通用版2023届高考数学二轮复习圆锥曲线的综合问题作业含答案

圆锥曲线的综合问题

一、单选题

1.  设斜率为的直线过抛物线的焦点，且和轴交于点若为坐标原点的面积为，则抛物线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  为椭圆的右焦点，过作轴的垂线交椭圆于点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，若的面积是面积的倍，则该椭圆的离心率是(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

3.  设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线是坐标原点的斜率的乘积等于，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为，则的焦距的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  设，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点，若和的离心率分别为，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题

8.  已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，其中点在第一象限，若，，则下列说法正确的是(    )

A. 焦点到准线的距离为 B.
C.  D.

9.  如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论正确的是(    )
 

A. ， B. 若，则
C. 若，则的最小值为 D.

10.  设双曲线的左、右焦点为，，直线为的一条斜率为正数的渐近线，为坐标原点若在的左支上存在点，使点与点关于直线对称，则下列结论正确的是(    )

A.  B. 的面积为
C. 双曲线的离心率为 D. 直线的方程是

11.  一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”，则下列命题正确的有(    )

A. 若是“黄金椭圆，则
B. 若焦距为，且点在以为焦点的“黄金椭圆”上，则的周长为
C. 若是黄金双曲线的左焦点，是右顶点，，则
D. 若是黄金双曲线的弦，离心率为，是的中点，若和的斜率均存在，则

12.  已知为坐标原点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于，两点，则下列结论正确的是(    )

A. 的准线方程为
B. 若，则
C. 若，则的中点到轴的距离为
D.

13.  已知双曲线，双曲线与双曲线有相同的渐近线，抛物线以坐标原点为顶点，以双曲线的左焦点为焦点，则下列判断正确的是(    )

A. 抛物线标准方程为
B. 双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离为
C. 若双曲线焦点在轴，则双曲线的离心率为
D. 若双曲线与抛物线交于、两点，则

三、填空题

14.  已知动点在运动过程中总满足关系式，记，，则面积的最大值为          ．

15.  已知椭圆，过点作直线与椭圆交于，两点，若点恰好为线段的中点，则直线的斜率为          ．

16.  设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为设，与相交于点若，则的面积为          ．

17.  为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为          ．

四、解答题

18.  本小题分
已知抛物线，直线与抛物线交于，两点．

若线段中点的纵坐标为，求的值

若，求的值．

19.  本小题分
已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．
证明：；
设为的右焦点，为上一点，且证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．

20.  本小题分
已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点在抛物线上．
求该抛物线的方程及其准线方程；
直线过抛物线的焦点，交该抛物线于，两点，且，求的长度．

21.  本小题分
如图，已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且．
求抛物线方程；
设过点的直线交抛物线于两点，若斜率为的直线与直线轴依次交于点，且满足，求直线在轴上截距的取值范围．
 

22.  本小题分
椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足．
求椭圆的离心率；
直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．

23.  本小题分
如图，已知点是轴左侧不含轴一点，抛物线：上存在不同的两点，满足，的中点均在上．

Ⅰ设中点为，证明：垂直于轴；

Ⅱ若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围．

24.  本小题分

椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线有许多相似性质比如三种曲线都可以用如下方式定义又称圆锥曲线第二定义到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹为圆锥曲线当时为椭圆，当时为抛物线，当时为双曲线定点为焦点，定直线为对应的准线，常数为圆锥曲线的离心率依据上述表述解答下列问题．
已知点，直线，动点满足到点的距离与到定直线的距离之比为．
求曲线的轨迹方程
在抛物线中有如下性质：如图，在抛物线中，为抛物线顶点，过焦点的直线交抛物线于，两点，连接，并延长交准线于点，，则以为直径的圆与相切于点，以为直径的圆与相切于中点那么如图在曲线中是否具有相同的性质若有，证明它们成立若没有，说明理由．
 

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18.解：设，
由题意，两式相减可得：，
即；
联立，则，
则，解得：，
故，
则
，
故，解得：或舍去． 

19.解：设，，
线段的中点为，
，．
将，代入椭圆：中，可得
，
两式相减可得，，
即，
．
点在椭圆内，即，
解得，
由题意得，设，，，则
，，
由及题设得，．
又点在上，所以，从而，，
于是，
同理．
所以，
故，即，，成等差数列．
设该数列的公差为，则，，
将代入得，
所以的方程为，代入的方程，并整理得．
故，，代入解得．
所以该数列的公差为或． 

20.解：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，
设抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，
所以，解得，
故抛物线的方程为，其准线方程；
根据抛物线的对称性，不妨设点在第一象限，直线的倾斜角为，
由抛物线的定义可知，，即，
同理可得，
因为，
则，即，
所以，
故． 

21.解：由题意知，故抛物线方程为；
设直线的方程为，
联立，
，，，
设直线的方程为：，
联立，
 ， ，，
，
直线的方程：，
联立
同理，
，
，
，
令，则，
 ，
，
解得或且，
故直线在轴上截距的取值范围为： 

22.解：，
，
，
，
，
；
由可知椭圆为，即，
设直线：，
联立，消去得：
，
又直线与椭圆只有一个公共点，
，
，
，
，
又，
，
解得，则，
又的面积为，
，解得，
又，
，，
椭圆的标准方程为． 

23.Ⅰ证明：可设，，，
中点为的坐标为，
抛物线：上存在不同的两点，满足，的中点均在上，
可得和，
化简可得，为关于的方程的两根，
因此，，
可得，所以点与的纵坐标相同，
则垂直于轴；
Ⅱ解：因为是半椭圆上的动点，
所以，，，
由Ⅰ可得，，
由垂直于轴，因此面积为
．
令，则．
又因为，
所以，
因此当时，取得最大值；
当时，取得最小值，但达不到，
所以．
因为在递增，可得，
所以面积的取值范围为 

24.解：由题意可知，曲线的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，
所以
所以椭圆的轨迹方程为．
解：以为直径的圆与不相切，理由如下：
当焦点弦为椭圆的长轴时，此时圆方程为，圆与直线相离
当轴时焦点弦的长最短，此时圆方程为，圆与直线相离
以为直径的圆与相切于点存在，证明如下：
设，，直线的方程为，
由化简得，由韦达定理得
直线的方程为，令，得，
同理，
则，
，
，，
以为直径的圆过点，
又中点坐标为，
而，
即，
所以，
，所以为直径的圆与相切于点．