通用版2023届高考数学二轮复习圆锥曲线中的轨迹问题作业含答案

圆锥曲线中的轨迹问题

一、单选题

1.  已知点和圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，点的轨迹是圆锥曲线，则的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  圆与圆：外切，且与轴相切，则的轨迹方程是(    )

A.  B. 和
C.  D. 和

3.  给出下列说法：
方程表示一个圆；
若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；
已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支；
以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切．
其中正确说法的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列关于圆锥曲线的命题正确的个数为(    )

双曲线与椭圆有相同的焦点；

设定点、，若动点满足条件，则动点的轨迹是椭圆；

设，为两个定点，若动点满足条件，则动点的轨迹为双曲线；

设，为两个定点，为动点，若，且，则的最大值为；

平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹为抛物线．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.  已知点，过直线上一动点作与轴垂直的直线，与线段的中垂线交于点，则点的轨迹方程为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知圆上的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  正方体中，点、分别为棱、的中点，点是棱上的一个点包括端点，点是平面上一动点，满足，则点所在轨迹为(    )

A. 椭圆
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 抛物线或双曲线

8.  平面直角坐标系中有两点和以为圆心，正整数为半径的圆记为以为圆心，正整数为半径的圆记为对于正整数，点是圆与圆的交点，且，，，，都位于第二象限则这个点都在同一(    )

A. 直线上 B. 椭圆上 C. 抛物线上 D. 双曲线上

9.  已知点，，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题

10.  如图，在直棱柱中，各棱长均为，，则下列说法正确的是(    )

A. 三棱锥外接球的表面积为
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 当点在棱上运动时，最小值为
D. 是平面上一动点，若到直线与的距离相等，则的轨迹为抛物线

11.  已知是圆：上任意一点，定点在轴上，线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时，的轨迹可以是(    )

A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

12.  如图，正方体的梭长为，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，下列说法正确的是(    )

A. 若点是线段的中点，则
B. 若点是线段的中点，则平面
C. 若平面，则点轨迹在正方形内的长度为
D. 若点到的距离与到的距离相等，则点轨迹是抛物线

13.  已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若为锐角三角形，则
D. 若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为

三、填空题

14.  设，，，则动点的轨迹方程为          ，到坐标原点的距离的最小值为          ．

15.  已知动圆与圆：外切，与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程为          ．

16.  已知动圆与圆及圆都内切，则动圆圆心的轨迹方程为          

17.  过点的直线与椭圆交于点和，且点满足，若为坐标原点，则线段长度的最小值为          ．

18.  在三棱锥中，已知，，，，则三棱锥体积的最大值是          ．

19.  已知平面向量，，满足，，，则的最小值是          ．

四、解答题

20.  本小题分

已知椭圆的离心率为，其焦点是双曲线的顶点．
写出椭圆的方程
直线与椭圆有唯一的公共点，过点作直线的垂线分别交轴、轴于，两点当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
 

21.  本小题分

在平面直角坐标系中，已知点，直线：，动点满足到点的距离与到直线的距离之比为已知点，是圆：上一个动点，线段的垂直平分线交于点，分别在轴，轴上运动，且，动点满足．

在，，这三个条件中任选一个，求动点的轨迹的方程；注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分

点，若直线：交于，两点，求的面积．

22.  本小题分

已知两点，，动点在轴上的投影为，且，记动点的轨迹为曲线．

求的方程；

过点的直线与曲线在轴右侧相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

23.  本小题分
已知为圆：上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点．
求点的轨迹方程；
设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为，，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

24.  本小题分

在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．

求点的轨迹的方程；

曲线上一点，点、分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围．

25.  本小题分
已知，两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足，动点的轨迹为．
求的方程；
已知不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的、两点，总满足，证明：直线过定点．

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14.

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20.解：，，，所以椭圆的方程为．
将代入，整理得，
由题意得，
即
解得，所以，于是过点且垂直于直线为，
可得，，
所以，，，而，
所以点的轨迹方程为，其中，
其轨迹是以为焦点长轴长为的椭圆除去顶点 

21.解：若选．
设，根据题意得，整理得．
故动点的轨迹的方程为．
若选，
由圆，
由题意得，所以，
则点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，
故动点的轨迹的方程为．
若选．
设，，，则，
因为，
所以，即
将其代入，
则动点的轨迹的方程为．
由 ，得， ，解得，，
设，由弦长公式得，
又点到直线的距离，
所以 ，即的面积为． 

22.解：设，则，，，，
因为，所以，
故C的方程为．
由题可知直线的斜率一定存在，且不为，
不妨设直线的方程为，，
联立方程组消去整理得，
则整理得．
，，
则线段的垂直平分线的方程为，
令，得，则，
，
则．

故是定值，该定值为． 

23.解：由题意可知圆：的圆心为，半径为，
因为线段的垂直平分线交线段于点，
所以，所以，
又因为，所以轨迹是以，为焦点的椭圆，
设，则，，，
所以点的轨迹方程为．
若两条直线斜率均存在，
设过点的弦所在直线的方程为，
代入椭圆方程联立得：，
设与椭圆两交点的坐标分别为，
所以，所以，
则；
同理，；
由对称性可知所过定点必在轴上，设为，
显然，所以，
化简得，即；
(ⅱ)若其中一条直线斜率不存在，则直线为轴；综上直线必过定点；
取点与点的中点为，则，因为，所以，
所以点在以为圆心，为半径的圆上运动，
所以存在定点，使得为定值． 

24.证明：如图：

由点与关于对称，则，
，为定值，
由，
由双曲线定义知，点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线，
设点的轨迹的方程为，
，，，，    
，     
点的轨迹的方程为；
解：由题意知，，分别为双曲线的渐近线，
设，，
由，   
 ，，
，，
，    
，   
 ，
又，同理，
设的倾斜角为，
则，
，
因为，易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；
当时，；
面积取值范围是． 

25.解：设，因为，
所以，
所以，，则，
又，得，即，
所以动点的轨迹方程为：；
证明：设直线的方程为：，，，
则，，
联立，消去，得，
由，得，
，
直线的斜率为，直线的斜率为，
又，所以，即，
整理得，
即，
所以，
由，化简得，
所以，
故直线过定点．