2023届高考数学二轮复习专题七立体几何_第38练球的体积和表面积作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题七立体几何_第38练球的体积和表面积作业含答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题）
1. 已知一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为
A. 20πB. 205π3C. 5πD. 55π6
2. 一个正方体的内切球 O1 、外接球 O2 、与各棱都相切的球 O3 的半径之比为
A. 1:3:2B. 1:1:1C. 1:3:2D. 1:2:3
3. 已知正四面体的棱长为 2，则其外接球的表面积为
A. 8πB. 12πC. 32πD. 3π
4. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为
A. 16πB. 9πC. 4πD. π
5. 若一个长、宽、高分别为 4，4，h 的长方体能装下 8 个半径为 1 的小球和一个半径为 2 的大球，则 h 的最小值为
A. 26+2B. 27+2C. 42+2D. 8
6. 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=2，则该三棱柱内切球 O1 的表面积与外接球 O2 的表面积的比值为
A. 427B. 17C. 429D. 215
7. 已知在矩形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，AD 的中点，且 BC=2AB=2，现沿 EF 将平面 ABEF 折起，使 平面 ABEF⊥平面 EFDC，则三菱锥 A-FEC 的外接球的体积为
A. 33πB. 32πC. 3πD. 23π
8. 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 3，以顶点 A 为球心，2 为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为
A. 5π6B. 2π3C. πD. 7π6
9. 若一个半径为 R 的球内部装有 4 个半径相同的小球，则小球半径 r 的最大值可能为
A. 23-3B. 3-12RC. 6-2RD. 5-25R
10. 已知地球的半径为 R，球面上 A，B 两点都在北纬 45∘ 圈上，它们的球面距离为 π3R，A 点在东经 30∘ 上，则 A，B 两点在其纬线圈上所对应的劣弧的长度为
A. 22πRB. 2πRC. 24πRD. 22πR
11. 已知四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上，AB⊥平面BCD，且 AB=3，BC=2，BD=4，∠CBD=60∘，则球 O 的表面积为
A. 12πB. 16πC. 20πD. 25π
12. 用两个互相垂直的平面去截半径为 R 的球，若两个截面圆的半径分别为 r1=2，r2=3，两截面圆的圆心距为 d=3，则该球的体积为
A. 6423πB. 323πC. 2563πD. 16053π
二、填空题（共4小题）
13. 将一铜球放入底面半径为 16 cm 的圆柱玻璃容器中，水面升高 9 cm，则这个铜球的半径为 cm．
14. 在半径为 2 的球面上有不同的四点 A，B，C，D，若 AB=AC=AD=2，则平面 BCD 被球所截图形的面积为 ．
15. 把一个大金属球表面涂漆，共需 2 公斤油漆．若把这个大金属球熔化制成 27 个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，则需要用油漆 公斤．
16. 一个底面为正三角形的直三棱柱的正视图和俯视图（单位：cm）如图所示，则它的外接球的表面积为 cm2．
答案
1. D【解析】由题意得六棱柱的最长的体对角线就是该球的直径，
易知六棱柱最长的体对角线长为 22+12=5，
所以该球的体积为 V=4π3×523=55π6．
2. C
3. D【解析】解法一：如图所示，过顶点 A 作 AO⊥底面BCD，垂足为 O，则 O 为正三角形 BCD 的中心，连接 DO 并延长交 BC 于 E，
又正四面体的棱长为 2，
所以 DE=62，OD=23DE=63，
所以在直角三角形 AOD 中，AO=AD2-OD2=233．
设正四面体外接球的球心为 P，半径为 R，连接 PD，则在直角三角形 POD 中，PD2=PO2+OD2，即 R2=233-R2+632，解得 R=32，
所以外接球的表面积 S=4πR2=3π．
解法二：如图，
将正四面体放在棱长为 1 的正方体内，四面体的棱长为正方体的面对角线，外接球的直径为正方体的体对角线．
所以外接球的半径 R=32，外接球的表面积 S=4πR2=3π．
4. B【解析】如图所示，
将此三棱锥 P-ABC 放在棱长为 2 的正方体中，其中顶点 P 为上底面对角线的交点．
设 H 为底面 △ABC 的外接圆的圆心，连接 PH，
所以外接球的球心必在 PH 上，设为点 O，
设外接球的半径为 R，
则在直角三角形 OHA 中，
OA2=OH2+AH2，
即 R2=2-R2+2，
解得 R=32，
所以此三棱锥外接球的表面积 S=4πR2=9π．
5. B
【解析】由题意，在长、宽分别为 4，4 的下底面上平放 4 个小球，在 4 个小球上面放一个大球，使得 4 个小球两两外切，大球与 4 个小球都相切，记 4 个小球的球心依次为 A，B，C，D，大球的球心为 E，则 E-ABCD 为正四棱锥，底面边长为 2，侧棱长为 3，其高为 h0=32-22=7，对应上面再放 4 个小球，因此 h 的最小值为 27+2．
6. C【解析】由题意得 BC=5，设外接球 O2 的半径为 R，
则 R=BC22+AA122=522+12=292．
因为 Rt△ABC 的内切圆的半径为 1，且直三棱柱 ABC-A1B1C1 的高为 2，
所以该直三棱柱的内切球 O1 的半径 r=1，
所以 S球O1S球O2=r2R2=429．
7. B【解析】由题意，翻折后的图形即边长为 1 的正方体的底面和一个侧面，所以三棱锥 A-FEC 的外接球即此正方体的外接球，其直径为正方体的体对角线，所以其半径 R=32，V=43πR3=32π．
8. A【解析】由题意，图中弧 EF 为过球心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，
因为 ∠A1AE=∠BAF=π6，
所以 ∠EAF=π6，
由弧长公式知弧 EF 的长为 2×π6=π3．
弧 FG 为不过球心的平面与球面相交所得小圆的一段弧，其圆心为 B，
因为球心到平面 BCC1B1 的距离 d=3，球的半径 R=2，
所以小圆的半径 r=R2-d2=1，
又 ∠GBF=π2，
所以弧 FG 的长为 1×π2=π2．
故两段弧长之和为 5π6．
9. C【解析】当四个小球两两相切并且都与大球相切时，这些小球的半径最大，则以四个小球的球心为顶点的正四面体的棱长为 2r，该正四面体的中心（其外接球的球心）就是大球的球心．易知该正四面体的高为 4r2-23r32=263r，设该正四面体的外接球的半径为 x，则 x2=263r-x2+23r32，解得 x=62r，所以 R=62r+r，所以 r=26+2R=6-2R．
10. C
【解析】
如图，设球心为 O，北纬 45∘ 圈的中心为 O1，由 A，B 两点的球面距离为 π3R，得 ∠AOB=π3 ，
所以 △OAB 为等边三角形，于是 AB=R．
由 O1A=O1B=R⋅cs45∘=22R，
得 O1A2+O1B2=AB2，
即 ∠AO1B=π2．
所以 A，B 两点在其纬线圈上所对应的劣弧的长度为 O1A⋅π2=24πR．
11. D【解析】因为四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上，AB⊥平面BCD，AB=3，BC=2，BD=4，且 ∠CBD=60∘，
所以 CD=16+4-2×4×2×cs60∘=23，
所以 BC2+CD2=BD2，
所以 BC⊥CD，
所以以 CD，BC，AB 为长方体的长、宽、高构造长方体 AGHE-BCDF，如图所示，
则球 O 的半径 R=12AD=129+16=52，
所以球 O 的表面积 S=4π×522=25π．
12. A【解析】设垂直于两截面的大圆面分别交两截面圆于 AB，CD，上述大圆的垂直于 AB，CD 的直径交 AB，CD 于 E，F 两点，连接 OE，OF，EF，如图所示．
设 OE=d1，OF=d2，则 d12+d22=32,d12+22=R2,d22+32=R2, 解得 R=22．
所以该球的体积 V=43πR3=6423π．
13. 12
【解析】由题意知铜球的体积为 π×162×9=2304πcm3，设铜球的半径为 r cm，则铜球的体积为 4π3r3=2304π，解得 r=12．
14. 3π
【解析】过点 A 向 △BCD 作垂线，垂足为 M，
则 M 是 △BCD 的外心，而外接球的球心 O 位于 AM 上，
连接 BM，BO，如图所示，
设平面 BCD 被球所截得的截面圆的半径为 r，
因为 OA=OB=2=AB，
所以 ∠BAO=60∘．
在 Rt△ABM 中，r=2sin60∘=3，
所以所求图形的面积 S=πr2=3π．
15. 6
【解析】记一个小金属球的半径为 R1，体积为 V1，大金属球的半径为 R2，体积为 V2，
所以 V1V2=127，知 R1R2=13，
所以一个小金属球的表面积与大金属球的表面积的比值为 S1S2=19，
故共需油漆 27×19×2=6（公斤）．
16. 25π3
【解析】由题意知，直三棱柱的直观图如图中 ABC-A1B1C1 所示，
底面三角形 ABC 的高 BE=3，点 G，G1 分别为底面三角形 ABC，A1B1C1 的外接圆的圆心，所以外接球球心为 GG1 的中点，设外接球的半径为 R，球心为 O，则在 Rt△OGB 中，OB2=OG2+GB2，即 R2=322+2332，解得 R2=2512，所以球的表面积 S表=4πR2=25π3．