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人教版数学七年级下册同步练习第9章 不等式与不等式组 章末复习
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第9章 不等式与不等式组 章末复习
【知识网络】
不等式与不等式组不等式定义:用不等号表示不等关系的式子不等式的解:使不等式成立的未知数的值不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集不等式的性质性质1:如果a>b,那么a±c>b±c性质2:如果a>b,c>0,那么 或ac>bc性质3:如果a>b,c<0,那么ac
一、不等式及其解集
1．不等式：用不等号(包括：>、<、≠)表示大小关系的式子。
2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
3．不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围，叫不等式的解的集合，简称解集。
不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:不等式的两边同加(减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3: 不等式的两边同乘(除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边同乘(除以)同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,ac
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. (可乘性)
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当0
二、实际问题与一元一次不等式
1.一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式。
2．解一元一次不等式的一般方法：
可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出 以两条不等式组成的不等式组为例，
①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小”
②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大”
③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若x表示不等式的解集，此时一般表示为a＜x＜b，或a≤x≤b。此乃“相交取中
④若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集，不等式组无解。此乃“向背取空”
【方法指导】解一元一次不等式组的一般步骤:先分别求出不等式组中每一个不等式的解集,并把它们的解集在数轴上表示出来,然后利用数轴确定这几个不等式解集的公共部分,即为该不等式组的解集.可利用口诀确定不等式组的解集:大大取较大,小小取较小,大小小大中间找,大大小小无处找.
三、一元一次不等式组
1．不等式组：几个含有相同未知数的不等式合起来，叫做不等式组。
2．不等式组的解：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。
3．解不等式组：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式的解集。
【考点突破】
考点1：不等式的性质
【例1】已知a＜b，下列四个不等式中不正确的是( )
A．4a＜4b B．－4a＜－4b C．a＋4＜b＋4 D．a－4＜b－4
【针对训练1-1】下列说法中正确的是 ( )
A．x＝4是不等式2x>－8的一个解 B．x＝－4是不等式2x>－8的解集
C．不等式2x>－8的解集是x>4 D．2x>－8的解集是x<－4
【针对训练1-2】下列不等式的变形中正确的是 ( )
A．由ay，且m≠0，得－<－
C．由x>y，得xz2>yz2 D．由xz2>yz2，得x>y
【针对训练1-3】(2022·杭州中考)已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则( )
A．a＋c＞b＋d B．a＋b＞c＋d C．a＋c＞b－d D．a＋b＞c－d
【针对训练1-4】如果x>y，且(a－1)x<(a－1)y，那么a的取值范围是____．
考点2：一元一次不等式及其解集
【例2】阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc.如＝1×4－2×3＝－2.如果有＞0，求x的取值范围．
【针对训练2-1】若x－3的值不大于7－x的值，则x的取值范围是 ( )
A．x≥6 B．x≤5 C．x≤－2 D．x≤3
【针对训练2-2】(2022·桂林中考)把不等式x－1＜2的解集在数轴上表示出来，正确的是( )
【针对训练2-3】(2022·绍兴中考)关于x的不等式3x－2＞x的解集是 .
【针对训练2-4】若x＝3是不等式mx＋2＜1－4m的一个解，则m的最大整数值是 .
【针对训练2-5】解不等式：
(1)4x－6≤2(4x＋3)；
(2)x+12≥3(x－1)－4.
考点3：不等式组及其解集
【例3】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【针对训练3-1】不等式组的解集在数轴上表示为 ( )
【针对训练3-2】已知4
【针对训练3-3】已知关于x的不等式组-2x-3≥1,x4-1≥a-12 无实数解，则a的取值范围是 .
【针对训练3-4】解不等式组并把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来．
考点4：不等式的应用
【例4】为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
(1)求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
(2)若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
【针对训练4-1】某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高 ( )
A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%
【针对训练4-2】某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生学期总成绩．该校李红同学期中数学考了85分，她希望自己学期总成绩不低于90分，则她在期末考试中数学至少应得多少分？设她在期末应考x分，可列不等式为 ．
【针对训练4-3】某航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20 cm，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm.
【针对训练4-4】 (2022·遂宁中考)某中学为落实教育部办公厅发布的《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；
(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
【综合练习】
1．实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是( )
2．下列说法中错误的是( )
A．不等式x＜5的整数解有无数个 B．不等式x＞－5的负整数解有有限个
C．不等式x＋4＞0的解集是x＞－4 D．－4是不等式2x＜－8的一个解
3．不等式组的整数解是( )
A．0 B．－1 C．－2 D．1
4．在方程组中，若未知数x、y满足x＋y＞0，则m的取值范围在数轴上表示应是( )
5．不等式组的解集是 .
6．已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为__ __．
7．若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是 ．
8．已知不等式组的解集为x＞－1，则k的取值范围是 .
9．(1)解不等式：5(x－2)＋8＜6(x－1)＋7；
(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x－ax＝3的解，求a的值．
10．解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集．
11．解不等式组并在数轴上表示它的解集．
12．已知关于x的方程(m－2)x＋3＝11－m(3－x)．
(1)当m取何值时，方程有正数解？
(2)当m取何值时，方程有负数解？
(3)当m取何值时，方程有不小于3的解？
13．某文具店最近有A、B两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周A款销售数量是15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是10本，销售总价是280元．
(1)求A、B两款毕业纪念册的销售单价；
(2)若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本A款毕业纪念册．
14．某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A品牌的足球50个，B品牌的足球25个，共花费4 500元，已知购买一个B品牌的足球比购买一个A品牌的足球多花30元．
(1)求购买一个A品牌，一个B品牌的足球各需多少元；
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A，B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
(3)请求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金．
参考答案
【知识网络】
不等式与不等式组不等式定义:用不等号表示不等关系的式子不等式的解:使不等式成立的未知数的值不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集不等式的性质性质1:如果a>b,那么a±c>b±c性质2:如果a>b,c>0,那么 ac>bc 或ac>bc性质3:如果a>b,c<0,那么ac
一、不等式及其解集
1．不等式：用不等号(包括：>、<、≠)表示大小关系的式子。
2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
3．不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围，叫不等式的解的集合，简称解集。
不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:不等式的两边同加(减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3: 不等式的两边同乘(除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边同乘(除以)同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,ac
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. (可乘性)
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当0
二、实际问题与一元一次不等式
1.一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式。
2．解一元一次不等式的一般方法：
可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出 以两条不等式组成的不等式组为例，
①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小”
②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大”
③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若x表示不等式的解集，此时一般表示为a＜x＜b，或a≤x≤b。此乃“相交取中
④若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集，不等式组无解。此乃“向背取空”
【方法指导】解一元一次不等式组的一般步骤:先分别求出不等式组中每一个不等式的解集,并把它们的解集在数轴上表示出来,然后利用数轴确定这几个不等式解集的公共部分,即为该不等式组的解集.可利用口诀确定不等式组的解集:大大取较大,小小取较小,大小小大中间找,大大小小无处找.
三、一元一次不等式组
1．不等式组：几个含有相同未知数的不等式合起来，叫做不等式组。
2．不等式组的解：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。
3．解不等式组：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式的解集。
【考点突破】
考点1：不等式的性质
【例1】已知a＜b，下列四个不等式中不正确的是( C )
A．4a＜4b B．－4a＜－4b C．a＋4＜b＋4 D．a－4＜b－4
【解析】若a＜b，由性质1，在不等式的两边都加上4，不等号的方向不改变，得a＋4＜b＋4，在不等式的两边都减去4，不等号的方向不改变，得a－4＜b－4，故C、D选项都正确；由性质2，在不等式的两边都乘以4，不等号的方向不改变，得4a＜4b，故A选项也正确；由性质3，在不等式的两边都乘以－4，不等号的方向改变，得－4a＞－4b.故选项B不正确．
【针对训练1-1】下列说法中正确的是 ( A )
A．x＝4是不等式2x>－8的一个解 B．x＝－4是不等式2x>－8的解集
C．不等式2x>－8的解集是x>4 D．2x>－8的解集是x<－4
【针对训练1-2】下列不等式的变形中正确的是 ( D )
A．由ay，且m≠0，得－<－
C．由x>y，得xz2>yz2 D．由xz2>yz2，得x>y
【针对训练1-3】(2022·杭州中考)已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则( A )
A．a＋c＞b＋d B．a＋b＞c＋d C．a＋c＞b－d D．a＋b＞c－d
【针对训练1-4】如果x>y，且(a－1)x<(a－1)y，那么a的取值范围是__a<1__．
考点2：一元一次不等式及其解集
【例2】阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc.如＝1×4－2×3＝－2.如果有＞0，求x的取值范围．
解：由题意，得2x－(3－x)＞0.去括号，得2x－3＋x＞0.移项，合并同类项，得3x＞3.系数化为1，得x＞1.
【针对训练2-1】若x－3的值不大于7－x的值，则x的取值范围是 ( B )
A．x≥6 B．x≤5 C．x≤－2 D．x≤3
【针对训练2-2】(2022·桂林中考)把不等式x－1＜2的解集在数轴上表示出来，正确的是( D )
【针对训练2-3】(2022·绍兴中考)关于x的不等式3x－2＞x的解集是 x＞1 .
【针对训练2-4】若x＝3是不等式mx＋2＜1－4m的一个解，则m的最大整数值是 －1 .
【针对训练2-5】解不等式：
(1)4x－6≤2(4x＋3)；
解：x ≥－3.
(2)x+12≥3(x－1)－4.
解：x ≤ 3.
考点3：不等式组及其解集
【例3】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
解：由①得：－2x≥－2，即x≤1，由②得：4x－2＜5x＋5，即x＞－7，所以－7＜x≤1.在数轴上表示为：
【针对训练3-1】不等式组的解集在数轴上表示为 ( C )
【针对训练3-2】已知4
【针对训练3-3】已知关于x的不等式组-2x-3≥1,x4-1≥a-12 无实数解，则a的取值范围是 a>－2 .
【针对训练3-4】解不等式组并把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来．
解：解不等式①，得x>－1.
解不等式②，得x≤4.
∴原不等式组的解集是－1
考点4：不等式的应用
【例4】为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
(1)求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
(2)若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
解：(1)设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，由题意，得，解得.
答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元；
(2)设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍(30－a)副，由题意，得60a＋28(30－a)≤1480.解得a≤20.
答：这所中学最多可购买20副羽毛球拍．
【针对训练4-1】某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高 ( B )
A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%
【针对训练4-2】某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生学期总成绩．该校李红同学期中数学考了85分，她希望自己学期总成绩不低于90分，则她在期末考试中数学至少应得多少分？设她在期末应考x分，可列不等式为__40%×85＋60%x≥90__．
【针对训练4-3】某航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20 cm，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为__55__cm.
【针对训练4-4】 (2022·遂宁中考)某中学为落实教育部办公厅发布的《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；
解：设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得2a+3b=510,3a+5b=810, 解得a=120,b=90.
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元．
(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
解：设采购篮球x个，则采购足球为(50－x)个．
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴x≥30,120x+90(50-x)≤5500.
解得30≤ x ≤33 .
∵x为整数，∴x的值可为30，31，32，33.
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
【综合练习】
1．实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是( A )
2．下列说法中错误的是( D )
A．不等式x＜5的整数解有无数个 B．不等式x＞－5的负整数解有有限个
C．不等式x＋4＞0的解集是x＞－4 D．－4是不等式2x＜－8的一个解
3．不等式组的整数解是( B )
A．0 B．－1 C．－2 D．1
4．在方程组中，若未知数x、y满足x＋y＞0，则m的取值范围在数轴上表示应是( B )
5．不等式组的解集是 .
【答案】－2≤x＜3
6．已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为__ __．
【答案】x＞a
7．若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是__1≤m＜4__．
8．已知不等式组的解集为x＞－1，则k的取值范围是 .
【答案】k≤－2
9．(1)解不等式：5(x－2)＋8＜6(x－1)＋7；
解：x＞－3；
(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x－ax＝3的解，求a的值．
解：由(1)得，x的最小整数解为x＝－2，
故2×(－2)－a×(－2)＝3，解得a＝.
10．解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集．
解：解不等式①，得x＜3，解不等式②，得x≥－2.在数轴上表示为：
∴不等式组的解集为－2≤x＜3.
11．解不等式组并在数轴上表示它的解集．
解：解不等式2(x＋1)>x，得x>－2.
解不等式1－2x≥，得x≤－1，
所以不等式组的解集为－2
12．已知关于x的方程(m－2)x＋3＝11－m(3－x)．
(1)当m取何值时，方程有正数解？
(2)当m取何值时，方程有负数解？
(3)当m取何值时，方程有不小于3的解？
解：由(m－2)x＋3＝11－m(3－x)得mx－2x＋3＝11－3m＋mx，∴x＝.
(1)由题意，得：＞0，解得：m＞，即：当m＞时，方程有正数解；
(2)由题意，得：＜0，解得：m＜，即：当m＜时，有负数解；
(3)由题意，得：≥3，解得：m≥，即：当m≥时，方程的解不小于3.
13．某文具店最近有A、B两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周A款销售数量是15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是10本，销售总价是280元．
(1)求A、B两款毕业纪念册的销售单价；
(2)若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本A款毕业纪念册．
解：(1)设A款毕业纪念册的销售单价为x元，B款毕业纪念册的销售单价为y元，根据题意，得，解得，答：A款毕业纪念册的销售单价为10元，B款毕业纪念册的销售单价为8元；
(2)设最多能够买A款毕业纪念册m本，根据题意得10m＋8(60－m)≤529，解得m≤24.5，所以，最多能够买A款毕业纪念册24本．
14．某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A品牌的足球50个，B品牌的足球25个，共花费4 500元，已知购买一个B品牌的足球比购买一个A品牌的足球多花30元．
(1)求购买一个A品牌，一个B品牌的足球各需多少元；
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A，B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
(3)请求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金．
解：(1)设购买一个A品牌的足球需要x元，
购买一个B品牌的足球需要y元，
依题意，得解得
答：购买一个A品牌的足球需要50元，
购买一个B品牌的足球需要80元．
(2)设第二次购买A品牌足球m个，则购买B品牌足球(50－m)个，
依题意，得
解得25≤m≤27.
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A品牌足球25个，B品牌足球25个；
方案二：购买A品牌足球26个，B品牌足球24个；
方案三：购买A品牌足球27个，B品牌足球23个．
(3)∵第二次购买足球时，
A品牌足球单价为50＋4＝54(元)，
B品牌足球单价为80×0.9＝72(元)，
∴当购买方案中B品牌足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多．
25×54＋25×72＝3 150(元)．
答：学校在第二次购买活动中最多需要3 150元．
.
第9章 不等式与不等式组 章末复习
【知识网络】
不等式与不等式组不等式定义:用不等号表示不等关系的式子不等式的解:使不等式成立的未知数的值不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集不等式的性质性质1:如果a>b,那么a±c>b±c性质2:如果a>b,c>0,那么 或ac>bc性质3:如果a>b,c<0,那么ac
一、不等式及其解集
1．不等式：用不等号(包括：>、<、≠)表示大小关系的式子。
2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
3．不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围，叫不等式的解的集合，简称解集。
不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:不等式的两边同加(减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3: 不等式的两边同乘(除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边同乘(除以)同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,ac
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. (可乘性)
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当0
二、实际问题与一元一次不等式
1.一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式。
2．解一元一次不等式的一般方法：
可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出 以两条不等式组成的不等式组为例，
①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小”
②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大”
③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若x表示不等式的解集，此时一般表示为a＜x＜b，或a≤x≤b。此乃“相交取中
④若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集，不等式组无解。此乃“向背取空”
【方法指导】解一元一次不等式组的一般步骤:先分别求出不等式组中每一个不等式的解集,并把它们的解集在数轴上表示出来,然后利用数轴确定这几个不等式解集的公共部分,即为该不等式组的解集.可利用口诀确定不等式组的解集:大大取较大,小小取较小,大小小大中间找,大大小小无处找.
三、一元一次不等式组
1．不等式组：几个含有相同未知数的不等式合起来，叫做不等式组。
2．不等式组的解：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。
3．解不等式组：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式的解集。
【考点突破】
考点1：不等式的性质
【例1】已知a＜b，下列四个不等式中不正确的是( )
A．4a＜4b B．－4a＜－4b C．a＋4＜b＋4 D．a－4＜b－4
【针对训练1-1】下列说法中正确的是 ( )
A．x＝4是不等式2x>－8的一个解 B．x＝－4是不等式2x>－8的解集
C．不等式2x>－8的解集是x>4 D．2x>－8的解集是x<－4
【针对训练1-2】下列不等式的变形中正确的是 ( )
A．由a
C．由x>y，得xz2>yz2 D．由xz2>yz2，得x>y
【针对训练1-3】(2022·杭州中考)已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则( )
A．a＋c＞b＋d B．a＋b＞c＋d C．a＋c＞b－d D．a＋b＞c－d
【针对训练1-4】如果x>y，且(a－1)x<(a－1)y，那么a的取值范围是____．
考点2：一元一次不等式及其解集
【例2】阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc.如＝1×4－2×3＝－2.如果有＞0，求x的取值范围．
【针对训练2-1】若x－3的值不大于7－x的值，则x的取值范围是 ( )
A．x≥6 B．x≤5 C．x≤－2 D．x≤3
【针对训练2-2】(2022·桂林中考)把不等式x－1＜2的解集在数轴上表示出来，正确的是( )
【针对训练2-3】(2022·绍兴中考)关于x的不等式3x－2＞x的解集是 .
【针对训练2-4】若x＝3是不等式mx＋2＜1－4m的一个解，则m的最大整数值是 .
【针对训练2-5】解不等式：
(1)4x－6≤2(4x＋3)；
(2)x+12≥3(x－1)－4.
考点3：不等式组及其解集
【例3】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【针对训练3-1】不等式组的解集在数轴上表示为 ( )
【针对训练3-2】已知4
【针对训练3-3】已知关于x的不等式组-2x-3≥1,x4-1≥a-12 无实数解，则a的取值范围是 .
【针对训练3-4】解不等式组并把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来．
考点4：不等式的应用
【例4】为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
(1)求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
(2)若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
【针对训练4-1】某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高 ( )
A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%
【针对训练4-2】某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生学期总成绩．该校李红同学期中数学考了85分，她希望自己学期总成绩不低于90分，则她在期末考试中数学至少应得多少分？设她在期末应考x分，可列不等式为 ．
【针对训练4-3】某航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20 cm，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm.
【针对训练4-4】 (2022·遂宁中考)某中学为落实教育部办公厅发布的《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；
(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
【综合练习】
1．实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是( )
2．下列说法中错误的是( )
A．不等式x＜5的整数解有无数个 B．不等式x＞－5的负整数解有有限个
C．不等式x＋4＞0的解集是x＞－4 D．－4是不等式2x＜－8的一个解
3．不等式组的整数解是( )
A．0 B．－1 C．－2 D．1
4．在方程组中，若未知数x、y满足x＋y＞0，则m的取值范围在数轴上表示应是( )
5．不等式组的解集是 .
6．已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为__ __．
7．若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是 ．
8．已知不等式组的解集为x＞－1，则k的取值范围是 .
9．(1)解不等式：5(x－2)＋8＜6(x－1)＋7；
(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x－ax＝3的解，求a的值．
10．解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集．
11．解不等式组并在数轴上表示它的解集．
12．已知关于x的方程(m－2)x＋3＝11－m(3－x)．
(1)当m取何值时，方程有正数解？
(2)当m取何值时，方程有负数解？
(3)当m取何值时，方程有不小于3的解？
13．某文具店最近有A、B两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周A款销售数量是15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是10本，销售总价是280元．
(1)求A、B两款毕业纪念册的销售单价；
(2)若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本A款毕业纪念册．
14．某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A品牌的足球50个，B品牌的足球25个，共花费4 500元，已知购买一个B品牌的足球比购买一个A品牌的足球多花30元．
(1)求购买一个A品牌，一个B品牌的足球各需多少元；
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A，B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
(3)请求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金．
参考答案
【知识网络】
不等式与不等式组不等式定义:用不等号表示不等关系的式子不等式的解:使不等式成立的未知数的值不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集不等式的性质性质1:如果a>b,那么a±c>b±c性质2:如果a>b,c>0,那么 ac>bc 或ac>bc性质3:如果a>b,c<0,那么ac
一、不等式及其解集
1．不等式：用不等号(包括：>、<、≠)表示大小关系的式子。
2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
3．不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围，叫不等式的解的集合，简称解集。
不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:不等式的两边同加(减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3: 不等式的两边同乘(除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边同乘(除以)同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,ac
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. (可乘性)
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当0
二、实际问题与一元一次不等式
1.一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式。
2．解一元一次不等式的一般方法：
可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出 以两条不等式组成的不等式组为例，
①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小”
②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大”
③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若x表示不等式的解集，此时一般表示为a＜x＜b，或a≤x≤b。此乃“相交取中
④若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集，不等式组无解。此乃“向背取空”
【方法指导】解一元一次不等式组的一般步骤:先分别求出不等式组中每一个不等式的解集,并把它们的解集在数轴上表示出来,然后利用数轴确定这几个不等式解集的公共部分,即为该不等式组的解集.可利用口诀确定不等式组的解集:大大取较大,小小取较小,大小小大中间找,大大小小无处找.
三、一元一次不等式组
1．不等式组：几个含有相同未知数的不等式合起来，叫做不等式组。
2．不等式组的解：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。
3．解不等式组：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式的解集。
【考点突破】
考点1：不等式的性质
【例1】已知a＜b，下列四个不等式中不正确的是( C )
A．4a＜4b B．－4a＜－4b C．a＋4＜b＋4 D．a－4＜b－4
【解析】若a＜b，由性质1，在不等式的两边都加上4，不等号的方向不改变，得a＋4＜b＋4，在不等式的两边都减去4，不等号的方向不改变，得a－4＜b－4，故C、D选项都正确；由性质2，在不等式的两边都乘以4，不等号的方向不改变，得4a＜4b，故A选项也正确；由性质3，在不等式的两边都乘以－4，不等号的方向改变，得－4a＞－4b.故选项B不正确．
【针对训练1-1】下列说法中正确的是 ( A )
A．x＝4是不等式2x>－8的一个解 B．x＝－4是不等式2x>－8的解集
C．不等式2x>－8的解集是x>4 D．2x>－8的解集是x<－4
【针对训练1-2】下列不等式的变形中正确的是 ( D )
A．由a
C．由x>y，得xz2>yz2 D．由xz2>yz2，得x>y
【针对训练1-3】(2022·杭州中考)已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则( A )
A．a＋c＞b＋d B．a＋b＞c＋d C．a＋c＞b－d D．a＋b＞c－d
【针对训练1-4】如果x>y，且(a－1)x<(a－1)y，那么a的取值范围是__a<1__．
考点2：一元一次不等式及其解集
【例2】阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc.如＝1×4－2×3＝－2.如果有＞0，求x的取值范围．
解：由题意，得2x－(3－x)＞0.去括号，得2x－3＋x＞0.移项，合并同类项，得3x＞3.系数化为1，得x＞1.
【针对训练2-1】若x－3的值不大于7－x的值，则x的取值范围是 ( B )
A．x≥6 B．x≤5 C．x≤－2 D．x≤3
【针对训练2-2】(2022·桂林中考)把不等式x－1＜2的解集在数轴上表示出来，正确的是( D )
【针对训练2-3】(2022·绍兴中考)关于x的不等式3x－2＞x的解集是 x＞1 .
【针对训练2-4】若x＝3是不等式mx＋2＜1－4m的一个解，则m的最大整数值是 －1 .
【针对训练2-5】解不等式：
(1)4x－6≤2(4x＋3)；
解：x ≥－3.
(2)x+12≥3(x－1)－4.
解：x ≤ 3.
考点3：不等式组及其解集
【例3】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
解：由①得：－2x≥－2，即x≤1，由②得：4x－2＜5x＋5，即x＞－7，所以－7＜x≤1.在数轴上表示为：
【针对训练3-1】不等式组的解集在数轴上表示为 ( C )
【针对训练3-2】已知4
【针对训练3-3】已知关于x的不等式组-2x-3≥1,x4-1≥a-12 无实数解，则a的取值范围是 a>－2 .
【针对训练3-4】解不等式组并把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来．
解：解不等式①，得x>－1.
解不等式②，得x≤4.
∴原不等式组的解集是－1
考点4：不等式的应用
【例4】为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
(1)求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
(2)若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
解：(1)设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，由题意，得，解得.
答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元；
(2)设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍(30－a)副，由题意，得60a＋28(30－a)≤1480.解得a≤20.
答：这所中学最多可购买20副羽毛球拍．
【针对训练4-1】某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高 ( B )
A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%
【针对训练4-2】某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生学期总成绩．该校李红同学期中数学考了85分，她希望自己学期总成绩不低于90分，则她在期末考试中数学至少应得多少分？设她在期末应考x分，可列不等式为__40%×85＋60%x≥90__．
【针对训练4-3】某航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20 cm，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为__55__cm.
【针对训练4-4】 (2022·遂宁中考)某中学为落实教育部办公厅发布的《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；
解：设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得2a+3b=510,3a+5b=810, 解得a=120,b=90.
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元．
(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
解：设采购篮球x个，则采购足球为(50－x)个．
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴x≥30,120x+90(50-x)≤5500.
解得30≤ x ≤33 .
∵x为整数，∴x的值可为30，31，32，33.
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
【综合练习】
1．实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是( A )
2．下列说法中错误的是( D )
A．不等式x＜5的整数解有无数个 B．不等式x＞－5的负整数解有有限个
C．不等式x＋4＞0的解集是x＞－4 D．－4是不等式2x＜－8的一个解
3．不等式组的整数解是( B )
A．0 B．－1 C．－2 D．1
4．在方程组中，若未知数x、y满足x＋y＞0，则m的取值范围在数轴上表示应是( B )
5．不等式组的解集是 .
【答案】－2≤x＜3
6．已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为__ __．
【答案】x＞a
7．若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是__1≤m＜4__．
8．已知不等式组的解集为x＞－1，则k的取值范围是 .
【答案】k≤－2
9．(1)解不等式：5(x－2)＋8＜6(x－1)＋7；
解：x＞－3；
(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x－ax＝3的解，求a的值．
解：由(1)得，x的最小整数解为x＝－2，
故2×(－2)－a×(－2)＝3，解得a＝.
10．解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集．
解：解不等式①，得x＜3，解不等式②，得x≥－2.在数轴上表示为：
∴不等式组的解集为－2≤x＜3.
11．解不等式组并在数轴上表示它的解集．
解：解不等式2(x＋1)>x，得x>－2.
解不等式1－2x≥，得x≤－1，
所以不等式组的解集为－2
12．已知关于x的方程(m－2)x＋3＝11－m(3－x)．
(1)当m取何值时，方程有正数解？
(2)当m取何值时，方程有负数解？
(3)当m取何值时，方程有不小于3的解？
解：由(m－2)x＋3＝11－m(3－x)得mx－2x＋3＝11－3m＋mx，∴x＝.
(1)由题意，得：＞0，解得：m＞，即：当m＞时，方程有正数解；
(2)由题意，得：＜0，解得：m＜，即：当m＜时，有负数解；
(3)由题意，得：≥3，解得：m≥，即：当m≥时，方程的解不小于3.
13．某文具店最近有A、B两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周A款销售数量是15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是10本，销售总价是280元．
(1)求A、B两款毕业纪念册的销售单价；
(2)若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本A款毕业纪念册．
解：(1)设A款毕业纪念册的销售单价为x元，B款毕业纪念册的销售单价为y元，根据题意，得，解得，答：A款毕业纪念册的销售单价为10元，B款毕业纪念册的销售单价为8元；
(2)设最多能够买A款毕业纪念册m本，根据题意得10m＋8(60－m)≤529，解得m≤24.5，所以，最多能够买A款毕业纪念册24本．
14．某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A品牌的足球50个，B品牌的足球25个，共花费4 500元，已知购买一个B品牌的足球比购买一个A品牌的足球多花30元．
(1)求购买一个A品牌，一个B品牌的足球各需多少元；
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A，B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
(3)请求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金．
解：(1)设购买一个A品牌的足球需要x元，
购买一个B品牌的足球需要y元，
依题意，得解得
答：购买一个A品牌的足球需要50元，
购买一个B品牌的足球需要80元．
(2)设第二次购买A品牌足球m个，则购买B品牌足球(50－m)个，
依题意，得
解得25≤m≤27.
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A品牌足球25个，B品牌足球25个；
方案二：购买A品牌足球26个，B品牌足球24个；
方案三：购买A品牌足球27个，B品牌足球23个．
(3)∵第二次购买足球时，
A品牌足球单价为50＋4＝54(元)，
B品牌足球单价为80×0.9＝72(元)，
∴当购买方案中B品牌足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多．
25×54＋25×72＝3 150(元)．
答：学校在第二次购买活动中最多需要3 150元．
.
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