通用版2023届高考数学二轮复习导数与不等式的证明（1）作业含答案

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导数与不等式的证明一、解答题 1.  本小题分已知函数．求函数的单调区间；证明：当时，． 2.  本小题分
已知函数．
求的单调区间；
证明：．3.  本小题分已知函数．若函数的图象与直线相切，求的值；若，证明． 4.  本小题分已知函数，讨论函数的单调性设，，若时，取极小值，证明：． 5.  本小题分已知函数，．求函数的单调区间；若函数，当，时．求证：． 6.  本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间
若方程有两不等实根，，求证：．7.  本小题分已知函数．求的单调递减区间；若，证明：． 8.  本小题分已知函数，求过点且与曲线相切的直线的方程求证：． 9.  本小题分已知函数，．求函数的单调区间及在上的最小值证明：当时，． 10.  本小题分已知是函数的一个极值点．求的值；证明： 11.  本小题分已知，．求函数的最小值当时，证明： 12.  本小题分
已知函数．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ证明：当时，．
答案和解析 1.由题意，函数的定义域为，且，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即的单调递增区间为，单调递减区间为；证明：由得在上单调递增，在上单调递减，所以，即，
所以，因为，所以，
则，而，
所以． 【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，进而证明不等式问题，属于基础题．
先求导，再根据导数的正负判断函数的单调区间；结合可知，，化简得，因为，所以，则可得，最后对配方，即可求证．
 2.解：，
由得，解得，函数单调递增；
由得，解得或，函数单调递减，
所以的单调递增区间为；
的单调递减区间为和．
要证当时，，
即证当时，，
设，
，
令，则，在上单调递增，
所以当时，，即，
所以当时，，
所以，在上单调递增，故，
故当时，． 【解析】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断与求解，考查转化思想以及计算能力．
求出导函数，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间即可．
要证当时，，即证当时，，
构造函数，令，利用函数的导数，判断函数的单调性，转化求解即可．
 3.解：，
，令，得，而当时，，即，
所以，解得：．证明：，，令，则，令，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，，即，即，，当且仅当时等号成立，令，则，令，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，，即，即，，当且仅当时等号成立，，两等号不能同时成立，，即证若，． 【解析】本题主要考查已知切线求参数，利用导数证明不等式，属于中档题．
求导函数，令，得，继而有，代入可求得答案；由已知得，令，运用导函数分析函数的单调性得，可证得，当且仅当时等号成立，令，运用导函数分析函数的单调性得，证得，当且仅当时等号成立，从而有，两等号不能同时成立，由此可得证．
 4.解：由函数知，定义域为，
，
当时，恒成立，在单调递减，
当时，，，
所以在单调递减，在单调递增
，
，由条件，所以，
此时，
由于，故时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时，取极小值成立，
此时，设，，易知在单调递增，递减．
故，
故． 【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值以及不等式的证明等问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
求出函数的导数，根据的符号，求出函数的单调区间即可；
根据时，取极小值，可得，构造函数设，求导得到函数的单调区间，求出函数的最值证明即可．
 5.解：的定义为且；
当时，恒成立，
的单调递增区间是；当 时，时，；
当时，，的单调递增区间为，单调递减区间为  ，又，
而，当且仅当时等号成立，而，
所以，所以在上递增，所以，即当，时，． 【解析】本题考查了利用导数判断函数的单调性和导数的不等式问题．
求导，根据导数符号确定函数的单调区间；
先判断的单调性，根据单调性即可证明．
 6.解：，
令，，
，
设，显然在上单调递增，
，，
，使，
在上单调递减，上单调递增，
，，
在上单调递减，上单调递增；
证明：，不妨设，则，
，
又在上单调递增，
，
，
，
即． 【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、导数中的函数不等式，属于中档题 
求出导数，令，，再求出，设，通过导数的单调性，即可求出结果；
由，不妨设，则，根据在上单调递增，即可证出结果．
 7.解：函数定义域为，
，令，解得，
故的单调递减区间为．设，
令，解得，当，，单调递减；
，，单调递增，所以在处取到唯一的极小值，即最小值为，故有时，，所以，故． 【解析】本题考查利用导数研究函数单调性以及不等式的证明，属于中档题．
首先求出定义域，然后求出导数，令导数小于零即可求出单调递减区间；
构造函数，然后通过求导求出最值即可得证．
 8.解：设切点坐标为，因为
所以切线的斜率切线方程为
所以又解得，，
所以切线的方程为
证明：即
设则因为，
所以在上为增函数，
所以即
故只需证即证，
令则
当时，，在上为增函数；
当时，在上为减函数，
所以，即，
所以原命题得证． 【解析】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性和最值等问题．
设出切点坐标，根据导数的几何意义，求出切点坐标，进而求出切线方程；
将要证明的不等式转化，并构造新的函数求导，研究函数的单调性，得出，用分析法，再次构造函数利用导数研究函数的单调性，进而求出即可证明．
 9.解：由，得，，
令，得，即，令，得．
因此函数在上单调递减，在上单调递增．
当，即时，与题设矛盾，舍去；
当时，函数在上单调递增，
因此
当且，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
因此．
综上所述，当时，
当时，．
  
证明：要证当时，，
只需证，即证．
令，则，
从而有在上单调递减，在上单调递增，
则，所以．
再令，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，
则，所以．
因为与不同时为，所以．
故原不等式成立． 【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究闭区间上函数的最值和导数中的函数不等式，是较难题．
利用导数得在上单调递减，在上单调递增，分、和三种情况研究最小值即可；
要证当时，，只需证，即证令和令，利用导数研究最值，即可得证．
 10.解：由题意，，
因为是函数的一个极值点，
所以，解得
若时，无意义，故舍去，
当时，满足题意，
所以．
证明：由可知的定义域为，
则，
令，则，
当时，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
从而对于，，
所以当时，，则在上单调递减
当时，，则在上单调递增．
故对于，．
故得证． 【解析】本题综合考查函数的极值以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
先求出函数的导函数，然后根据在极值点处的导数等于，建立等式关系，求出即可；
先求出函数的导函数，构造，研究函数的正负，即可得到的单调性，由此可得到结论．
 11.解：函数的定义域为，
，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
当时，取得极小值也是最小值．
当时，所证不等式，
等价于．
设，
则当时，
，
所以在上单调递增，
当时，，
即，
故 【解析】本题考查函数的最小值的求法和不等式的证明，属于中档题．
由，知的单调性，由此能求出函数的最小值．
所证不等式等价于，构造函数，利用其单调性可得，由此能够证明
 12.解：Ⅰ由题意得，
设，则，
当时，；当时，，单调递增，
又因为，所以当时，，即，
当时，，即，
因此在上单调递减，在上单调递增．
Ⅱ证明：要证，即证，即证，
令，待证不等式转化为，
设则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，原命题得证． 【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，进而研究不等式恒成立问题的思路，属于中档题．
Ⅰ求出导数，然后研究导数的符号，此题需要利用导数的单调性和零点确定导数的符号，从而确定原函数的单调性；
Ⅱ问题即为不等式恒成立问题，然后转化为利用导数研究函数的单调性，进而求出最小值即可得证．