初中数学5.1.1 相交线同步训练题

 相交线

北京四中   李岩

两条直线的位置关系是平行和相交.

如图，∠1和∠2有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这

种关系的两个角，互为邻补角；

判断：有一条公共边，且互为补角的两个角互为邻补角. (    )

反例：如下图，

∠AOB=130 °， ∠BOC=50 °.

如图，∠1和∠3有一个公共顶点，且两边分别互为反向延长线，具有这种

关系的两个角，互为对顶角；

∠1+∠2=180,∠3+∠2=180（邻补角定义）

∴∠1=∠3. （同角的补角相等）

同理，∠2=∠4.

对顶角的性质：对顶角相等.

例1、如图，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，

若∠DOE=60°，求∠AOC的度数．

观察：如图，转动两直线相交的情况，当∠AOC＝90°

（1）∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？

（2）这种位置关系有几种？直线AB和CD的位置关系怎样？

两条直线垂直

（1）概念：若两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫做这

两条直线互相垂直.其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.

(2)记法：直线a与b垂直，记作：；

直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.

(3) 符号表达：∠AOC＝90°AB⊥CD（垂直定义）

做一做：在一张半透明的纸上画一条直线l，在l上任意取一点P，在l外

任取一点Q，折出过点P且与直线l垂直的直线，这样的直线能折出几条？

过点Q呢？

垂线的性质：在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

问题：在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？

探究：如图，PA⊥l于点A，M1，M2是直线l上两点，比较PA、PM1、

PM2，……的长短，这些线段中，哪一条最短？

垂线段：PA为点P到直线l的垂线段.连接直线外一点与直线上各点的所

有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到直线

的距离.如果点在直线上，则该点到直线的距离为零.

补充: 点到线段、射线的距离

例2、如图, ∠ACB=90,CD⊥AB垂足为D, 则下面的结论中, 正确的个数

为 (      )

① AC与BC互相垂直  

② CD与BC互相垂直

③点B到AC的垂线段是线段CA   

④点C到AB的距离是线段CD   

⑤ 线段AC的长度是点A到BC的距离

  (A) 2个 (B) 3个 (C) 4个 (D) 5个

例3、如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O,

∠AOC=40,则∠EOF=_______.

例4、已知：如图，设OM、ON分别是邻补角∠AOB、∠BOC的平分线.

求证：MO⊥NO.

变式:（1）如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分

∠BOC.

变式:（2）如图，若OA ⊥OC，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，

求∠MON.

例5、如图, 直线AB, CD交于点O, EO⊥AB, O为垂足, OF平分∠AOC,

且∠EOC = ∠AOC, 求∠DOF的度数