2023届高考数学二轮复习专题八解析几何_第45练抛物线作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题八解析几何_第45练抛物线作业含答案，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题）
1. 抛物线 C:x=16y2 的准线方程为
A. y=-164B. y=-4C. x=-164D. x=-4
2. 过抛物线 y2=8x 的焦点 F 作倾斜角为 45∘ 的直线交抛物线于 M，N 两点，则线段 MN 的长为
A. 8B. 10C. 12D. 16
3. 已知点 P 在抛物线 y2=4x 上，则点 P 到点 Q2,-1 的距离与点 P 到抛物线的焦点 F 的距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为
A. 14,1B. 14,-1C. 1,2D. 1,-2
4. 已知 F 为抛物线 y2=4x 的焦点，P 为抛物线上的动点，点 D 的坐标为 2,0，则 PD⋅PF 的最小值为
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 已知点 Ax0,3 在抛物线 C:y2=2px 的准线上，记 C 的焦点为 F，若直线 AF 的斜率为 -34，则 x0 的值为
A. -2B. 2C. -1D. 1
6. 设抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F，过 F 的直线与 C 交于 A，B 两点，记点 F 到直线 l:x=-2 的距离为 d，则有
A. ∣AB∣=2dB. ∣AB∣≥2dC. ∣AB∣≤2dD. ∣AB∣<2d
7. 若抛物线 y2=2px 上恒有关于直线 x+y-1=0 对称的两点 A，B，则实数 p 的取值范围是
A. -23,0B. 0,32
C. 0,23D. -∞,0∪23,+∞
8. 已知 Px0,y0 为直线 l 上的定点，过点 P 作抛物线 C:x2=4y 的两条切线 PA，PB，其中 A，B 为切点，则直线 AB 的方程为
A. x0x-2y-2y0=0B. x0x+2y-2y0=0
C. x0x+2y+2y0=0D. x0x-2y+2y0=0
9. 已知过抛物线 y2=2pxp>0 的焦点 F，且倾斜角为 π4 的直线与抛物线交于 A，B 两点，若弦 AB 的垂直平分线经过点 0,4，则 p 等于
A. 25B. 23C. 45D. 85
10. 如图，已知点 A2,0，抛物线 C:x2=2pyp>0 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线 l 相交于点 N，若 ∣MF∣∣MN∣=55，则抛物线 C 的方程为
A. x2=yB. x2=2yC. x2=4yD. x2=8y
11. 已知函数 fx=ax2-3-ax+1a≠0，gx=x，若对于任一实数 x，fx 与 gx 至少有一个为正数，则实数 a 的取值范围是
A. 0,3B. 3,9C. 1,9D. 0,9
12. 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，A 、 B 为抛物线上两点，若 AF=3FB，O 为坐标原点，则 △AOB 的面积为
A. 33B. 833C. 433D. 233
二、填空题（共4小题）
13. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 上一点 A4,m 到其焦点的距离为 174，则 p 的值是 ．
14. 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，准线为 x=-1，直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，若线段 MN 的中点为 1,1，则直线 l 的方程为 ．
15. 设 P 为抛物线 y2=2pxp>0 上任意一点，F 为抛物线的焦点，定点 A1,3，且 ∣PA∣+∣PF∣ 的最小值为 10，则此抛物线的方程为 ．
16. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，若 ∣AB∣=8，∣AF∣<∣BF∣，则 ∣BF∣= ．
答案
1. C【解析】由抛物线 C:x=16y2，可得 C:y2=116x，因为 1164=164，故其准线方程为 x=-164．
2. D【解析】通解
由题意可知过焦点的直线方程为 y=x-2，联立 y2=8x,y=x-2, 得 x2-12x+4=0，故 ∣MN∣=1+12×122-4×4=16．
优解
设 Mx1,y1，Nx2,y2，由题意可知过焦点的直线方程为 y=x-2，联立 y2=8x,y=x-2, 得 x2-12x+4=0，故 x1+x2=12，由抛物线的定义可得 ∣MN∣=x1+x2+4=12+4=16．
3. B【解析】如图，
因为点 Q2,-1 在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，∣PF∣ 等于点 P 到准线 x=-1 的距离．过 Q2,-1 作 x=-1 的垂线 QH，交抛物线于点 K，则点 K 为点 P 到点 Q2,-1 的距离与点 P 到准线 x=-1 的距离之和取得最小值时的点．将 y=-1 代入 y2=4x 得 x=14，所以点 P 的坐标为 14,-1．
4. B【解析】副题意得 F1,0，设 Px0,y0x0≥0，则 y02=4x0，
PD⋅PF=2-x0,-y0⋅1-x0,-y0=y02+x02-3x0+2=x02+x0+2=x0+122+74,
因为 x0≥0，
所以当 x0=0，PD⋅PF 取得最小值 2．
5. A
【解析】因为点 Ax0,3 在抛物线 C 的准线上，
所以 x0=-p2，又焦点 F 的坐标为 p2,0，
所以由 kAF=0-3p2+p2=-34，得 p=4，
所以 x0=-2．
6. B【解析】如图，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，由抛物线 C:y2=8x，得焦点 F2,0，准线 l:x=-2，则 F 到直线 l:x=-2 的距离 d=4．设直线 AB 的方程为 x=ty+2，联立直线与抛物线方程，得 y2-8ty-16=0，所以 y1+y2=8t，x1+x2=ty1+y2+4=8t2+4≥4，故 ∣AB∣=x1+x2+4≥8=2d．
7. C【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，直线 AB：y=x+b，代入 y2=2px，消去 x 得 y2-2py+2pb=0，故 y1+y2=2p，x1+x2=y1+y2-2b=2p-2b，由条件知线段 AB 的中点为 x1+x22,y1+y22，即 p-b,p 在直线 x+y-1=0 上，故 b=2p-1，Δ=4p2-8pb=4p2-8p2p-1=-12p2+8p>0，
所以 08. A【解析】抛物线 C 的方程为 x2=4y，即 y=x24，求导得 yʹ=x2，设 Ax1,y1，Bx2,y2y1=x124,y2=x224，则切线 PA，PB 的斜率分别为 x12，x22，所以切线 PA 的方程为 y-y1=x12x-x1，即 y=x12x-x122+y1，即 x1x-2y-2y1=0，同理可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=0．因为切线 PA，PB 均过点 Px0,y0，所以 x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，所以直线 AB 的方程为 x0x-2y-2y0=0．
9. D【解析】由题意得焦点 Fp2,0，直线 AB 的斜率为 1，
AB 的方程为 y=x-p2，其垂直平分线方程为 y-4=-x．
由 y=x-p2,y2=2px 可得 x-p22=2px，化简得 x2-3px+p24=0，设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x1+x2=3p，故 y1+y2=x1+x2-p=3p-p=2p，即 x1+x22=3p2，y1+y22=p，故 p-4=-32p，解得 p=85．
10. C
【解析】如图所示，作 MH 垂直准线 l 于点 H，
由抛物线的定义知 ∣MF∣=∣MH∣，所以 ∣MF∣∣MN∣=∣MH∣∣MN∣．由于 △MHN∽△FOA，则 ∣MH∣∣HN∣=∣OF∣∣OA∣=p22=p4，故 ∣MH∣∣MN∣=pp2+16，即 ∣MF∣∣MN∣=pp2+16=55，解得 p=2 或 p=-2（舍去），故抛物线 C 的方程为 x2=4y．
11. C
【解析】提示：当 x>0 时，gx=x>0，所以题中条件可转化为当 x≤0 时，fx>0 恒成立，所以 a>0．二次函数的对称轴为 x=3-a2a，再讨论 3-a2a 与 0 的大小关系求出 a 的范围．
12. C
【解析】抛物线 y2=4x 的焦点为 1,0，设直线 l 的方程为：x=my+1，代入抛物线方程可得 y2-4my-4=0 .设 Ax1,y1，Bx2,y2 则 y1+y2=4m，y1⋅y2=-4 ，由 AF=3FB，得 y1=-3y2，则 m2=13，所以 S△AOB=12∣OF∣⋅∣y1-y2∣=12y1+y22-4y1y2=1216m2+16=433 .
13. 12
【解析】设焦点为 F，则 FP2,0 故 ∣AF∣=4+P2=174，故 p=12．
14. 2x-y-1=0
【解析】依题意易得抛物线的方程为 y2=4x，设 Mx1,y1，Nx2,y2，因为线段 MN 的中点为 1,1，故 x1+x2=2，y1+y2=2，则 x1≠x2，由 y12=4x1,y22=4x2, 两式相减得 y12-y22=4x1-x2，所以 y1-y2x1-x2=4y1+y2=2，故直线 l 的方程为 y-1=2x-1，即 2x-y-1=0．
15. y2=8x
【解析】若 A1,3 在抛物线内部，则 ∣PA∣+∣PF∣ 的最小值为 1+P2=10，故 2p=410-1，抛物线的方程为 y2=410-1x，此时 A1,3 在抛物线外部，不符合题意．
若 A1,3 在抛物线外部，则 ∣PA∣+∣PF∣ 的最小值为 ∣AF∣=p2-12+9=10，故 p=4，抛物线的方程为 y2=8x，此时 A1,3 在抛物线外部，符合题意．
16. 4+22
【解析】由 y2=4x，得焦点 F1,0．又 ∣AB∣=8，
故 AB 的斜率存在（否则 ∣AB∣=4）．
设直线 AB 的方程为 y=kx-1k≠0，
Ax1,y1，Bx2,y2，
将 y=kx-1 代入 y2=4x，
得 k2x2-2k2+4x+k2=0，
故 x1+x2=2+4k2，
由 ∣AB∣=∣AF∣+∣BF∣=x1+x2+2=8，
得 x1+x2=2+4k2=6，
即 k2=1，则 x2-6x+1=0，又 ∣AF∣<∣BF∣，
所以 x1=3-22，x2=3+22，
故 ∣BF∣=x2+1=3+22+1=4+22．