，所以找出AB的中点即为垂足，而中点利用矩形的对角线的交点即为中点，进而可作出高线；
（2）在线段AC上截取AE＝，连接BE即可；
（3）先判断出AC＝BC，利用格点找到T点，连接AG（使AG⊥BC）交BC于点F，点F即为所求作．
【详解】解：（1）如图：CD即为所求；

（2）如图：BE即为所求；在线段AC上截取AE＝，则EC＝5﹣＝，
∵△ABE与△CBE面积比即为AE：EC＝3：7．

（3）如图：点F即为所求．CT⊥AB，AF⊥BC，∠B是公共角，所以∠BAF＝∠TCB，
又因为∠ACB＝2∠TCB，所以∠ACB＝2∠BAF．

【点睛】本题考查了作图﹣应用和设计作图，熟悉网格中的垂直作图规则是解题的关键．
19．（8分）已知函数与y2＝3x的图象相交于A，B两点．
（1）若交点A（a，3），求y1的函数解析式，并求当x＜1时，y1的取值范围．
（2）若点B的横坐标为b﹣1，当﹣3＜b≤﹣2时，求k的取值范围．
【分析】（1）先求出点A坐标，再求y1函数解析式，根据x的范围即可直接求解．
（2）表示出B点坐标，再利用b表示k＝3（b﹣1）2，直接求二次函数的范围即可．
【详解】解：（1）把点A（a，3）代入y2＝3x得；3＝3a，
解得a＝1，即点A（1，3），
又∵点A（1，3）在y函数图象上，
∴3＝，解得k＝3，
∴y．
当x＜1时，y1＜0或y1＞3．
（2）当x＝b﹣1，代入y2＝3x得，
∴y2＝3b﹣3，
则点B（b﹣1，3b﹣3），
又∵点B在y函数图象上，
∴k＝3（b﹣1）2，
∵﹣3＜b≤﹣2，
∴27≤k＜48．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题，利用函数思想求范围是本题的解题关键．
20．（10分）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2021年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据，制成如图统计图（不完整）：
青少年视力健康标准
类别
视力
健康状况
A
视力≥5.0
视力正常
B
4.9
轻度视力不良
C
4.6≤视力≤4.8
中度视力不良
D
视力≤4.5
重度视力不良
根据以上信息，请解答；
（1）求被抽查的400名学生中2020年初视力正常（类别A）的人数．
（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数比2020年初增加了多少人？
（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内，请估计该市八年级学生2021年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．
【分析】（1）利用总人数减去B、C、D三类人数即可求解．
（2）先求出2020年视力正常的人数所占的比例，再用2万乘以（2021年A类学生比例﹣2020年A类学生比例）即可求解；
（3）求出该市八年级学生2021年初视力不良率，再比较即可．
【详解】解：（1）被抽查的400名学生中2020年初视力正常（类别A）的人数为400﹣148﹣91﹣48＝113（人）；
（2）2020年视力正常的人数所占的比例为×100%＝28.25%，
∴2021年初该市八年级学生2万中视力正常的人数比2020年初增加了20000×（31.25%﹣28.25%）＝600（人）；
（3）该市八年级学生2021年初视力不良率为1﹣31.25%＝68.75%＜69%，
∴该市八年级学生2021年初视力不良率符合要求．
【点睛】本题考查扇形统计图、统计表的知识，关键在于计算的准确性．
21．（10分）如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB＝50cm，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm．

（1）若EC＝36cm时，B，D相距48cm，试判定BD与DE的位置关系，并说明理由；
（2）当∠DCF＝45°，CF＝AC时，求CD的长．
【分析】（1）连接BD，根据题意可得CD＝14cm，然后利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，即可解答；
（2）过点F作FH⊥CD，垂足为H，根据题意可得CF＝20cm，然后在Rt△CFH中，利用锐角三角函数的定义求出CH，FH的长，再在Rt△DFH中，利用勾股定理求出DH的长，进行计算即可解答．
【详解】解：（1）BD⊥DE，
理由：连接BD，

∵EC＝36cm，DE＝50cm，
∴CD＝DE﹣EC＝14cm，
∵BC＝50cm，BD＝48cm，
∴CD2+BD2＝142+482＝2500，BC2＝502＝2500，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥DE；
（2）过点F作FH⊥CD，垂足为H，

∵BC＝AB＝50cm，
∴AC＝AB+BC＝100（cm），
∵CF＝AC，
∴CF＝×100＝20（cm），
在Rt△CFH中，∠DCF＝45°，
∴FH＝CF•sin45°＝20×＝10（cm），
CH＝CF•cos45°＝20×＝10（cm），
∵DF＝30cm，
∴DH＝＝＝10（cm），
∴CD＝CH+DH＝（10+10）cm，
∴CD的长为（10+10）cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（10分）李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．
（1）直接写出日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入＝支出），求该店员工人数；
（3）若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元？此时，每件服装的价格应定为多少元？

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据收入等于支出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；
（3）分两种情况解答：①当40≤x＜58时；②当58≤x≤71时，依据：总利润＝单件利润×销售量﹣工人工资及其他费用列出函数解析式，求解即可．
【详解】解：（1）当40≤x＜58时，设y与x的函数解析式为y＝k1x+b1，
由图象可得，
，
解得：．
∴y＝﹣2x+140；
当58≤x≤71时，设y与x的函数解析式为y＝k2x+b2，
由图象得，
，
解得．
∴y＝﹣x+82．
综上所述：y＝．
（2）设人数为a，
当x＝48时，
y＝﹣2×48+140＝44，
则（48﹣40）×44＝106+82a，
解得a＝3．
答：该店员工人数为3．
（3）设每件服装的价格为x元时，每天获得的利润为w元．
当40≤x＜58时，
w＝（x﹣40）（﹣2x+140）﹣82×2﹣106
＝﹣2x2+220x﹣5870
＝﹣2（x﹣55）2+180，
当x＝55时，w最大值＝180．
当58≤x≤71时，
w＝（x﹣40）（﹣x+82）﹣82×2﹣106
＝﹣x2+122x﹣3550
＝﹣（x﹣61）2+171，
当x＝61时，w最大值＝171．
∵180＞171
∴w最大值为180
答：每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用与一次函数和一元一次方程的应用能力，理解题意找到符合题意得相等关系函数解析式是解题的关键．
23．（12分）[教材呈现]
如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE干点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，证明△AFD∽△DCE，并计算点A到直线DE的距离（结果保留根号）．
结合图①，完成解答过程．
[拓展]
（1）在图①的基础上，延长线段AF交边CD于点G，如图②，则FG的长为 　　；
（2）如图③，E、F是矩形ABCD的边AB、CD上的点，连结EF，将矩形ABCD沿EF翻折，使点D的对称点D'与点B重合，点A的对称点为点A'．若AB＝4，AD＝3，则EF的长为 　　．


【分析】[教材呈现]由四边形ABCD 是矩形，得到∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，根据勾股定理得到DE＝＝，通过△ADF∽△DCE，得到，列方程即可得到结果；
[拓展]
（1）证明△ADG∽△DCE，得到，求出AG，由FG＝AG﹣AF即可求解；
（2）作FG⊥AB于G，在Rt△CBF中，根据勾股定理得，x2﹣（4﹣x）2＝32，进而在Rt△EFG中求得EF．
【详解】解：[教材呈现]∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，
∴DE＝＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝∠ADF+∠CDE＝90°，
∴∠DAF＝∠CDE，
∴△ADF∽△DCE，
∴，即，
∴点A到直线DE的距离AF＝；
[拓展]
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，
∴DE＝＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠CDA＝90°，
∴∠CDE+∠ADE＝∠DAG+∠ADE＝90°，
∴∠DAG＝∠CDE，
∴△ADG∽△DCE，得
∴，即，
∴AG＝，
∴FG＝AG﹣AF＝﹣＝；
故答案为：；
（2）如图③，

作FG⊥AD于G，
设DF＝BF＝x，则CF＝4﹣x，
∵将矩形ABCD沿EF翻折，使点D的对称点D'与点B重合，
∴∠DFE＝∠BFE，
∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠BEF，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF＝x，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BF2﹣CF2＝BC2，
∴x2﹣（4﹣x）2＝32，
∴x＝，
∴DF＝BF＝BE＝，BG＝CF＝4﹣＝，
∴GE＝BE﹣BG＝＝﹣＝，
在Rt△EFG中，GF＝AD＝3，
EF＝＝＝，
故答案是：．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了矩形性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证得△ADF∽△DCE是解题的关键．
24．（14分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为劣弧AC上动点，延长AD，BC交于点E，作DF∥AB交⊙O于F，连结CF．
（1）如图①，当点D为的中点时，求证：DF＝BC；
（2）如图②，若CF＝CA，∠ABC＝α，请用含有α的代数式表示∠E；
（3）在（2）的条件下，若BC＝CE，
①求证：AC+AD＝DE；
②求tan∠E的值．

【分析】（1）根据圆周角定理求出，，即可得证结论；
（2）根据弧长的关系得出∠BAE＝2α，即可得出∠E；
（3）①延长EA至点G，使AG＝AC＝AB，连接BG，CD，证CD∥BG，得出点C为BE的中点，点D为EG的中点，即可得证结论；
②证△ACD∽△AEC，得AC2＝AD•AE，AD＝a，AC＝ka，推出AG＝AB＝AC＝2a，AE＝4a，同理得出BE＝2a，过点A作AH⊥BC于点H，分别求出BH和AH即可得出
tan∠E的值．
【详解】（1）证明：如图①，连接BD，

∵点D为的中点，
∴，
∵AB∥DF，
∴∠ABD＝∠FDB，
∴，
∴，
∴DF＝BC；
（2）解：由（1）可得，＝，
∵CF＝CA，则，
∴＝2，
∵∠ABC＝α，
∴∠BAE＝2α，
∴∠E＝180°﹣3α；
（3）①证明：如图②，延长EA至点G，使AG＝AC＝AB，连接BG，CD，

则∠G＝∠BAE＝α，
又∵∠CDE＝∠ABC＝α，
∴∠G＝∠CDE，
∴CD∥BG，
∵BC＝CE，
即点C为BE的中点，
∴点D为EG的中点，
∴AC+AD＝AG+AD＝DG＝DE，
即AC+AD＝DE；
②解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝α，
∴∠ADC＝180°﹣α＝∠ACE，
又∵∠CAD＝∠EAC，
∴△ACD∽△AEC，
∴，
即AC2＝AD•AE，
设AD＝a，AC＝ka，
则（ka）2＝a×（2a+ka），
解得k＝2或k＝﹣1（舍去），
∴AG＝AB＝AC＝2a，AE＝4a，
又∵△EAB∽△EBG，
同理得EB2＝EA•EG，
∴BE＝＝2a，
过点A作AH⊥BC于点H，

∵BC＝CE，
∴BH＝BE＝a，AH＝＝＝a，
∴tan∠E＝＝．
【点睛】本题主要考查圆的综合知识，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．