通用版2023届高考数学二轮复习空间角与空间距离作业含答案

这是一份通用版2023届高考数学二轮复习空间角与空间距离作业含答案，共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
空间角与空间距离一、单选题1.  如图，已知长方体中，，，为线段上一点，且，则与平面所成角的正弦值为(    )

 A.  B.  C.  D. 2.  如图，在四棱锥中，，平面，，，则异面直线与所成角的余弦值为(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知，两点都在以为直径的球的球面上，，，若球的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为(    )A.  B.  C.  D. 4.  如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，面，则与平面所成角的正弦值为(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，在直三棱柱中，，，点，分别是线段，的中点，，分别记二面角，，的平面角为，则下列结论正确的是(    )
 A.  B.  C.  D. 6.  如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且，当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  如图，四边形是矩形，，，是的中点，与交于点，平面，若，则直线与平面所成角的正弦值为(    ) A.  B.  C.  D. 二、多选题8.  在如图所示的棱长为的正方体中，是的中点，对于下列结论，正确的为(    )
 A. 点到平面的距离是
B. 向量与向量所成的角为
C. 二面角的大小的正切值为
D. 直线与平面所成的角的余弦值为9.  在直三棱柱中，，，是的中点，下列判断正确的是(    )A. 平面 B. 面面
C. 直线到平面的距离是 D. 点到直线的距离是10.  如图，在四棱锥中，底面，，，点为的中点，，，，则(    )A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 点到平面的距离为
D. 与平面所成的角为11.  如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则(    )
 A. 直线与底面所成的角为
B. 平面与底面夹角的余弦值为
C. 直线与直线的距离为
D. 直线与平面的距离为12.  如图，正方形和矩形所在平面所成的角为，且，为的中点，则下列结论正确的有(    )A.
B. 直线与所成角的余弦值是
C. 直线与平面所成角的正弦值是
D. 点到平面的距离是13.  如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是(    )A. 几何体的外接球半径
B. 平面
C. 异面直线与所成角的正弦值的取值范围为
D. 面与底面所成角正弦值的取值范围为三、解答题14.  本小题分
如图，在三棱台中，，，，．
 证明：求平面与平面夹角的余弦值．15.  本小题分如图，在直角梯形中，，，平面，，．
 求证：；在线段上是否存在点，使二面角的大小为若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 16.  本小题分
如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线．
证明：平面；
若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．
 17.  本小题分已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，，分别是，中点，点是棱上的动点．证明：平面；请确定点的位置，使得直线与平面所成的角取最大值． 18.  本小题分如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是矩形，，为的中点，且．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值． 19.  本小题分
如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，圆柱的侧面积为，．
 求点到直线的距离；                                      求平面与平面的夹角的余弦值． 20.  本小题分已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点．．求证：；当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？ 21.  本小题分如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．证明：平面；若，，求点到平面的距离． 22.  本小题分
如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，，．

求点到平面的距离；
线段上是否存在点，使与平面所成角正弦值为，若存在，求出；若不存在，说明理由．23.  本小题分如图，平面，，．求证：平面；求直线与平面所成角的正弦值；若二面角的余弦值为，求线段的长． 24.  本小题分如图，已知圆台下底面圆的直径为，是圆上异于，的点，是圆台上底面圆上的点，且平面平面，，，，分别是，的中点．
证明：平面若直线平面且过点，试问直线上是否存在点，使直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等若存在，求出点的所有可能位置若不存在，请说明理由． 25.  本小题分
如图，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，，，平面平面，点为线段上一点．
若，求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
26.  本小题分
如图，在几何体中，平面平面，四边形为矩形在四边形中，，，．
 点在线段上，且，是否存在实数，使得若存在，求出的值若不存在，请说明理由．点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.解：过作交于点，连接，因为，，，所以，，所以，同理可得，因为，所以，所以．以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，易知，所以，，，，证明：易知，，所以 ，所以，所以B.解：易知，设是平面的法向量，则即取，则，，所以，易知平面的一个法向量为，则，，所以平面与平面夹角的余弦值为． 15.本题考查空间向量求二面角，属于中档题． 16.解：证明：如图，连接，由题意知为的直径，
所以因为，是圆柱的母线，
所以且，所以四边形是平行四边形．
所以，所以．
因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为平面，所以．
又因为，、平面，所以平面．

由知是三棱锥底面上的高，
由知，，所以，
即底面三角形是直角三角形．
设，，
则在中有：，
所以，
当且仅当时等号成立，即点，分别是，的中点时，三棱锥的体积最大，
下面求二面角的正弦值：
法一：由得平面，因为平面，所以．
又因为，，所以平面．
因为平面，所以，所以是二面角的平面角，
由知为直角三角形，则．
故，所以二面角的正弦值为．
法二：由知，，两两相互垂直，
如图，以点为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

则．
由知平面，故平面的法向量可取为．
设平面的法向量为，
由，
得，即，即，取，得．
设二面角的平面角为，
，
所以二面角的正弦值为． 17.解：证明：连接，底面为菱形，，
为正三角形，是的中点，，又，
，平面，平面，，
，、平面，平面，
由知，、、两两垂直，
故以、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，
，，．
设，
设平面的法向量为，
则
令，则，，
设直线与平面所成的角为，
则，，
当时，最大，此时为的中点． 18.解：Ⅰ由题知，，，
，．
，，．
又，，平面，
平面．
又平面，．
在正三角形中，为的中点，则，
又，，平面，
平面．
Ⅱ如图，取的中点为，的中点为，
由Ⅰ可知，平面，而为中点，为中点，
故，故平面，而平面，平面，
故，，
而为中点，故A，
从而，，两两垂直．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．

则，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则即
令，则，，于是，
设直线与平面所成角为，
则，． 19.解：以为原点，以的延长线为轴，以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，
 设圆柱的高为，则由侧面积得，则，  由，得  ，，，，，，，
直线的单位方向向量为，
设点到直线的距离为，则，所以点到直线的距离为 平面的法向量为，   ，设平面的法向量为，则
令，则 设平面与平面的夹角，
则，
易知为锐角，所以平面与平面的夹角的余弦值为   20.证明：连接，
，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，
，，
，，
，
，，
，即，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，
，，
，即．

解：由知：平面，
平面的一个法向量为，
由知，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
，
，
，
当时，面与面所成的二面角的余弦值最大为，此时正弦值最小为． 21.解：证法一：取中点，连接 

在中，， 
在底面上，， 
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面．
所以平面 
证法二：取中点，连接．


在中，，平面，平面．
所以平面．
在底面上，，，
则四边形为平行四边形．
所以  
又平面，平面，
所以 平面 
因为平面，
所以平面平面 
因为平面，所以平面．
解法一：在底面上，过点作，又有底面，
如图所示，

以为原点，建立空间直角坐标系 
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，则，取，得 
记点到平面的距离为，则．
解法二：记点到平面的距离为，由题可知，
，．
在中，，
则．
．
因为，所以，即，
解得 22.解：如图所示，取中点，连结，，
直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，则垂直于平面，
设，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，则有
，，，，

据此可得，
设平面的一个法向量为，
则，令可得，
从而，又，
故求点到平面的距离．
假设存在点满足题意，
点在线段上，则，
即：，
据此可得：，，从而，，
设与平面所成角所成的角为，
则，
整理可得：，
解得：或舍去．
据此可知，存在满足题意的点，点为的中点． 23.解：依题意，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴正方向的空间直角坐标系如图，

可得，，，，．
设，则．依题意，是平面的法向量，
又，可得，则，
又因为直线平面，所以平面．依题意，，，．设为平面的法向量，
则，即，不妨令，可得．因此有．所以，直线与平面所成角的正弦值为．设为平面的法向量，，
则，即，不妨令，可得由题意，有，
解得．经检验，符合题意．所以，线段的长为． 24.证明：因为，平面平面，平面平面，
平面，平面．解：存在，此时点与点重合．
理由如下：以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图，


则，，，
，，
，，
由直线平面且过点，以及平面，得，
设，平面的一个法向量为，
则
取，得，
平面的法向量，
设直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，又，，
则，
直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等，
，则，故当点与点重合时，直线与平面所成角和平面与平面的夹角相等． 25.证明：延长，交于点，连接，延长与的延长线交于点，如图，
因为，，所以，
又，所以，即点为的中点，
因为平面平面，，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
四边形为等腰梯形，，，所以，
又，所以平面，
又平面，所以，
因为，所以，所以，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面；
解：如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，
则，，，，
所以，，
，，
设，则
，
设平面的一个法向量为，
则，得，
令，则，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，
，
当时，最大值为，
直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 26.解：存在时，使得，理由如下：
因为四边形为矩形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
取为坐标原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，
所以，
又，所以，
当时，，所以存在时，使得；
设，
则，
又，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则，所以，
设直线与平面所成角为，则
，
因为，所以时，，
当时，，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是．