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2023届高考数学二轮复习专题八解析几何_第48练圆锥曲线的综合问题作业含答案

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这是一份2023届高考数学二轮复习专题八解析几何_第48练圆锥曲线的综合问题作业含答案，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题）
1. 设双曲线 x2-y24=1 的一条渐近线与曲线 y=ax2+1 只有一个公共点，则 a 的值为
A. 1B. 2C. 2D. 5
2. 曲线 x210-m+y26-m=1m<6 与曲线 x25-n+y29-n=15A. 焦距相等B. 离心率相等C. 焦点相同D. 顶点相同
3. 若椭圆 x2a2+y2b2=1 与双曲线 x2a2-y2b2=1 的离心率分别为 e1，e2 其中 a>b>0 且 e1+e2=3，则 e1e2=
A. 32B. 34C. 12D. 14
4. 已知椭圆 C:x22+y2=1 的右焦点为 F，点 A 是直线 l:x=2 上一个动点，线段 AF 交 C 于点 B，设点 B 到直线 l 的距离为 d，BFd=22，若 FA=3FB，则 AF=
A. 3B. 2C. 2D. 3
5. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C1:x2a2-y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，其中 F2 也是抛物线 C2:y2=4x 的焦点，点 M 为 C1 与 C2 在第一象限内的交点，且 ∣MF2∣=53，则椭圆的长轴长为
A. 2B. 4C. 6D. 8
6. 已知圆的方程为 x2+y2=4，过点 M2,4 作圆的两条切线，切点分别为 A1，A2，直线 A1A2 恰好经过椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的右顶点和上顶点，则椭圆的离心率为
A. 13B. 32C. 12D. 22
7. 已知双曲线：C1:x2a2-y2b2=1a>0,b>0 的焦距是实轴长的 2 倍，若抛物线：C2:x2=2pyp>0 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为
A. x2=833yB. x2=1633yC. x2=8yD. x2=16y
8. 已知点 P2,3 在双曲线 x2a2-y2b2=1a>0,b>0 上，且双曲线的离心率为 2，左、右焦点分别为 F1，F2，三角形 PF1F2 的内切圆切 x 轴于点 M，则 MP⋅MF2 的值为
A. 2-1B. 2+1C. 3-1D. 3+1
9. 已知椭圆 ax2+by2=1a>0,b>0 与直线 x+y-1=0 相交于 M，N 两点，P 是线段 MN 的中点，若 ∣MN∣=22，直线 OP 的斜率为 22，则 a 的值为
A. 13B. 12C. 3D. 2
10. 已知斜率为 kk>0 的直线 l 与抛物线 C:y2=4x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，M 是线段 AB 的中点，F 为 C 的焦点，△OFM 的面积等于 2，则 k=
A. 14B. 13C. 12D. 23
11. 若点 P 为椭圆 C：x2+2y2=3 的左顶点，过原点 O 的动直线与椭圆 C 交于 A，B 两点．点 G 满足 PG=2GO，则 ∣GA∣2+∣GB∣2 的取值范围是
A. 4,203B. 3,173C. 113,203D. 4,173
12. 设直线 l：y=kx+3k>0 与椭圆 C：x24+y2=1 有且仅有一个公共点，且 l 与圆 x2+y2=5 相交于不在坐标轴上的两点 P1，P2，记直线 OP1，OP2（O 为坐标原点）的斜率分别为 k1，k2，则 k1⋅k2 的值为
A. -1B. -12C. -14D. -18
二、填空题（共4小题）
13. 若以双曲线 x22-y2b2=1b>0 的左、右焦点 F1，F2 和点 M1,2 为顶点的三角形为直角三角形，则抛物线 y2=4bx 的焦点坐标为．
14. 设 M，N 是抛物线 C:y2=2pxp>0 上任意两点，点 E 的坐标为 -λ,0λ>0，若 EM⋅EN 的最小值为 0，则 λ= ．
15. 如图，椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，过椭圆上的点 P 作 y 轴的垂线，垂足
为 Q，若四边形 F1F2PQ 为菱形，则该椭圆的离心率为．
16. 过双曲线 x2a2-y2b2=1b>a>0 的左焦点 F-c,0c>0 作圆 x2+y2=a2 的切线，切点为 E，延长 FE 交抛物线 y2=4cx 于点 P，O 为坐标原点，若 OE=12OF+OP，则双曲线的离心率为．
答案
1. A【解析】不妨取双曲线 x2-y24=1 的一条渐近线为 y=2x，联立 y=2x,y=ax2+1, 消去 y，得 ax2-2x+1=0 有唯一解，所以 Δ=-22-4a=0，解得 a=1．
2. A【解析】由 x210-m+y26-m=1m<6 知该方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，由 x25-n+y29-n=153. C【解析】因为椭圆 x2a2+y2b2=1 与双曲线 x2a2-y2b2=1 的离心率分别为 e1，e2，所以 e1=a2-b2a，e2=a2+b2a，因为 e1+e2=3，所以 e12+e22+2e1e2=a2-b2a2+a2+b2a2+2e1e2=2+2e1e2=3，所以 e1e2=12．
4. B【解析】过点 B 作 BM⊥l 于点 M，设 l:x=2 与 x 轴的交点为 N，易知 ∣FN∣=1．由题意 FA=3FB，得 d=∣BM∣=23．又由 BFd=22 得 BF=22×23=23，所以 AF=2．
5. B
【解析】依题意知 F21,0，设 Mx1,y1．由抛物线的定义得 ∣MF2∣=1+x1=53，即 x1=23．将 x1=23 代入抛物线方程得 y1=263，故 M23,263，又 M 在椭圆 C1 上，故 232a2+2632b2=1 结合 a2-b2=1，得 a2=4，则 a=2，故椭圆的长轴长为 4．
6. B【解析】由题意知，x=2 是圆的一条切线，不妨设切点为 A12,0，又 O0,0 为圆心，连接 MO，根据圆的切线性质知，MO⊥A1A2，
所以 kA1A2=-1kMO=-12，
所以直线 A1A2 的方程为 y=-12x-2，直线 A1A2 与 y 轴相交于点 0,1，故 a=2，b=1，c=22-1=3，
所以椭圆的离心率 e=ca=32．
7. D
8. A【解析】由于点 P2,3 在双曲线 x2a2-y2b2=1a>0,b>0 上，故 2a2-3b2=1，又离心率为 2，故 ca=2，得 c2a2=4，即 a2+b2a2=4，解得 b2=3a2，故 a=1，b=3．由于三角形 PF1F2 的内切圆切 x 轴于点 M，∣PF1∣-∣PF2∣=2，故 ∣F1M∣-∣F2M∣=2，又 ∣F1M∣+∣F2M∣=∣F1F2∣=4，解得 ∣F1M∣=3，∣F2M∣=1，故 ∣OM∣=1，即 M1,0，MP⋅MF2=2-1,3⋅1,0=2-1．
9. A【解析】设 Mx1,y1，Nx2,y2，分别将点的坐标代入椭圆方程并作差得 ax1+x2x1-x2+by1+y2⋅y1-y2=0，而 y1-y2x1-x2=-1，y1+y2x1+x2=kOP=22，代入上式可得 b=2a．又 ∣MN∣=2∣x2-x1∣=22，得 ∣x2-x1∣=2．由 ax2+by2=1,x+y=1, 得 a+bx2-2bx+b-1=0，故 x1+x2=2ba+b，x1x2=b-1a+b，所以 2ba+b2-4⋅b-1a+b=4，将 b=2a 代入得 a=13．
10. C
【解析】由抛物线方程 y2=4x 可知焦点 F1,0．设 Ax1,y1，Bx2,y2，Mx0,y0，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 2x0=x1+x2,2y0=y1+y2. 将 y12=4x1，y22=4x2，两式相减可得 y12-y22=4x1-x2⇒y1+y2y1-y2=4x1-x2⇒y1-y2x1-x2=2y0，即 k=2y0．因为 k>0，所以 y0>0．所以 S△OFM=12×1×y0=2，解得 y0=4，所以 k=2y0=12．
11. C【解析】由题意易知点 P-3,0，设点 Gx0,y0，
由 PG=2GO，得 x0+3,y0=2-x0,-y0，
即 x0+3=-2x0,y0=-2y0,
解得 x0=-33,y0=0.
故 G-33,0．
设 Ax1,y1，则 B-x1,-y1，
∣GA∣2+∣GB∣2=x1+332+y12+x1-332+y12=2x12+2y12+23=2x12+3-x12+23=x12+113,
又 x1∈-3,3，
故 x12∈0,3，113≤x12+113≤203，
所以 ∣GA∣2+∣GB∣2 的取值范围是 113,203．
12. C【解析】由方程组 y=kx+3,x24+y2=1 得 4k2+1x2+24kx+32=0，
因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，
所以
Δ=24k2-44k2+1×32=0，得 k2=2，又 k>0，故 k=2．
设 P1x1,y1，P2x2,y2，由方程组 y=2x+3,x2+y2=5, 得 3x2+62x+4=0，则 x1+x2=-22，x1⋅x2=43，
所以
k1⋅k2=y1y2x1x2=2x1+32x2+3x1x2=2x1x2+32x1+x2+9x1x2=83-12+943=-14.
13. 1,0
【解析】由题意分析可得，点 M1,2 为直角顶点，所以 ∣OM∣=3=12∣F1F2∣=c，故 b=1，抛物线 y2=4bx=4x 的焦点坐标为 1,0．
14. p2
【解析】因为 EM⋅EN 的最小值为 0，
所以当点 M，N 在不同的象限时，EM⋅EN 取得最小值 0，且此时 ∠MED=90∘，直线 EM，EN 均为抛物线的切线，
不妨取点 M 在第一象限内，则直线 EM 的方程为 y=x+λ，
联立 y=x+λ,y2=2px, 得 x2+2λ-2px+λ2=0，
由 Δ=2λ-2p2-4λ2=0，得 λ=p2．
15. 3-12
【解析】因为四边形 F1F2PQ 为菱形，所以 P2c,b1-4c2a2，Q0,b1-4c2a2，因为 ∣F1Q∣2=∣OF1∣2+∣OQ∣2，所以 4c2=c2+b21-4c2a2，整理得，3a2c2=a2-c2⋅a2-4c2，故 4e2-8e2+1=0，由 016. 1+52
【解析】由题意得，抛物线 y2=4cx 的准线为 l:x=-c，焦点为 Fʹc,0，它与双曲线的右焦点重合，不妨设点 P 在第一象限内，过点 P 作 PM⊥l 于点 M，连接 PFʹ，由 OE=12OF+OP 得点 E 为线段 FP 的中点，
所以 PFʹ∥OE，
且 ∣PFʹ∣=2∣OE∣=2a，
又 OE⊥FP，
所以 FʹP⊥FP．
由抛物线的定义可知 ∣PM∣=∣PFʹ∣=2a，
所以点 P 的横坐标为 2a-c，将其代入抛物线方程可得 P2a-c,4c2a-c，在 Rt△FFʹP 中，∣FFʹ∣=2c，∣PFʹ∣=2a，∠FPFʹ=90∘，所以 ∣PF∣=2b，又在 Rt△PFM 中，由勾股定理得 2a2+4c2a-c2=2b2，即 c2-ac-a2=0，所以 e2-e-1=0，解得 e=1+52 或 e=1-52（舍去）．