沪科版数学八年级下册 期中数学试卷 及答案解析2

这是一份沪科版数学八年级下册 期中数学试卷 及答案解析2，共21页。
八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．+x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣m＝3
3．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
5．（3分）用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝5
6．（3分）已知是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（3分）下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a：b：c＝5：12：13
B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
C．a＝9k，b＝40k，c＝41k（k＞0）
D．a＝32，b＝42，c＝52
8．（3分）新能源汽车越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2020年销量为136.7万辆，销量逐年增加，预计到2022年销量达到500万辆．若年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．136.7（1+x）2＝500 B．500（1﹣x）＝136.7
C．136.7（1+2x）＝500 D．136.7（1+x2）＝500
9．（3分）△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25．在△ABC内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）设三个方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，x2+（2m+1）x+m2＝0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0中，至少有一个方程有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．﹣＜m＜﹣ B．m≤﹣或m≥
C．m≤﹣或m≥﹣ D．﹣＜m≤
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）若式子﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为 　 　．
13．（3分）Rt△ABC三边分别为a、b、c，c为斜边，则代数式﹣的化简结果为 　 　．
14．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是 　 　尺．（1丈＝10尺）

15．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝，点P是射线AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△DCP，当直线CD与射线AB垂直时，AP的长为 　 　．

三．（本大题共2小题，每小题0分，满分0分）
17．计算：（+）2﹣（+）（﹣）﹣÷．
18．解方程：2x2﹣5x﹣3＝0．
四．（本大题共4小题，每小题8分，满分32分）
19．（8分）在所给的格点图中，每个小正方形的边长都是1．
（1）图1中有四条线段a，b，c，d，则能构成一个直角三角形三边长的三条线段是 　 　（只填序号）；
（2）在图2中画出一个△ABC，使其三边长分别为，，5，三个顶点都在格点上，并求出你画出的△ABC的面积．

20．（8分）关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，求m的值．
21．（8分）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．

22．（8分）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同．
（1）今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？
（2）今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家获利5160元，求m．
五．（本题满分10分）
23．（10分）我们规定，三角形任意两边的“致真值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“致真值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB∇AC＝OA2﹣BO2．
（1）在△ABC中，若∠ACB＝90°，AB∇AC＝81，求AC的值．
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，求AB∇AC，BA∇BC的值．
（3）如图3，在△ABC中，AO是BC边上的中线，S△ABC＝24，AC＝8，AB∇AC＝﹣64，求BC和AB的长．


八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含分母，故C不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；
故选：A．
2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．+x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣m＝3
【解答】解：A、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+a＝0得1﹣3+a＝0，
解得a＝2．
故选：B．
5．（3分）用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝5
【解答】解：把方程x2+4x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x＝1
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4＝1+4
配方得（x+2）2＝5．
故选：A．
6．（3分）已知是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵＝2，且是整数，
∴2是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故选：C．
7．（3分）下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a：b：c＝5：12：13
B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
C．a＝9k，b＝40k，c＝41k（k＞0）
D．a＝32，b＝42，c＝52
【解答】解：A、因为a：b：c＝5：12：13，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝2：3：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°×＝90°，故△ABC是直角三角形；
C、因为（9k）2＝（41k）2﹣（40k）2，故△ABC是直角三角形；
D、因为（32）2≠（52）2﹣（42）2，故△ABC不是直角三角形．
故选：D．
8．（3分）新能源汽车越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2020年销量为136.7万辆，销量逐年增加，预计到2022年销量达到500万辆．若年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．136.7（1+x）2＝500 B．500（1﹣x）＝136.7
C．136.7（1+2x）＝500 D．136.7（1+x2）＝500
【解答】解：设年平均增长率为x，可列方程为：
136.7（1+x）2＝500，
故选：A．
9．（3分）△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25．在△ABC内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25，
∴AB2+BC2＝72+242＝252＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
连接AP，BP，CP．
设PE＝PF＝PG＝x
S△ABC＝×AB×CB＝84，
S△ABC＝AB×x+AC×x+BC×x＝（AB+BC+AC）•x＝×56x＝28x，
则28x＝84，
x＝3．
故选：C．

10．（3分）设三个方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，x2+（2m+1）x+m2＝0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0中，至少有一个方程有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．﹣＜m＜﹣ B．m≤﹣或m≥
C．m≤﹣或m≥﹣ D．﹣＜m≤
【解答】解：设关于x的三个方程都没有实根．
对于方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，则有△1＜0，即△1＝16m2﹣4（4m2+2m+3）＜0，解得m＞﹣；
对于方程x2+（2m+1）x+m2＝0，则有△2＜0，即△2＝（2m+1）2﹣4m2＝4m+1＜0，解得m＜﹣；
对于方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0，当m＝1时，方程变为2x＝0，方程有解，
所以m≠1，则有△3＜0，
即△3＝4m2﹣4（m﹣1）2＝8m+4＜0，解得m＜．
综上所述：当﹣＜m＜﹣，且m≠1时，关于x的三个方程都没有实根．
所以若关于x的三个方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，x2+（2m+1）x+m2＝0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 m≤﹣或m≥﹣．
故选：C．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）若式子﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥0　．
【解答】解：若式子﹣2在实数范围内有意义，
则x的取值范围是：x≥0．
故答案为：x≥0．
12．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为 　﹣16　．
【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∵﹣6m2+9m﹣13＝﹣3（2m2﹣3m）﹣13＝﹣3﹣13＝﹣16，
故答案为：﹣16．
13．（3分）Rt△ABC三边分别为a、b、c，c为斜边，则代数式﹣的化简结果为 　b　．
【解答】解：∵Rt△ABC三边分别为a、b、c，c为斜边，
∴c2﹣b2＝a2，
∴﹣＝﹣＝a+b﹣a＝b．
故答案为：b．
14．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是 　4.55　尺．（1丈＝10尺）

【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．
解得：x＝4.55，
故答案为：4.55．
15．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 　k≤3且k≠1　．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+2＝0有实数根，
∴Δ＝42﹣8（k﹣1）≥0，k﹣1≠0，
解得：k≤3且k≠1．
故答案为：k≤3且k≠1．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝，点P是射线AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△DCP，当直线CD与射线AB垂直时，AP的长为 　1或5　．

【解答】解：①设直线CD与射线AB垂直于点E，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵BC＝2，AC＝，
∴AB＝＝3，
∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，
∴3CE＝2，
∴CE＝，
∴AE＝＝＝，
∴PE＝AE﹣AP＝﹣AP，
由折叠可知：CD＝AC＝，AP＝DP，
∴DE＝CD﹣CE＝﹣＝，
在Rt△PDE中，根据勾股定理得：
PD2＝DE2+PE2，
∴AP2＝（）2+（﹣AP）2，
解得AP＝1．
②直线CD与射线AB垂直于点E，

由①可知：CE＝，
∴AE＝，
∵PE＝AP﹣AE＝AP﹣，
由折叠可知：CD＝AC＝，AP＝DP，
∴DE＝CD+CE＝+＝，
在Rt△PDE中，根据勾股定理得：
PD2＝DE2+PE2，
∴AP2＝（）2+（AP﹣）2，
解得AP＝5．
综上所述：AP的长为1或5．
故答案为：1或5．
三．（本大题共2小题，每小题0分，满分0分）
17．计算：（+）2﹣（+）（﹣）﹣÷．
【解答】解：原式＝5+2+2﹣（5﹣3）﹣
＝7+2﹣2﹣2
＝5+2﹣2．
18．解方程：2x2﹣5x﹣3＝0．
【解答】解：方程2x2﹣5x﹣3＝0，
因式分解得：（2x+1）（x﹣3）＝0，
可得：2x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝3．
四．（本大题共4小题，每小题8分，满分32分）
19．（8分）在所给的格点图中，每个小正方形的边长都是1．
（1）图1中有四条线段a，b，c，d，则能构成一个直角三角形三边长的三条线段是 　a，b，d　（只填序号）；
（2）在图2中画出一个△ABC，使其三边长分别为，，5，三个顶点都在格点上，并求出你画出的△ABC的面积．

【解答】解：（1）∵a＝，b＝2，c＝，d＝，
∴a2+b2＝d2，
∴a，b，d三条线段能构成直角三角形．
故答案为：a，b，d；

（2）画图不唯一，如右图所示．

所画△ABC的面积＝．
20．（8分）关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，求m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意，得
12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，
解得，m＝2．
21．（8分）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．

【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝，
∴AC＝，
∵CD＝2，AD＝2，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）解：∵AB＝，BC＝1，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝．
22．（8分）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同．
（1）今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？
（2）今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家获利5160元，求m．
【解答】解：（1）设今年2月第一周每个冰墩墩的进价为x元，每个雪容融的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：今年2月第一周每个冰墩墩的进价为120元，每个雪容融的进价为80元．
（2）依题意得：（100﹣m﹣80）（140+m）+（150﹣120）（120+0.2m）＝5160，
整理得：m2+114m﹣1240＝0，
解得：m1＝10，m2＝﹣124（不合题意，舍去）．
答：m的值为10．
五．（本题满分10分）
23．（10分）我们规定，三角形任意两边的“致真值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“致真值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB∇AC＝OA2﹣BO2．
（1）在△ABC中，若∠ACB＝90°，AB∇AC＝81，求AC的值．
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，求AB∇AC，BA∇BC的值．
（3）如图3，在△ABC中，AO是BC边上的中线，S△ABC＝24，AC＝8，AB∇AC＝﹣64，求BC和AB的长．

【解答】解：（1）如图1，AO是BC边上的中线，

∵∠ACB＝90°，
∴AO2﹣OC2＝AC2，
∵AB∇AC＝81，
∴AO2﹣OC2＝81，
∴AC2＝81，
∴AC＝9；
（2）①如图2，取BC的中点O，连接AO，

∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝30°，
在Rt△AOB中，
∴OB＝＝＝6，
∴AB∇AC＝AO2﹣BO2＝36﹣108＝﹣72；
②如图3，取AC的中点D，连接BD，

∴AD＝CD＝AC＝6，
过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E，
∴∠BAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∵AB＝12，
∴AE＝6，
∴BE＝＝＝6．
∴DE＝AD+AE＝12，
∴BD＝＝＝6，
∴BA∇BC＝BD2﹣CD2＝＝216；
（3）作BD⊥CD，如图4，

∵S△ABC＝24，AC＝8，
∴BD＝＝6，
∵AB∇AC＝﹣64，AO是BC边上的中线，
∴AO2﹣OC2＝﹣64，
∴OC2﹣AO2＝64，
又∵AC2＝82＝64，
∴OC2﹣AO2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，
∴OA＝2×＝3，
∴OC＝＝＝．
∴BC＝2OC＝2，
在Rt△BCD中，CD＝＝＝16，
∴AD＝CD﹣AC＝16﹣8＝8，
∴AB＝＝＝10．