2023届高考数学二轮复习专题12圆锥曲线作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题12圆锥曲线作业含答案，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题）
1. 双曲线的一个顶点为 2,0，一条渐近线方程为 y=2x，则该双曲线的方程是
A. x24-y28=1B. y28-x24=1C. x22-y24=1D. x24-y22=1
2. 若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆 x22+y2=1 的焦点和顶点，则该双曲线的方程为
A. x2-y2=1B. x22-y2=1C. x2-y22=1D. x23-y22=1
3. 已知直线 l 与双曲线 C：x2-y2=2 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，若 AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则 △AOB 的面积为
A. 12B. 1C. 2D. 4
4. 已知抛物线 C1:x2=2pyp>0 的准线与抛物线 C2:x2=-2pyp>0 交于 A，B 两点，C1 的焦点为 F，若 △FAB 的面积等于 1，则 C1 的方程是
A. x2=2yB. x2=2yC. x2=yD. x2=22y
5. 已知抛物线 y2=8x 与双曲线 x2a2-y2=1a>0 的一个交点为 M，F 为抛物线的焦点，若 MF=5，则该双曲线的渐近线方程为
A. 5x±3y=0B. 3x±5y=0C. 4x±5y=0D. 5x±4y=0
6. 设点 P 为双曲线 x2a2-y2b2=1a>0,b>0 上一点，F1，F2 分别是左右焦点，I 是 △PF1F2 的内心，若 △IPF1，△IPF2，△IF1F2 的面积 S1，S2，S3 满足 2S1-S2=S3，则双曲线的离心率为
A. 2B. 3C. 4D. 2
7. 设 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，P 为 C 上一点，若 ∠OFP=120∘，则 S△POF=
A. 3B. 23C. 33 或 3D. 33
8. 设双曲线 x2a+y2b=1 的一条渐近线为 y=-2x，且一个焦点与抛物线 y=14x2 的焦点相同，则此双曲线的方程为
A. 54x2-5y2=1B. 5y2-54x2=1C. 5x2-54y2=1D. 54y2-5x2=1
9. 已知双曲线 C:x2-y28=1 的左右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线 l 与 C 的左右两支分别交于 A，B 两点，且 ∣AF1∣=∣BF1∣，则 ∣AB∣=
A. 22B. 3C. 4D. 22+1
10. 已知抛物线 y2=2pxp>0 上一点 M1,mm>0 到其焦点的距离为 5，双曲线 x2-ay2=a 的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 等于
A. 19B. 14C. 13D. 12
11. F 为双曲线 Γ:x2a2-y2b2=1a>0,b>0 的右焦点，若 Γ 上存在一点 P 使得 △OPF 为等边三角形（O 为坐标原点），则 Γ 的离心率 e 为
A. 2B. 3C. 3+12D. 3+1
12. 已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0 的左焦点为 F．若点 F 关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线的右支上，则该双曲线的离心率是
A. 2B. 3C. 2D. 5
二、填空题（共4小题）
13. 已知抛物线 y2=4x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 5，则 △PFO 的面积为 ．
14. 已知 F1，F2 为 x2a2+y216=1 的左、右两焦点，M 为椭圆上一点，则 △MF1F2 内切圆的周长等于 3π，若满足条件的点 M 恰好有 2 个，则 a2= ．
15. 已知函数 fx=∣x-2∣-lnx 在定义域内的零点个数为 a，抛物线 C:x2=2pyp>0 的准线为 l，过 M0,a 且斜率为 33 的直线与 l 相交于点 A，与抛物线 C 的一个交点为 B．若 AM=MB，则 p= ．
16. 若抛物线 y2=2pxp>0 的准线经过双曲线 x2-y2=1 的一个焦点，则 p= ．
三、解答题（共6小题）
17. 已知 P 是圆 C:x2+y2=4 上的动点，P 在 x 轴上的射影为 Pʹ，点 M 满足 PM=MPʹ，当 P 在圆 C 上运动时，点 M 形成的轨迹为曲线 E．
（1）求曲线 E 的方程；
（2）经过点 A0,2 的直线 l 与曲线 E 相交于点 C，D，并且 AC=35AD，求直线 l 的方程．
18. 如图，已知椭圆 C 的中心在原点，其一个焦点与抛物线 y2=46x 的焦点相同，又椭圆 C 上有一点 M2,1，直线 l 平行于 OM 且与椭圆 C 交于 A，B 两点，连 MA，MB．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）当 MA，MB 与 x 轴所构成的三角形是以 x 轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围．
19. 已知点 P 是椭圆 x22+y2=1 上的任意一点，F1，F2 是它的两个焦点，O 为坐标原点，动点 Q 满足 OQ=PF1+PF2．
（1）求动点 Q 的轨迹 E 的方程；
（2）若与坐标轴不垂直的直线 l 交轨迹 E 于 A，B 两点且 OA⊥OB，求 △OAB 面积 S 的取值范围．
20. 过抛物线 E:y2=2pxp>0 的准线上的动点 C 作 E 的两条切线，斜率分别为 k1，k2，切点为 A，B．
（1）求 k1⋅k2；
（2）C 在 AB 上的射影 H 是否为定点，若是，请求出其坐标，若不是，请说明理由．
21. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2=2pxp>0 的准线 l 与 x 轴交于点 M，过点 M 的直线与抛物线交于 A，B 两点，设 Ax1,y1 到准线 l 的距离 d=2λpλ>0．
（1）若 y1=d=3，求抛物线的标准方程；
（2）若 AM+λAB=0，求证：直线 AB 的斜率的平方为定值．
22. 已知椭圆 Ω 的中心在原地 O，焦点在 x 轴上，离心率为 12，椭圆 Ω 上的点到直线 x=4 的最近距离为 2．
（1）求椭圆 Ω 的标准方程；
（2）已知直线 l:y=kx+m 与椭圆 Ω 交于 A，B 两点，若对任意实数 λ 都有 λOA+OB=λOA-OB 成立，求实数 m 的取值范围．
答案
1. A【解析】由已知 a=2，b=22，双曲线方程为 x24-y28=1．
2. A【解析】椭圆 x22+y2=1 的焦点坐标为 ±1,0，顶点坐标为 ±2,0．由题意，得双曲线的顶点坐标是 ±1,0，焦点坐标是 ±2,0，
所以 a=1，c=2，b=1，故双曲线的方程为 x2-y2=1．
3. C【解析】由题意得，双曲线的两条渐近线方程为 y=±x，
设 Ax1,x1，Bx2,-x2，
所以 AB 中点坐标为 x1+x22,x1-x22，
所以 x1+x222-x1-x222=2，即 x1x2=2，
所以 S△AOB=12∣OA∣⋅∣OB∣=12∣2x1∣⋅∣2x2∣=x1x2=2．
4. A【解析】如图，
把 y=-p2 代入 x2=-2py，得 x2=p2，所以 x=±p，
则 AB=2p，设 AB 交 y 轴于点 M．
又 MF=p，所以 S△FAB=12⋅2p⋅p=p2=1，则 p=1．
所以 C1 的方程是 x2=2y．
5. A
【解析】抛物线 y2=8x 的焦点 F2,0，准线方程为 x=-2，设 Mm,n，则由抛物线的定义可得 MF=m+2=5，解得 m=3，故 n2=24，可得 n=±26．将 M3,±26 代入双曲线 x2a2-y2=1，可得 9a2-24=1，解得 a=35．所以双曲线的渐近线方程为 y=±53x，即为 5x±3y=0．
6. A【解析】设内接圆半径为 r，
因为 2S1-S2=S3，
所以 212∣PF1∣r-12∣PF2∣r=12×2c⋅r，
所以 ∣PF1∣-∣PF2∣=c，即 2a=c，
所以 e=ca=2．
7. A【解析】F1,0，FP 所在直线的方程为 y=3x-1，
代入 y2=4x 得 3x2-10x+3=0，
解得 x=13 或 x=3，
所以 P3,23，S△POF=12∣OF∣⋅yP=12×1×23=3．
8. D【解析】因为 x2=4y 的焦点为 0,1，所以双曲线的焦点在 y 轴上．
因为双曲线的一条渐近线为 y=-2x，
所以设双曲线的方程为 y2-4x2=λλ>0，即 y2λ-x2λ4=1，则 λ+λ4=1，λ=45，
所以双曲线的方程为 5y24-5x2=1．
9. C【解析】因为双曲线 C:x2-y28=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线 l 与 C 的左右两支分别交于 A，B 两点，
所以 ∣AF2∣-∣AF1∣=2，且 ∣BF1∣-∣BF2∣=2，
又因为 ∣AF1∣=∣BF1∣，
所以 ∣AF2∣-∣BF2∣=4，
所以 ∣AB∣=4．
10. A
【解析】由已知 1+p2=5，
所以 p=8，
所以 M1,4，A-a,0，kAM=41+a，
由已知 41+a=1a，解得 a=19．
11. D【解析】设 Fʹ 为双曲线的左焦点，连接 PFʹ，
因为 ∠PFFʹ=60∘，∣PF∣=c，∣FFʹ∣=2c，
所以 ∠FʹPF=90∘ 且 ∣PFʹ∣=3c，
所以 3c-c=2a，
所以 e=23-1=3+1．
12. D【解析】设 F 关于渐近线 l:y=bax 的对称点为 P，右焦点为 Fʹ，F 到 l 的距离为 b，则 ∣FP∣=2b，∣PFʹ∣=2b-2a，易知 PFʹ∥l，所以 ∠FPFʹ=90∘，所以 2b2+2b-2a2=4c2，易得 e=5．
13. 2
【解析】抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 F1,0，准线方程为 x=-1，
因为抛物线 y2=4x 上的一点 P 到焦点的距离为 5，
由抛物线定义可知，点 P 到准线 x=-1 的距离是 5，
则点 P 到 y 轴的距离是 4，所以点 P 的坐标为 4,4，
所以 △PFO 的面积为 12×1×4=2．
14. 25
【解析】由题意得内切圆的半径等于 32，
因此 △MF1F2 的面积为 12×32×2a+2c=3a+c2，即 3a+c2=12×∣yM∣×2c，
因为满足条件的点 M 恰好有 2 个，
所以 M 为椭圆短轴端点，即 ∣yM∣=4，
所以 3a=5c 而 a2-c2=16，
所以 a2=25．
15. 4
【解析】fx 的零点即 ∣x-2∣=lnx 的根，在同一坐标系作出 y=∣x-2∣，y=lnx 的图象如图，
由图可知 a=2．
所以 M0,2，过 B 作 BE 垂直于准线 l 于 E．
因为 AM=MB，
所以 M 为 AB 中点，
所以 ∣BM∣=12∣AB∣，又斜率为 33，
所以 ∠BAE=30∘，
所以 ∣BE∣=12∣AB∣，
所以 ∣BM∣=∣BE∣，
所以 M 为抛物线的焦点，
所以 p=4．
16. 22
【解析】抛物线 y2=2pxp>0 的准线方程为 x=-p2p>0 ，故直线 x=-p2 过双曲线 x2-y2=1的 左焦点 -2,0 ，从而 -p2=-2 ，解得 p=22．
17. （1） 设 Mx,y，则 Px,2y 在圆 C:x2+y2=4 上，
所以 x2+4y2=4，即 x24+y2=1．
（2） 经检验，当直线 l⊥x 轴时，题目条件不成立，所以直线 l 存在斜率．
设直线 l:y=kx+2．
设 Cx1,y1，Dx2,y2，
则 x24+y2=1y=kx+2⇒1+4k2x2+16kx+12=0．
Δ=16k2-41+4k2×12>0，得 k2>34．
x1+x2=-16k1+4k2, ⋯⋯①
x1x2=121+4k2, ⋯⋯②
又由 AC=35AD，得 x1=35x2，
将它代入 ①，② 得 k2=1，k=±1（满足 k2>34）．
所以直线 l 的斜率为 k=±1．
所以直线 l 的方程为 y=x+2 或 y=-x+2．
18. （1） 抛物线 y2=46x 的焦点 6,0，又椭圆 C 上有一点 M2,1，
由题意设椭圆方程为：x2a2+y2b2=1,a>b>0，
解法一：
2a=2-62+1-02+2+62+1-02=42，
且 c=6，则 b2=2．
解法二：
c2=6=a2-b2,4a2+1b2=1,
解得 a2=8，b2=2，
所以椭圆方程为 x28+y22=1．
（2） 因为 l∥OM⇒kl=kOM=12，
设直线在 y 轴上的截距为 m，
则直线 l：y=12x+m，
直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点．
y=12x+m,x28+y22=1⇒x2+2mx+2m2-4=0⇒2m2-42m2-4>0，
所以 m 的取值范围是：m-2