2023届高考数学二轮复习专题八解析几何_第47练圆锥曲线的热点问题作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题八解析几何_第47练圆锥曲线的热点问题作业含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题）
1. 已知椭圆 C2 过椭圆 C1:x214+y29=1 的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆 C2 的离心率为
A. 23B. 22C. 12D. 13
2. 双曲线 x2a2-y2b2=1a>0,b>0 的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率为
A. 3B. 2C. 5D. 6
3. 设椭圆的方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0，点 O 为坐标原点，离心率为 255．点 A 的坐标为 a,0，点 B 的坐标为 0,b，点 M 在线段 AB 上，且满足 ∣BM∣=2∣MA∣，则直线 OM 的斜率为
A. 105B. 1010C. 510D. 55
4. 已知 P 为抛物线 y2=4x 上的任意一点，记点 P 到 y 轴的距离为 d，若点 A3,4，则 ∣PA∣+d 的最小值为
A. 25B. 25-1C. 25+1D. 25-2
5. 设 F1，F2 是双曲线 x2-y24=1 的两个焦点，M 是双曲线与椭圆 x29+y24=1 的一个公共点，则 △MF1F2 的面积等于
A. 2B. 4C. 6D. 8
6. 已知 F1，F2 分别是双曲线 x216-y248=1 的左、右焦点，A-2,8，M 是双曲线左支上的动点，则 ∣MF2∣+∣MA∣ 的最小值为
A. 6B. 9C. 12D. 18
7. 过椭圆 x216+y24=1 内一点 P3,1，且被点 P 平分的弦所在直线的方程是
A. 4x+3y-13=0B. 3x+4y-13=0C. 4x-3y+5=0D. 3x-4y+5=0
8. 已知抛物线 y2=4pxp>0 与双曲线 x2a2-y2b2=1a>0,b>0 有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的交点，且 AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为
A. 2+1B. 3C. 2D. 3+1
9. 已知抛物线 y2=4x 的准线过椭圆 x2a2+y23=1 的左焦点，则直线 y=kx+2 与椭圆至少有一个交点的充要条件是
A. k∈-22,22
B. k∈-∞ ,-12∪12,+∞
C. k∈-12,12
D. k∈-∞ ,-22∪22,+∞
10. 已知 F 是抛物线 C1：y2=8x 的焦点，过点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两个不同点，交 y 轴于点 N，若 NA=λ1AF，NB=λ2BF，则 λ1+λ2 的值为
A. -1B. 1C. -2D. 2
11. 设 F 是椭圆 x22+y2=1 的右焦点，动点 M2,tt>0，过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N，则 ON 的值为
A. 1B. 2C. 2D. 3
12. 已知双曲线：x2a2-y2b2=1,a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，焦 距 为 2c ， 直线 y=3x+c 与双曲线的一个交点 M 满足 ∠MF1F2=2∠MF2F1，则双曲线的离心率为
A. 2B. 3C. 2D. 3+1
二、填空题（共4小题）
13. 已知 O 为坐标原点，抛物线 y2=4x 的焦点为 F，P 为抛物线上一点，若 ∠OFP=120∘，则 S△POF= ．
14. 若点 P 在椭圆 x29+y2=1 上，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，且满足 PF1⋅PF2=t，则实数 t 的取值范围是 ．
15. 过双曲线 C:x2-y2b2=1b>0 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交双曲线 C 于点 P，若双曲线 C 的离心率为 2+3，则点 P 的横坐标为 ．
16. 如图，椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，且过 F2 的直线交椭圆于 P，Q 两点，PQ⊥PF1．若 ∣PQ∣=λ∣PF1∣，且 34≤λ≤43，则椭圆的离心率 e 的取值范围为 ．
答案
1. A【解析】由题意得椭圆 C1:x214+y29=1 的两个焦点为 ±5,0，短轴的两个端点为 0,±3，所以椭圆 C2 中长半轴长 a=3，短半轴长 b=5，故半焦距长 c=2，e=ca=23．
2. C【解析】因为 y=x2+1，yʹ=2x，设切点为 x0,x02+1，所以切线方程为 y-x02+1=2x0x-x0，因为切线过原点 0,0，所以 -x02+1=2x0-x0，解得 x0=±1，k=±2，则 ba=2，b2a2=4，c2-a2a2=e2-1=4，所以双曲线的离心率 e=5．
3. C【解析】由题意知，点 M23a,13b，
又 e=ca=255，
故 c2a2=2025=45，即 a2-b2a2=1-b2a2=45，
故 b2a2=1-45=15，即 ba=55，
故 kOM=13b23a=b2a=510．
4. B【解析】如图，
抛物线的焦点 F1,0，当 ∣PA∣+d 最小时，∣PA∣+d+1 最小．根据抛物线的定义，d+1=∣PF∣，
所以只需求 ∣PA∣+∣PF∣ 的最小值即可．连接 AF，PF，当点 P 为 AF 和抛物线的交点时，∣PA∣+∣PF∣ 最小，且最小值为 ∣AF∣=4+16=25，
所以 ∣PA∣+d+1 的最小值为 25，
所以 ∣PA∣+d 的最小值为 25-1．
5. B
【解析】通解 由 x2-y24=1,x29+y24=1,
得 x=±355,y=±455,
不妨设点 M 是两曲线在第一象限的交点，
则有 M355,455，
点 M 到 x 轴的距离为 455，
由已知可得 ∣F1F2∣=2c=25，
故 △MF1F2 的面积等于 12×25×455=4．
优解 依题意可得双曲线与椭圆的焦点相同，假设点 M 是两曲线在第一象限的交点，
则有 ∣MF1∣-∣MF2∣=2，∣MF1∣+∣MF2∣=6，
解得 ∣MF1∣=4，∣MF2∣=2，又 ∣F1F2∣=25，
由于 ∣MF1∣2+∣MF2∣2=42+22=20=∣F1F2∣2，
故 △MF1F2 是直角三角形，其面积为 12×4×2=4．
6. D【解析】因为 a2=16，b2=48，故 c2=16+48=64，即 F1-8,0，F28,0，因为点 A-2,8 在双曲线的两支之间，所以 ∣MA∣+∣MF1∣≥∣AF1∣=10，由双曲线的定义知 ∣MF2∣-∣MF1∣=2a=8，所以 ∣MF2∣+∣MA∣=8+∣MF1∣+∣MA∣≥10+8=18，当且仅当 A，M，F1 三点共线时等号成立，即 ∣MF2∣+∣MA∣ 的最小值为 18．
7. B【解析】设所求直线与椭圆交于 Ax1,y1，Bx2,y2 两点，由于 A，B 两点均在椭圆上，故 x1216+y124=1，x2216+y224=1，两式相减得 x1+x2x1-x216+y1+y2y1-y24=0．
因为 P3,1 是 Ax1,y1，Bx2,y2 的中点，
所以 x1+x2=6，y1+y2=2，故 kAB=y1-y2x1-x2=-34，直线 AB 的方程为 y-1=-34x-3，即 3x+4y-13=0．
8. A【解析】设双曲线的左焦点为 Fʹ，连接 AFʹ，因为 F 是抛物线 y2=4pxp>0 的焦点，且 AF⊥x 轴，设 Ap,y0，得 y02=4p2，得 y0=±2p，不妨取 Ap,2p，在 Rt△AFFʹ 中，由 ∣AF∣=∣FFʹ∣=2p，得 ∣AFʹ∣=22p，所以双曲线 x2a2-y2b2=1 的焦距 2c=∣FFʹ∣=2p，实轴长 2a=∣AFʹ∣-∣AF∣=2p2-1，所以双曲线的离心率为 e=ca=2c2a=2p2p2-1=2+1．
9. B【解析】易得抛物线 y2=4x 的准线方程是 x=-1，故椭圆 x2a2+y23=1 的左焦点为 -1,0，即 c=1，所以 a2=1+3=4，所以椭圆的方程是 x24+y23=1．联立 y=kx+2,x24+y23=1, 可得 3+4k2x2+16kx+4=0，由 Δ=16k2-163+4k2≥0 可得 4k2≥1，解得 k≥12 或 k≤-12．
10. A
【解析】由题意知 F2,0，直线 AB 的方程为 y=x-2，
则 N0,-2，设 Ax1,y1，Bx1,y2，联立 y2=8x,y=x-2,
消去 y 可得 x2-12x+4=0，
故 x1+x2=12,x1x2=4.
由 NA=λ1AF，NB=λ2BF，得 λ12-x1=x1，λ22-x2=x2，
整理得 λ1=x12-x1，λ2=x22-x2，
λ1+λ2=x12-x1+x22-x2=2x1+x2-2x1x24-2x1+x2+x1x2=2×12-84-2×12+4=-1.
11. C【解析】过点 F 作 OM 的垂线，垂足设为 K，直线
OM 的方程为 y=t2x，直线 FN 的方程为 y=-2tx-1．
由 y=t2x,y=-2tx-1,
得 x=4t2+4，故 K4t2+4,2tt2+4，
所以 OK=16t2+42+4t2t2+42=4t2+4，
OM=4+t2．
又 ON2=OK⋅OM=4t2+4⋅t2+4=2，
所以 ON=2．
优解 设 Nx0,y0，则 FN=x0-1,y0，OM=2,t，MN=x0-2,y0-t，ON=x0,y0．
因为 FN⊥OM，
所以 2x0-1+ty0=0，
所以 2x0+ty0=2．又 MN⊥ON，
所以 x0x0-2+y0y0-t=0，
所以 2x0+ty0=2．又 MN⊥ON，
所以 x0x0-2+y0y0-t=0，
所以 x02+y02=2x0+ty0=2．
所以 ON=x02+y02=2．
12. D
【解析】因为直线 y=3x+c 过左焦点 F1，且其倾斜角为 60∘，
所以 ∠MF1F2=60∘，∠MF2F1=30∘ .
所以 ∠F1MF2=90∘，即 F1M⊥F2M .
所以 ∣MF1∣＝12∣F1F2∣=c，∣MF2∣=∣F1F2∣sin60∘=3c
由双曲线的定义有：∣MF2∣-∣MF1∣+=3c-c=2a，
所以离心率 e=ca=c3c-c2=3+1
13. 3
【解析】抛物线 y2=4x 的焦点为 F1,0，由 ∠OFP=120∘，得直线 FP 的斜率为 ±3，所以直线 FP 的方程为 y=±3x-1，联立 y=±3x-1,y2=4x, 解得 x=13 或 x=3．结合题意知 x=3，yP=±23，所以 S△POF=12×1×23=3．
14. -7,1
【解析】设 Px,y，F1-22,0，F222,0，PF1=-22-x,-y，PF2=22-x,-y，PF1⋅PF2=-22-x22-x+-y2=x2+y2-8．
因为 P 在椭圆 x29+y2=1 上，
所以 y2=1-x29，
所以 t=PF1⋅PF2=x2+y2-8=89x2-7，
因为 0≤x2≤9，
所以 -7≤t≤1，
故实数 t 的取值范围为 -7,1．
15. 2
【解析】设双曲线 x2-y2b2=1 的右焦点为 c,0，不妨设所作直线与双曲线的渐近线 y=bx 平行，则所作直线的方程为 y=bx-c，代入双曲线 x2-y2b2=1，得点 P 的横坐标为 x=1+c22c．由双曲线 C 的离心率为 2+3 可得 ca=2+3，即 c=2+3，故 x=1+c22c=1+2+322×2+3=8+432×2+3=42+32×2+3=2．
16. 22,53
【解析】如图，连接 F1Q，由 PF1⊥PQ，∣PQ∣=λ∣PF1∣，
得 ∣OF1∣=∣PF1∣2+∣PQ∣2=1+λ2⋅∣PF1∣，
由椭圆的定义，知
∣PF1∣+∣PF2∣=2a，∣QF1∣+∣QF2∣=2a，
即 ∣PF1∣+∣PQ∣+∣QF1∣=4a，
于是 1+λ+1+λ2∣PF1∣=4a，
解得 ∣PF1∣=4a1+λ+1+λ2，
故 ∣PF2∣=2a-∣PF1∣=2aλ+1+λ2-11+λ+1+λ2．
由勾股定理得 ∣PF1∣2+∣PF2∣2=∣F1F2∣2=2c2=4c2，
从而 4a1+λ+1+λ22+2aλ+1+λ2-11+λ+1+λ22=4c2，
两边同时除以 4a2，得 41+λ+1+λ22+λ+1+λ2-121+λ+1+λ22=e2，
记 t=1+λ+1+λ2，
则 e2=4+t-22t2=81t-142+12．
因为 34≤λ≤43，
且 t=1+λ+1+λ2 在 34,43 上是关于 λ 的单调递增函数，
所以 3≤t≤4，即 14≤1t≤13，
进而 12≤e2≤59，
即 22≤e≤53，
即椭圆的离心率的取值范围为 22,53．