2023年高考数学大题专练专题02裂项相消求和含解析

  专题2  裂项相消求和

1．（2022·湖北·大冶市第一中学模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】（1）根据以及可得该数列是等差数列，然后根据等差数列的、写出数列的通项公式即可.

（2）有题意可知，然后根据裂项求和即可求得.

(1)由题意得：由题意知，则

又，所以是公差为2的等差数列，则；

(2)由题知

则

2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知正项数列满足，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据，即可得到（），两式作差即可得解；

（2）依题意可得，利用分组求和及裂项相消法求和即可；

(1)

解：因为，①

当时，．②

①②得，所以．

当时，，也满足上式，

所以．

(2)

解：因为，

则，

则．

3．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知数列的前项和为，，.

(1)求数列的通项公式和前项和；

(2)设，数列的前项和记为，证明：.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据代入整理得，结合理解处理；（2）代入整理得，利用裂项相消进行求和．

(1)

由，得

两式相减可得，

因为，得

数列为3，，3，，3，，3，

即，

当为偶数时，；

当为奇数时，；

(2)由

则有

所以，

4．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知数列的前n项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的前n项和为，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)先根据和an＝Sn－Sn－1(n≥2)，推出数列{an}的递推公式，再求an.

(2)根据的通项公式的结构形式，结合裂项求和法进行适当放缩，再求和，即可证得结果.

(1)

当时，，即.

当时，①，

②，

由①-②，得，即.

所以，且，所以数列为常数列，

所以，即.

(2)

证明：由（1）得，

所以，

所以.

5．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）等比数列中，首项，前项和为，且满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据等比数列求解公比即可；（2）根据题意得，再裂项求和即可.

(1)

设数列公比为，由，，

可得，化简得，

即，所以．

(2)

由（1）得，

所以

所以

..

6．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知数列满足：

(1)求、、；

(2)将数列中下标为奇数的项依次取出，构成新数列，

①证明：是等差数列；

②设数列的前m项和为，求证：．

【答案】(1) ； ；

(2)①证明见解析 ；②证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据求解；

（2）①利用等差数列的定义证明；②利用裂项相消法求解.

(1)

由题意知：，

，        

；

(2)

①当n为奇数时，n+1为偶数，

，

，

，

当时，，

是以为首项，2为公差的等差数列．       

②由①知，                    

，               

，

.

7．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列{an}对任意的n∈N*都满足．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题干中的已知条件可得当时，，当时，，即可求解数列的通项公式；

（2）代入化简数列，利用裂项相消法即可求解数列的前n项和.

(1)

解：∵，∴当时，，

当时，，

从而有，即当时，，

又满足上式，

故数列的通项公式为．

(2)解：由题可知，，

所以，

，

所以.

8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列的前n项和为，．

(1)证明：数列是等比数列．

(2)若数列的前m项和，求m的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)8

【解析】

【分析】

（1）根据与的关系式化简证明；（2）由（1）得数列的通项公式为．所以，继而求和计算.

(1)

当时，，．

当时，，两式相减得，

即，，

则数列是首项为2，公比为2的等比数列．

(2)

由（1）得，，当时，，

数列的通项公式为．

，

，

令，

得，解得．

9．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））若为数列的前n项和，，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由，利用数列通项和前n项和的关系结合等比数列的定义求解；

（2）由（1）得到，再利用裂项相消法求解.

(1)

解：因为①，，

当时，②，

由①②可得，

即．

时，，

又，所以，

所以，所以，

所以数列是等比数列，且首项为2，公比为2．

所以．

(2)由（1）知，

所以，

所以，

，

，．

10．（2022·重庆·模拟预测）已知数列的前n项和为Sn，，，且

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．

【答案】(1)an＝2n﹣13

(2)5

【解析】

【分析】

（1）消去Sn得到an+1﹣an＝2，即可判断出{an}是公差为2的等差数列，求出通项公式；

（2）利用裂项相消法求出，列不等式即可求解.

(1)

由题意知（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝2，

解得an+1﹣an＝2（n≥2），

又a2﹣a1＝2，

所以{an}是公差为2的等差数列，

则an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣13；

(2)

由题知，则

由得，解得，所以n的最大值为5．

11．（2022·广东·模拟预测）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．

(1)试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；

(2)若，求的前n项和，并证明：．

【答案】(1)，，

(2)，证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据定义求出的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，由此归纳出，(2)由(1)化简，再由裂项相消法求其前项和，并完成证明.

(1)

由题意得，

，

，

，

，

…

，

由等比数列的前n项和公式可得，，

所以的通项公式．

(2)

由于，

所以，

则，

因为，所以，所以，

又随n的增大而减小，

所以当时，取得最大值，故．

12．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知是数列的前项和，且．

(1)求的通项公式．

(2)若，是的前项和，求．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由求通项公式，注意；

（2）从第2项向后用裂项相消法求和．

(1)

时，，

，所以；

(2)时，，，

所以，

所以.

13．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）已知正项递增的等比数列满足，.

(1)求的通项公式；

(2)设，的前n项和为，求.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件及等比数列通项公式即可求解；

（2）根据（1）知，得出数列，利用裂项相消法即可求解.

(1)

设等比数列的公比为，则

因为数列为正项递增等比数列，所以，

又，，

∴，解得，或（舍）；

所以等比数列的通项公式为.

(2)

由（1）知，

所以，

所以

.

所以的前n项和为.

14．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知数列，，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列．

(1)求数列和的通项公式；

(2)记．

（ⅰ）求；

（ⅱ）求．

【答案】(1)；

(2)（ⅰ） ；（ⅱ）

【解析】

【分析】

（1）利用等差数列的通项公式及等比中项的性质即可求解；

（2）（ⅰ）利用裂项相消法求和即可，

（ⅱ）将相邻两项合并成一项，再利用错位相减法求和即可.

(1)

设数列的公差为d，

∵，，成等比数列，且，

∴，即，解得，

则，

即，

(2)

（ⅰ）由（1）可知，，

则

；

（ⅱ）由题意，对，

，

设的前n项为，

所以，则，

则

，

所以，

即．

15．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知数列的前n项和为，，且．

(1)求的值，并证明：数列是一个常数列；

(2)设数列满足，记的前n项和为，若，求正整数k的值．

【答案】(1)，证明见解析．

(2)．

【解析】

【分析】

（1）利用得到与的关系，构造数列即可．

（2）先求出，得到，裂项求和得到，代入解不等式．

(1)

当时，得：．

当时，，则，

得，

又符合上式，即数列是一个常数列．

(2)由（1）可知：，即．

，则，得：．

即．

16．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知数列满足，，．

(1)求的值并求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)，;

(2).

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件及数列的递推公式，取项数可得出数列的各项，再利用等比数列的通项公式即可求解；

（2）根据对数的运算性质，再利用裂项相消法即可求解.

(1)

因为，又 ，所以

，

，

．                       

当时，，所以，

从而，

所以数列是以首项为，公比为的等比数列，

于是有，又因为，不满足上式，

所以数列的通项公式为.

(2)由（1）知，，

＝，

故＝＝．

所以

所以数列的前项和为．

17．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.

(1)

∵，∴,∴,

又∵是公差为的等差数列，

∴,∴,

∴当时，，

∴,

整理得：,

即,

∴

，

显然对于也成立，

∴的通项公式；

(2)

∴

18．（2022·天津·耀华中学二模）已知为等差数列，前n项和为，，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.

(1)求和的通项公式；

(2)设，，，求；

(3)设，其中.求的前2n项和.

【答案】(1)，；

(2)；

(3).

【解析】

【分析】

（1）根据等差数列的通项公式、前n项和公式，结合等比数列的通项公式进行求解即可；

（2）运用累和法，结合对数的运算性质进行求解即可；

（3）根据（1）（2）的结论，结合裂项相消法进行求解即可.

(1)

设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，或舍去，所以；

，

，解得：，即，

所以有，；

(2)

因为，

所以当时，

有

，显然当时也适合，

即；

(3)

由（1）（2）可知：，，.

当，时，，

当，时，，

，

.

【点睛】

关键点睛：运用裂项相消法是解题的关键.

19．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知数列为等比数列，且

(1)求的通项公式；

(2)若 ，的前项和为 ，求满足的最小正整数

【答案】(1)

(2)5

【解析】

【分析】

（1）列方程组求得等比数列首项、公比，进而求得其通项公式；

（2）先化简的通项公式，利用裂项相消法求得的前项和为，再解，即可求得满足不等式的最小正整数.

(1)

设等比数列首项为，公比为q，

则，解之得，则等比数列的通项公式

(2)

由，可得

则的前项和

由，可得

令，则

由，可得

由，可得

则有在单调递减，在单调递增

又， ，

则，

即由不等式，可得

则满足的最小正整数为5

20．（2022·全国·高考真题）已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，，求a的取值范围；

(3)设，证明：．

【答案】(1)的减区间为，增区间为.

(2)

(3)见解析

【解析】

【分析】

（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.

（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.

（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.

(1)

当时，，则，

当时，，当时，，

故的减区间为，增区间为.

(2)

设，则，

又，设，

则，

若，则，

因为为连续不间断函数，

故存在，使得，总有，

故在为增函数，故，

故在为增函数，故，与题设矛盾.

若，则，

下证：对任意，总有成立，

证明：设，故，

故在上为减函数，故即成立.

由上述不等式有，

故总成立，即在上为减函数，

所以.

当时，有，       

所以在上为减函数，所以.

综上，.

(3)

取，则，总有成立，

令，则，

故即对任意的恒成立.

所以对任意的，有，

整理得到：，

故

，

故不等式成立.

【点睛】

思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.