通用版2023届高考数学二轮复习导数与不等式的证明（2）作业含答案

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导数与不等式的证明一、解答题 1.  本小题分已知函数．求曲线的斜率为的切线方程当时，求证： 2.  本小题分已知，为自然对数的底数．讨论函数的单调性；若函数有两个不同零点，求证：． 3.  本小题分已知函数，曲线过点，且在点处的切线的斜率为．求，的值；求证：． 4.  本小题分已知函数．求函数的极值；若，求证：． 5.  本小题分已知函数．当时，求函数在点处的切线方程；当时，曲线上存在分别以和为切点的两条互相平行的切线，若恒成立，证明：． 6.  本小题分
已知函数．
求在点处的切线方程；
求证：．7.  本小题分
已知函数在处的切线与直线平行．
Ⅰ求的值，并求此切线方程；
Ⅱ证明：．8.  本小题分
已知函数．
求的单调区间；
当时，证明：．9.  本小题分已知函数，其中．讨论函数在区间上的单调性；求证：． 10.  本小题分已知函数，为的导数．当时，求在处的切线方程当恰有两个极值点时，记极大值和极小值分别为，求证：． 11.  本小题分已知函数，
讨论函数在上的单调性．
证明： 12.  本小题分已知函数．若，求的值；当时，从下面和两个结论中任选其一进行证明，；． 13.  本小题分已知函数．若在上有两个不同的实根，求实数的取值范围若，证明：存在唯一的极大值点，且． 14.  本小题分已知函数．若，求的单调区间若，，证明：．
答案和解析 1.解：，
由，得，
得，
又，，
曲线的斜率为的切线方程为和，
即和；
证明：欲证，
只需证，
令，，
则，
可知在区间上为正，在区间为负，在区间为正，
在单调递增，在单调递减，在单调递增，
又，，，，
，
． 【解析】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性以及导数的综合应用，构造法，转化法，数形结合法等，属于中档题．
求导数，由求得切点，即可得点斜式方程；
把所证不等式转化为，再令，利用导数研究在的单调性和最值即可得证．
 2.解：，，，
当时，在上是增函数，在上是减函数
当，在上是减函数，在上是增函数．
证明：有两个不同零点，，则，，
因此，即．
要证，只要证明，即证，
不妨设，记，则，，因此只要证明，即．
记，，令，则，
当时，，所以函数在上递增，则，
即，则在上单调递增，，
即成立，． 【解析】本题考查导数，涉及利用导数证明不等式，及利用导数判断含参函数单调性，属于中档题．
 3.解：由题知，，
因为所以解得因为的定义域为，由知．设，则．当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．因为，故当时，，所以． 【解析】本题考查了导数的几何意义，利用导数证明不等式，属于中档题．
求导，根据列出方程组求出，即可；
构造函数，利用导数分析函数的单调性与最值即可证明．
 4.解：函数定义域为，，
所以当，，单调递增，当  时，，单调递减，
即当  时，有极大值， 所以的极大值为，无极小值； 
由于，所以 ，故要证原不等式成立，
只需证： 即可，即，
令 ，，则，
所以函数在区间上为增函数，
故在上，，即，
由得 ，所以 ，
所以 ． 【解析】本题考查导数与函数的综合应用，利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
利用导数研究函数的极值问题；
利用导数证明不等式，先注意将不等式转化为，进而转化为研究两个函数的最值问题．
 5.解：当时，，，因为，所以，所以函数在点处的切线方程，即；由题意知，，即，整理得，
，，
，
． 【解析】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再求出的值，利用直线方程的点斜式得答案；
由题意可得，整理可得，，结合恒成立，借助于“的代换”及基本不等式求最值得结论．
 6.解：，，
，．
在点处的切线方程为：，
化为：．
证明：要证明：，即证明，
分别令：，，
，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
故时，函数取得极小值即最小值，．
，
可得函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在时取得极大值即最大值，，
而函数与不是在同一点取得，
因此对于，都有：．
即．
所以原不等式得证． 【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
，可得，，，再利用点斜式即可得出．
要证明：，即证明，分别令：，，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论．
 7.解：Ⅰ函数，，则，
由题意知，
解得，
则，，切点为，
所求切线方程为，即．
Ⅱ证明：当时，，，所以成立，
当时，令，
则，令，，
所以，，则在上单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，
则，
所以当时，成立，
综上，． 【解析】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题．
Ⅰ先求出导函数，由导数的几何意义可知，进而求出的值，再由点斜式即可得到切线方程．
Ⅱ分两种情况讨论，当时，显然成立；当时，令，求导可知在上单调递增，所以，从而证得结论．
 8.解：由题意知的定义域为，
由已知，得，
当时，，在单调递增，无单调递减区间；
当时，令，得；令，得，
所以在单调递减，在上单调递增；
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
证明：当时，原不等式等价于．
由，易知在单调递增，
且，，
所以在上存在唯一零点，
此时在上单调递减，在上单调递增，
要证，即证，
由，得，，
代入，得，
因为，
所以． 【解析】由已知，得，分与两类讨论，可得的单调区间；
原不等式等价于，求导后可知在单调递增，且，在上存在唯一零点，使得在上单调递减，在上单调递增，利用分析法，可知要证，即证，利用基本不等式可求得，从而证得结论成立．
本题考查利用导数研究函数的单调性以及函数的极值与最值，考查了分类讨论思想、等价转化思想的综合运用，考查逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
 9.解：
则，当，时，，
所以在单调递增，当，由，得，
所以在单调递减，当时，
当时，，当时，，所以在单调递减，
在单调递增．不等式，即，为此先证明：，由由知，当，在单调递增，，即，令，则有，
故．由知，当，在单调递减，
，即，令，则有，
故．综上，对，恒成立，所以 【解析】本题考查了函数求导以及利用导函数判断函数的单调性，同时也考查了利用导数证明不等式问题，属于拔高题．
首先求函数的导数，分类讨论在不同取值下，函数的单调性；不等式的证明转化为证明，结合的结论，即可证明．
 10.解：当，，，
切线的斜率为：，切点为，
所以切线方程为，
即切线方程为．
令，
所以，
设函数的两个极值点分别为，，则，，
设，分别为函数的极大值点和极小值点，且，其中，
所以，
由，
可得，
设，
，
令，可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
即． 【解析】本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用解决不等式问题，考查推理论证能力、运算求解能力等，属于难题．
当时，求出函数的导数，可得切线斜率以及切点坐标，即可求切线方程；
令，求出函数的导数，可得，进一步可得，其中，设，求出导数，根据函数的单调性证明即可．
 11.解，
当时此时在内单调递增
当时，
此时在内单调递增
当时令，
，，在上为减函数．
又，
在上存在唯一零点，使得
当时，，递增
当时，，递减．
综上：
当时此时在内单调递增
当时当时，，递增
当时，，递减．
其中为方程的根．
由知当时，在区间上单调递增
则，即
所以，
因此
解法一：令，则
在上为减函数
，即，上恒成立．
得证．
解法二：
，得证． 【解析】本题主要考查利用导数求解函数单调区间以及利用导数证明不等式，属于难题．
 12.解：由，得，
又，
当时，恒成立，所以在上单调递减，
又由，则不成立；                                                               
当时，令，得，
则时，有；时，有，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值，也是最小值，
又因为，且，
故，即，经验证成立．
故．
选择：
因为，当时，，
设，
当时，，，
又由知，故；
当时，，
设，
则，，
则在单调递增，，
所以，则在单调递增，
，
综上，当时，，即，
即当时，
选择：
因为，当时，，
设，
当时，，，，故；
当时，，
设，
则，，
则在单调递增，
，所以，
则在单调递增，
，
综上，当时，，即，
即当时， 【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，以及不等式证明，属于较难题．
利用导数判断出函数的单调性，进而由，得出的值；
选择，令，当时，可得，当时，求导，分析函数的单调性与最值，即可证明；
选择，令，当时，可得，当时，求导，分析函数的单调性与最值，即可证明．
 13.解：设函数．
在上有两个零点当且仅当在上有两个零点．
当时，，没有零点，
当时，，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故是在上的最小值，
若，即，在上没有零点，
若，即，在上只有一个零点，
若，即，由于，所以在上有一个零点，
当时，易证，所以，
故在上也有一个零点，因此在上有两个零点，
综上，在上有两个根时，的取值范围为．
证明：，故，
令，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，，，
，由零点存在性定理及的单调性知，
方程在上有唯一根，
设为，且，从而有两个零点和，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
从而存在唯一的极大值点．
由，得，，
，取等不成立，
所以． 【解析】本题考查利用导数研究函数的零点，利用导数证明极值点存在，利用导数证明不等式，属于较难题．
设函数，求出导函数，讨论的范围，结合的变化情况以及零点存在性定理，即可求出的取值范围；
求出的导函数，构造函数，利用导数判断的变化情况即可得存在唯一的极大值点，再根据的性质证明不等式．
 14.解：函数的定义域为，
由于，则，
则，
令，
则，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
则，
所以函数的单调递减区间为，无递增区间；
证明：由得在区间上单调递增，
当时，，，
，
则，使，
即，
得，
当时，，在区间上单调递减；
当，，在区间上单调递增，
则
，
所以，
令，
由于，则，
则，
整理得． 【解析】本题考查函数零点存在定理、利用导数研究函数的单调性、导数中的函数不等式，属于较难题．
求出导数，利用导数的取值正负，即可得出结果；
根据的结论，利用零点存在定理得出则，使，即，分析单调性，即可证出结果