2023年高考数学题型猜想预测卷函数、不等式（拓展）含解析

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 猜题10 第18题 函数、不等式（拓展）
一、解答题
1．已知函数，且.
(1)求的值，并指出函数的奇偶性；
(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数.
【答案】(1)，为奇函数
(2)证明见解析
【分析】（1）求出的值，根据与的关系判断的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义，任取，判断的符号得到的单调性.
【解析】（1）因为，又，所以，
所以，，
此时，所以为奇函数；
（2）任取，则
，
因为,所以,所以,
所以即，
所以函数在上是增函数.
2．已知函数，．
(1)若，写出它的单调递增区间；
(2)若对于的任意实数，都有成立，试求实数的范围．
【答案】(1)与
(2)或

【分析】（1）先求函数的定义域，再根据复合函数单调区间的求法求解；
（2）先利用偶函数及条件判断区间上的单调性，结合二次函数的知识求解.
【解析】（1）当时，，此函数是一个复合函数，外层是增函数，
令可解得，或，或，
即函数的定义域是；
又，
所以内层函数在与上是增函数，
所以复合函数在与上是增函数，
所以函数的单调递增区间为与.
（2）因为对于的任意实数，都有成立，所以时为增函数；
易知，所以函数为偶函数，
所以当时为减函数．
对于时，，；
设，由题意得：，或；
则或.
3．已知函数为奇函数．
(1)求常数的值；
(2)当时，判断的单调性；
(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)单调递增
(3)

【分析】（1）根据奇函数及对数函数的性质求参数值；
（2）令，结合对数函数的性质判断的大小关系即可.
（3）将问题转化为在区间上无解，根据右侧函数的单调性求值域，即可确定m的范围.
【解析】（1）由，即，
所以，故，则，
当时，显然不成立，经验证：符合题意；
所以；
（2）单调递增
由（1）知：，若，
则，
而，即，
所以，故单调递增.
（3）由，令，
所以，由（2）知：在上递增，而在上递减，
所以在上递减，则.
又在区间上无解，故
4．已知函数的图象关于原点对称．
(1)求的值．
(2)若有零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据为奇函数，满足，代入表达式即可求解，
（2）根据题意将问题转化为在上有解，进而根据，即可求解的范围.
【解析】（1）由函数的解析式可得，求得，故函数的定义域为．
由题意可得，函数为奇函数，，
即，
即，故恒成立，．
（2），由题意可得：在上有解，
即：在上有解，即在上有解，
，即，解得，
．
5．已知函数是上的偶函数
(1)求实数的值，判断函数在,上的单调性；
(2)求函数在,上的最大值和最小值．
【答案】(1)，单调递增
(2)最小值，最大值

【分析】（1）根据偶函数的定义，对照等式可求得，再根据函数单调性的定义可判断函数在,上的单调性.
（2）根据函数的奇偶性和单调性，判断在,上的单调性，利用单调性可求得函数最值.
【解析】（1）若函数是上的偶函数，则，
即，解得，
所以，
函数在上单调递减．
（2）由（1）知函数在上单调递减，
又函数是上的偶函数，
所以函数在,上为增函数，
所以函数在,上为增函数，在,上为减函数．
又
所以
6．已知二次函数.
(1)若，且和都在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）结合二次函数、反比例函数的知识求得的取值范围.
（2）由分离常数，结合基本不等式求得的取值范围.
【解析】（1）在上递增，所以，
的定义域是，
在上递增，所以，
综上所述，的取值范围是.
（2）在上恒成立，在上恒成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，
即的取值范围是.
7．已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性，并用定义加以证明；
(3)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)1
(2)函数在定义域内单调递增，证明见解析
(3)

【分析】（1）由是奇函数可得，求出a的值，再验证此时是奇函数；
（2）先分离常数，再判断其单调性，利用定义证明函数在R上单调递增；
（3）利用的奇偶性和单调性将不等式变成，再利用二次函数恒成立求出实数m的取值范围.
【解析】（1）因为函数的定义域为R，所以，∴.
经检验当时，有，所以.
（2），
函数在定义域内单调递增，证明如下：
设，所以，
因为，所以，所以函数在R上单调递增.
（3）∵是奇函数，由已知可得
，则，
∴，故，.
∴实数m的取值范围为.
8．已知函数.
(1)若不等式恒成立，求实数m的最大值；
(2)若函数有零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)m最大值为1
(2)

【分析】（1）利用绝对值三角不等式将原不等式进行转化从而求解；
（2）通过分类讨论求解不等式.
（1）
∵，∴，
∴，则原不等式恒成立等价于：
恒成立，由绝对值不等式可得：
，
∴，∴，
∴实数m的最大值为1；
（2）
由题意可得，
当时，恒成立，故没有零点，不符合题意；
当时，，解得：，即原函数有零点，
综上所述，实数的取值范围为
9．已知幂函数是偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)函数，，若的最大值为15，求实数a的值．
【答案】(1)
(2)5

【分析】（1）根据幂函数的特征，得，解得或，检验是偶函数，得出答案；
（2）求出，利用的单调性，得，求解即可．
【解析】（1）由题知，即，解得或．
当时，，不是偶函数，舍去，
当时，，是偶函数，满足题意，
所以．
（2）由（1）知，且图象的对称轴为，
所以在上是增函数，
则，
解得或，
又，所以．
10．已知函数是定义域在R上的奇函数，当时，.
(1)求在上的解析式；
(2)若，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由函数为奇函数，得到，结合定义可得结果；
（2）利用单调性与奇偶性解不等式即可.
【解析】（1）因为函数是定义域在R上的奇函数，所以，则.
当时，，所以，
则，
所以在上的解析式为
（2）当时，，则在上单调递增，
又函数为奇函数，所以在R上单调递增，
因为，所以，所以，
解得，即a的取值范围是
11．已知定义在上的函数为偶函数.
(1)求的值，并判断在上单调性（只作判断，不用说明理由）；
(2)若，求的范围.
【答案】(1)，在上单调递减
(2)或.

【分析】（1）依题意可得，即可求出参数的值，即可得到的解析式，再根据偶函数的定义检验即可，最后根据复合函数的单调性判断函数的单调性；
（2）根据函数的奇偶性与单调性得到，将两边平方，解一元二次不等式，即可得解；
（1）
解：因为函数的定义域是为，且函数为偶函数，
则，即，所以.
所以，则，
经检验，时，为偶函数，符合题意.
因为，令、、，
因为在上单调递增，且，
又对勾函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
而在上单调递减，所以在上单调递减，
即在上单调递减；
（2）
解：因为，则
又因为在上单调递减，所以，即
解得或.
12．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若函数的最小值是，对任意的实数，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）零点分段法求解绝对值不等式；（2）先求出，利用基本不等式“1”的妙用求解最值.
(1)

不等式等价于或或
解得:，即不等式的解集是.
(2)
由（1）可知在单调递减，在上单调递增，
所以.
因为，所以.
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立.
13．已知函数（p，q为常数），且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据处函数值，代入解析式，即可得p，q的值，即可得答案.
（2）由（1）可得解析式，根据基本不等式，可得的最小值，分析即可得答案.
【解析】（1），，解得，
函数的解析式为.
（2），由基本不等式可得，
当且仅当，即时取等号，
当，函数的最小值是2，
要使，关于的不等式恒成立，只需，
所以，解得.
实数的取值范围是
14．已知且，，，.
(1)求的定义域；
(2)已知，请比较与的大小关系.
【答案】(1)；
(2)当时，；当时，.

【分析】(1)根据对数函数真数大于零，分母不为零，偶次开根根号下非负即可列出不等式组求D；
(2)根据a的范围，根据对数函数单调性即可判断．
(1)
依题意，应满足，解得，
∴函数的定义域D=；
(2)
当时，有，
①当时，函数单调递增，∴；
②当时，函数单调递减，∴．
15．已知二次函数满足且．
(1)求的解析式；
(2)若方程，时有唯一一个零点，且不是重根，求的取值范围；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的范围．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）设，，得到，代入函数计算得到，得到解析式.
（2）令，只需，解不等式并验证得到答案.
（3）设，确定函数的单调性，计算最值得到答案.
【解析】（1）设，则由，．
，即， ，即，
的解析式为．
（2）令，则，，
由在上有唯一零点且不是重根，
只需，，解得，
经检验时，方程在上有唯一解；
时，方程在上有唯一解，
故实数的取值范围为．
（3）在上恒成立，即在上恒成立．
设，其图象的对称轴为直线，
所以在上单调递减．
故只需，即，解得，
16．已知．
(1)当时，解不等式；
(2)若，不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)不等式的解集为；
(2)a的取值范围为．

【分析】（1）将代入，利用“零点分界法”去绝对值，解不等式即可.
（2）将不等式化为，去绝对值，分离参数可得，令函数()，利用函数的单调性以及基本不等式即可求解.
【解析】（1）当时，，
①当时，不等式可化为，解得，∴，
②当时，不等式可化为，解得，∴，
③当时，不等式可化为，解得，∴，
综上可知，原不等式的解集为；
（2）当时，不等式，即，
整理得，
则，即，
又，故分离参数可得，
令函数()，显然在上单调递减，∴，
当时，(当且仅当时等号成立)，
∴实数的取值范围为.
17．已知函数.
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)若关于的方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)为奇函数，理由见解析
(2)

【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解，
（2）将问题等价转化为在区间上有两个不同的实数根，构造函数，数形结合即可求解.
【解析】（1）为奇函数，理由如下：
由题意得解得，
即函数的定义域为，故定义域关于原点对称
又 ，
故为奇函数．
（2）由 ，
得 ，
所以，
所以，
故方程有两个不同的实数根可转化为方程
在区间上有两个不同的实数根，
即函数与在区间上的图象有两个交点．
设
则
作出函数的图象如图所示．

当时，函数与的图象有两个交点，
即关于的方程有两个不同的实数根，
故实数的取值范围是．
18．设函数，其中为实数．
(1)若的定义域为，求的取值范围；
(2)当的定义域为时，求的单调减区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）由已知，，，则，可解得实数的取值范围；
（2）求出，对实数的取值范围进行讨论，利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的单调递减区间.
【解析】（1）解：由题意可知，，，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
（2）解：由题意可知，，.
因为时，.
①当时，即当时，由可得，
此时函数的单调递减区间为；
②当时，即当时，对任意的，且不恒为零，
此时函数无单调递减区间；
③当时，即当时，由可得，
此时函数的单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为；
当时，函数无单调递减区间；
当时，函数的单调递减区间为.
19．已知函数的定义域为R，且．
(1)判断的奇偶性及在上的单调性，并分别用定义进行证明；
(2)若对，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)为偶函数，在上的单调递增，证明见解析.
(2).

【分析】（1）利用换元法，令，则，，即可求得函数解析式，根据函数奇偶性以及单调性的定义，判断函数的奇偶性和单调性，进而证明结论.
（2）将原不等式化为，进而得在恒成立，继而转化为求函数的最值问题，求得答案.
【解析】（1）令，则，，则，
为偶函数，下面证明：
的定义域为R，关于原点对称；
，则，，所以为偶函数；
在上的单调递增，下面利用定义法证明：
设，，，

，
因为，，所以，，
所以，，则，
即，所以在上的单调递增．
（2）由题意知，，恒成立，
因为，在上的单调递增，且为偶函数，
所以当时，，，
即在恒成立，所以a小于或等于的最小值．
令，与在上的奇偶性单调性相同，
所以，（），故的最小值为2，
所以．
20．已知定义在R上的函数满足．
(1)求、的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2).

【分析】（1）根据，可得，再由即可求解；
（2）判断在R上为减函数，结合函数为奇函数可得，然后根据二次不等式恒成立即得.
【解析】（1）因为定义在R上的函数满足，
所以，即，
解得，从而有，
又由，知，解得，
经检验，当时，，满足题意，
所以，；
（2）由（1）知，
所以在R上为减函数，
由题可知函数是奇函数，
从而不等式，
等价于.
因为是R上的减函数，
所以，
即对一切有，
从而，解得，
∴k的取值范围为.
21．已知函数.
(1)若函数的值域是，求实数的值；
(2)若，恒成立，求的值域．
【答案】(1)或
(2)

【分析】（1）将问题转化为方程只有一个实根，即可求解；
（2）对的正负进行分类讨论，结合二次函数在区间上的值域即可求得的值域.
【解析】（1）因为函数的值域为，即的图像在轴上方（含与轴的交点），
从而一元二次方程只有一个实根，
所以，解得或，
所以或.
（2）因为，恒成立，
所以，解得，则，
当，即时，，
则开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
又，故，所以；
当，即时，，
则开口向下，对称轴为，
所以在单调递减，又，故，
综上：，即的值域为．
22．已知函数．
(1)若，解关于x的方程；
(2)讨论的奇偶性，并说明理由；
(3)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)当时，为奇函数；当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数；
(3)

【分析】（1）由题意，代入即可求解；
（2）要判断函数的奇偶 性，只有检验与的关系即可；
（3）根据原不等式，分离参数，构造函数求最小值，即可得实数的取值范围.
【解析】（1）解：由题意，
，，
由可整理得：，则可得或，
或；
（2）解：函数定义域，
①当为奇函数时，，
，
，
；
②当为偶函数时，，
，
，
；
③当时，函数为非奇非偶函数；
综上，当时，为奇函数；当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数.
（3）解：若在上恒成立，则，整理得
令，由，则，
又令，，所以是上的减函数
所以
故实数的取值范围为.
23．若函数满足，其中，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)若，在时恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)见解析，
(3).

【分析】（1）利用换元法，令，则，代入化简可求出函数解析式，
（2）分和两种情况，利用单调性的定义判断即可，
（3）由（2）可知在上递减，所将问题转化为，即，从而可求出的取值范围．
【解析】（1）令，则，
所以，
所以，
（2）当时，在上递增，当时，在上递减，
理由如下：
当时，任取，且，则


，
因为，，所以，，
所以，
所以，
所以，即，
所以在上递增，
当时，任取，且，则


，
因为，，所以，，
所以，
所以，
所以，即，
所以在上递减，
（3）当时，由（2）可知在上递减，
因为在时恒成立，
所以，
所以，即，
所以，解得或，
因为，
所以，
即的取值范围.
24．若函数在区间上有最大值4和最小值1，设．
(1)求a、b的值；
(2)若不等式在上有解，求实数k的取值范围；
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由二次函数在上的单调性最大值和最小值，从而求得；
（2）用分离参数法化简不等式为，然后令换元，转化为求二次函数的最值，从而得参数范围．
【解析】（1），对称轴，
在上单调递增，
所以，解得；
（2）由（1）知化为，
即，
令，则，因为，所以，
问题化为，
记，对称轴是，因为，所以，
所以．
25．已知函数满足．
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程有3个不同的实数解，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）用代替，再消去即可得解；
（2）令，讨论方程的实数解的情况，即可得出的范围．
【解析】（1）由①，
可得②，
联立①②可得．
（2）由题可知，即，
令，则关于的方程有3个不同的实数解，
，即，解得或，
则只需有两个不同的非零实数解，则，
所以的取值范围为．
26．已知函数
(1)求的值；
(2)①求函数的定义域；
②若实数，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)①；②.

【分析】（1）利用函数解析式直接求解的值即可；
（2）①根据二次根式，分式，对数求解函数定义域即可；②根据元素与集合之间的关系，列不等式求解即可得的取值范围.
【解析】（1）解：∵，所以
（2）解：①的定义域满足：，解得：
所以的定义域；
②∵实数，且，又
∴
所以的取值范围：
27．已知函数（a>0且a≠1）是奇函数．
(1)求m的值；
(2)当a>1时，判断f（x）在区间（1，＋∞）上的单调性并加以证明；
(3)当a>1，时，f（x）的值域是（1，＋∞），求a的值.
【答案】(1)
(2)单调递减，证明见解析
(3)

【分析】（1）由已可得化为，求得，检验可得结果；
（2）任取，先证明，再讨论两种情况，即可得结果；
（3）由在上递减，可得， 解得.
【解析】（1）由已知 即，
∴，
∴
当时，舍去 ∴.经检验满足题意.
（2）由（1）得，任取

,
又
∴0＜＜1
当时，＞0，∴，此时为增函数
当时，＜0，∴，此时为减函数．
（3）由（2）知：当时，在为减函数
又
即在上递减，∴
.
28．已知函数，其中.
(1)若不等式的解集为，且，求实数a，b的值；
(2)若的图象关于点对称，且，求的最小值.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）根据不等式的解集为，画出函数的图象结合图象可得答案；
（2）根据的图象关于点对称得出，由利用基本不等式计算可得答案.
（1）
，即，
∵不等式的解集为，如图所示，直线与相交于点，∴，得.又∵，解得，；

（2）
若的图象关于点对称，则a与b关于2对称，∴，∴，
∴，当且仅当，
即，时等号成立，∴的最小值为.
29．已知集合，非空集合.
(1)求集合；
(2)记条件：，：，且是必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）直接解二次不等式即可.
（2）首先根据题意得到，再根据必要不充分条件求解即可.
【解析】（1）解方程，得两根为2和6，
所以不等式的解为.
故.
（2）化为
由解得，.
由于非空，故，故，.
因为p是q必要不充分条件，则B是A的真子集，此时，
所以，解得或.
所以实数的取值范围是.
30．已知全集为实数集，集合，，
(1)求A∩B;
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2).

【分析】（1）求出集合A、B，再求交集即可；
（2）求出集合C和，再利用集合间的包含关系列不等式求解.
【解析】（1），
或，

（2）或
，则
又或，
，解得
31．已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为.
(1)若，求的值；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）将分式不等式转化为二次不等式，根据不等式的解集，结合二次方程根与系数关系可得；
（2）分别确定集合与，根据命题的充分必要性可的Ü，进而可得的取值范围.
【解析】（1）由不等式得，即，
由于其解集是，
所以，是一元二次不等式的两个实数根，
所以，解得；
（2）由得，所以，
若“”是“”的充分不必要条件，则Ü，
当时，，满足题意；
当时，，所以，所以；
当时，，Ü成立；
当时，，Ü成立；
当时，，Ü成立；
综上所述，实数的取值范围是.
32．已知，非空集合．
(1)若“”是“”的必要条件，求的取值范围．
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）首先解一元二次不等式求出，依题意且，即可得到不等式组，解得即可；
（2）依题意可得是的充分不必要条件，即Ü，即可得到不等式组，解得即可.
【解析】（1）解：由，即，解得，
所以，又
因为是的必要条件，所以，
则，解得，即．
（2）解：因为“”是“”的必要不充分条件，
则是的充分不必要条件，即Ü，
即，且等号不同时成立，解得，
即的取值范围是．
33．已知．
(1)求不等式的解集；
(2)若a，，且对任意实数x，恒有，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）分类讨论去绝对值，解一元二次不等式即可；
（2）分类讨论求出最小值，结合均值不等式，原命题等价成，解不等式即可得出结论.
【解析】（1），
∴可化为①或②或③，
①解得；②解得；③解得.
综上，不等式的解集为；
（2）证明：，则当，；当时，.
则若a，，且对任意实数x，恒有等价于，
则，即，可解得或（舍去），当且仅当时等号成立.
34．已知函数.
(1)解不等式；
(2)已知，若恒成立，求函数的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用零点分段法分类讨论解绝对值不等式即可.
（2）利用基本不等式求出的最小值，令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|，只需g(x)max即可求解.
【解析】（1）不等式，即.
当时，即，得；
当时，即，得；
当时，即，得，无解.
综上，原不等式的解集为.
（2）已知， ，当时取等号，故的最小值为1.
令 ，又，
则函数在区间上单调递增，在区间单调递减，
所以当时，.
要使不等式恒成立，只需，即，
故所求实数的取值范围是.