2023年高考数学必刷压轴题专题08一元函数的导数及其应用（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）（全题型压轴题）含解析

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 专题08 一元函数的导数及其应用
（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）（全题型压轴题）
利用导数研究函数零点（方程的根）问题
①判断零点（根）的个数
②已知零点（根）的个数求参数
③已知零点（根）的个数求代数式的值


①判断零点（根）的个数
1．（2022·福建·厦门一中高二期中）已知函数，则函数的零点个数为（       ）
A．1 B．0 C．3 D．2
【答案】D
当时，，得，即，成立，
当时，，得，
设，，
，得或（舍），
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以时，函数取得最大值，，，，
根据零点存在性定理可知，，存在1个零点，
综上可知，函数有2个零点.
故选：D
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模（理））函数在定义域内的零点个数不可能是（       ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
，
若，则，有两个零点，
若，由得或，
若，在或时，，时，，
所以在和上递增，在上递减，
极小值，极大值，，在上有一个零点，
时，，在上只有一个零点，这样共有2个零点；
时，，在上无零点，这样共有1个零点；
时，，时，，因此，
所以在和上各有一个零点，共有3个零点．
由此不需要再研究的情形即可知只有D不可能出现，
故选：D．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
因为，
所以，
则，
所以，即，
因为，
所以，解得，
所以，
则，
所以，
当或时，，当时，，
所以当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，
又当时，，
所以函数的零点个数为1，
故选：B
4．（2022·广西·钦州一中高二期中（理））函数的零点个数为（       ）
A． B．或 C．或 D．或或
【答案】A
因为函数，
所以，因为，
所以，
从而在R上单调递增，
又当时，，当时，，
由零点存在定理得：函数有且只有一个零点.
故选:A.
5．（2022·全国·高二课时练习）方程解的个数为（       ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
设，所以，
当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减.
所以，
当时，，当时，.
因为，
所以方程解的个数为1.
故选：C

6．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数有极值点，且，则关于x的方程的不同实根个数是（       ）
A．2 B．3 C．3或4 D．3或4或5
【答案】B
函数有极值点，
则，且是方程的两个根，
不妨设，由可得或，
易得当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，则可画出的大致图象如下：

如图所示，满足或有3个交点，
即关于x的方程的不同实根有3个.
故选：B.
7．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数.
(1)当时，证明：函数的图象恒在函数的图象的下方；
(2)讨论方程的根的个数.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【解析】
(1)设，其中，
则，
在区间上，单调递减，
又∵，即时，，∴，
∴在区间上函数的图象恒在函数的图象的下方.
(2)由得，即，
令，则，令，得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
∴在处取得最小值，∴，
又∵当时，，当时，，有零点存在性定理可知函数有唯一的零点，
∴的大致图象如图所示，

∴当时，方程的根的个数为0；
当或时，方程的根的个数为1；
当时，方程的根的个数为2.
8．（2022·云南·曲靖一中高二期中）已知函数．
(1)当时，求函数的图象在点处的切线的方程．
(2)已知，讨论函数的图象与直线的公共点的个数．
【答案】(1)；(2)答案不唯一，具体见解析.
(1)当时，，，．
，切点为．
所以，所求的切线的方程为，即．
(2)时，函数的图象就是轴正半轴，与直线有且只有一个公共点．
时，联立与消去得．
设，则．
当时，，在上递增，，，因此有一个零点．
当时，令得，当时，时，则在上递减，在上递增， ．当时，时．
设，则，，，时，时，在上递增、在上递减，
．
所以，时；时，；时，．
综上可知，
或时，公共点的个数1；
时，公共点的个数2；
时，公共点的个数0．
②已知零点（根）的个数求参数
1．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（       ）
A．3 B．4 C．2或3或4或5 D．2或3或4或5或6
【答案】A
根据题意作出函数的图象：，当，函数单调递增，
当时，函数单调递减，所以；
函数，时单调递减，所以，
对于方程，令，则，所以，
即方程必有两个不同的实数根，且，
当时，，3个交点；
当时，，也是3个交点；
故选：A．

2．（2022·河南·高二阶段练习（文））若函数有三个零点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为函数有三个零点，所以关于x的方程有三个根.
令，则.
所以当时，有，单调递增；当时，有，单调递减；当时，有，单调递增.
因为，，
所以要使方程有三个根，只需.
即实数的取值范围是.
故选：C
3．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知，函，若函数有三个不同的零点，为自然对数的底数，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
当时，，即，故，
令，则，令，得，
当时，，当时，，
作出函数的图象如图所示：

由图象知：当时，方程有两不等实根，
当时，方程有一个实根；
令，显然,所以，
令，则在上恒成立，
则在上递增，且，
作出函数的图象如图所示：

由图象知：当时，方程在恰有一个实根，
即此时有三个不同的零点，
综上，的取值范围是.
故选：B
4．（2022·江西·模拟预测（理））已知函数）有三个零点，则实数a的取值范围是（       ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，1） D．（0，e）
【答案】A
令，
所以或，
令，则，
令，则，
当时，，h(x)在（－∞，0）上单调递增；
当时，，h(x)在（0，＋∞）上单调递减，
所以，即，
所以g(x)在R上单调递减，又，g（0）＝，
所以存在使得，
所以方程有两个异于的实数根，则，
令，则，
当时，，k(x)在（－∞，1）上单调递增；
当时，，k(x)在（1，＋∞）上单调递减，且．
所以，
所以与的部分图象大致如图所示，

由图知，
故选：A．
5．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））方程有两个不相等实根，则a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
方程有两个不相等实根有两个不同的交点，令，所以，则，所以，所以与的图象有两个交点.
①当时，如下图可知与的图象有一个交点，不满足.

②当时，如下图，当与相切于点，所以，
则，解得：，所以要使与的图象有两个交点，所以a的取值范围是：.
故选：C.

6．（2022·河南南阳·高二期中（理））若关于x的方程在区间内恰有两个相异的实根，则实数m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
依题意关于x的方程在区间内恰有两个相异的实根，
，构造函数，
，
所以在区间递减；在区间递增.
，
，，
所以.
故选：D
7．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）方程有三个相异实根，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
记，则.
令，解得：或.列表得：
x

-3

1


+
0
-
0
+

单增

单减

单增
要使方程有三个相异实根，只需：
，解得：.
故选：B
8．（2022·福建·清流县第一中学高二阶段练习）若函数，当方程有2个解时，则的取值范围（       ）
A． B．或
C． D．且
【答案】C
由函数，得，
当 时，，递减，
当 时，，递增，
故 ，且当 时，，
故大致图象如图示：

故当方程有2个解时，则的取值范围为，
故选：C
9．（2022·北京八十中高二期中）已知方程有三个实数解，则实数的取值范围是_______.
【答案】
解：因为方程有三个实数解，所以，方程有三个实数解，
故令，则，
所以，当时，，单调递增；
当或时，，单调递减；
所以，当时，取得极小值，当时，取得极大值，
当趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于，
所以，的大致图象如图，

所以，实数的取值范围是.
故答案为：
10．（2022·全国·高二）设函数，若关于的方程在上恰好有两个相异的实数根，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
由题意，方程在上恰好有两个相异的实数根，
设，则的图象与在上恰好有两个不同的交点.
∵，
∴函数在上单调递减，在上单调递增.
又，得.
∴需使，即.
故所求实数的取值范围是.
故答案为：
11．（2022·河南·高二期中（理））若函数不存在零点，则实数a的取值范围是______.
【答案】
解：因为函数不存在零点，
所以方程无实数根，
所以方程无实数根，即方程无实数根，
故令，
令，故恒成立，
所以，在上单调递减，
由于，
所以，当时，，即，当时，，即，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，当方程无实数根时，即可.
所以，实数a的取值范围是
故答案为：
12．（2022·全国·高三专题练习）若函数没有零点，则整数a的最大值为：_________．
【答案】1
解：由题意，当时，，
所以要使函数没有零点，只需在上恒成立，
令，则，
令，得，
当时，，当时，，
所以当时，取得极小值，
所以，
所以
，
令，且上面不等式取等时，记其零点为，
当时，
，显然不合题意，
综上：，故整数a的最大值为1．
故答案为：1
13．（2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习（理））已知函数在处的切线与轴平行.
(1)求的值；
(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，所以，
在处的切线与轴平行，
，解得．
(2)解：令，
则原题意等价于图象与轴有三个交点，

由，解得或；
由，解得．
在时取得极大值；在时取得极小值．
故，
．
14．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中）已知函数.
(1)若在处取得极值，求在区间上的值域；
(2)若函数有1个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)
因为在处取得极值
所以，得
则时，，在区间上单调递增，
所以
所以在区间上的值域为
(2)的定义域为
函数有一个零点有一个实数根与有一个交点.
当时，由图可知满足题意；

当时，在上无零点；
当时，令，得
令，得
所以，当时，有最大值
因为函数有一个零点，
所以，解得
综上，a的取值范围为.
15．（2022·北京·人大附中高二期中）已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若方程有三个不同的实数根，求实数a的取值范围．
【答案】(1)函数的增区间是和，减区间是，极大值为，极小值为；(2)
(1)由题意，得或，
列表如下：




3


+
0

0
+

递增
极大值
递减
极小值
递增

所以函数的增区间是和，减区间是，
极大值为，极小值为；
(2)作出函数图象，如图，直线与函数的图象有三个交点时，.

16．（2022·安徽·合肥市第九中学高二期中）当时，函数（）有极值，
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程有3个解，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)，
由题意得：，解得：，

经验证，函数在处有极值，故解析式为：．
(2)令，由得：

令得，，
∴当时，，当时，，当时，，
因此，当时， 有极大值，
当时，有极小值，
关于的方程有3个解，等价于函数有三个零点，
所以
．
故实数的取值范围是
③已知零点（根）的个数求代数式的值
1．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数 ，若函数有三个不同的零点，，且，则 的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
函数的图象如下图所示：

令，因为函数有三个不同的零点，
所以，
因为二次函数的对称轴为，所以有，
显然是方程的两个不相等的实数根，因此有，
是方程的根，即，所以，
于是有，设，
设，
当时，单调递增，所以有，
即单调递减，
所以当时，，
故选：C
2．（2022·陕西·西安中学二模（理））已知函数，若方程有三个不等根，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
当时，，，所以是减函数，
作出函数的图象，如图所示：

因为方程有三个不等根，
所以，
设，
则，
所以，即，
即，
所以，
又因为，
所以的取值范围是，
故选：C
3．（2022·河北·模拟预测）已知实数，满足，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由条件得，，令，，则，由条件，则，
令，，则，显然当时，，在上单调递增．
故由，可得，
．
故选：C．
4．（2022·浙江·镇海中学高三期末）已知函数 若存在互不相等的实数， 使得， 则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
当时，，或，或舍去，

当时，单调递减，
当时，单调递增，此时函数有最大值，最大值为，
当时，，
函数的图象如下图所示：

因为存在互不相等的实数， 使得，
说明函数与函数的图象有四个不同的交点，
所以由数形结合思想可知：
不妨设，
即，
，
因为，
所以，
由，
因为，所以，
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
方程，显然不为该方程的实数根.
设
所以方程有三个不同的实数根，，，即有三个不同的实数根，，
当时，，则
由，可得，，可得，
所以在 上单调递增，在上单调递减，且当时，
当时，
从而作出的大致图像.

由图可知当时，直线与函数的图像有3个交点，
即方程有三个不同的实数根.
由，得，由，得
所以
所以．
故选：．
6．（2022·湖南·高三阶段练习）已知函数，，，且当时，与的图象有且只有一个交点，则的取值范围为______.
【答案】
因为当时，与的图象有且只有一个交点，所以关于x的方程在区间上有且只有一个解，分离参数得，令，，则，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，故.当，时，，当且仅当，即，时，等号成立；当，时，，当且仅当，即，时，等号成立.所以的取值范围为.
故答案为：
7．（2022·江苏南通·高三期末）函数有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1x2x3的取值范围是__________.
【答案】
设
函数有三个零点x1，x2，x3，
即的图像与直线有三个交点.作出函数的图像，如图.
根据图像可得
则是的两个实数根，则
满足，即
所以
设，则
由，则
所以在上单调递增，
所以
故答案为：

8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的最小值为，函数的零点与极小值点相同，则___________.
【答案】
由可得，
因为的最小值为，
所以是的极值点，所以，所以；
当时，，由二次函数的性质可知该函数无极小值点，不符合题意；
由可得，
令，可得或，
当时，，由可得或；由可得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以的极小值点为，
由题意可得，解得，此时；
当时，当时，，不合题意；
所以.
故答案为：.
9．（2022·广东·顺德一中高二期中）已知函数，若且，则的最大值是___________.
【答案】
因为，作出函数的图象如下图所示：

设，则，
由，可得，由，可得.
令，其中，，可得.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减.
所以，.
因此，的最大值为.
故答案为：.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知实数，满足，，则______.
【答案】
实数，满足，，
，，则，
，
所以在单调递增，而，
.
故答案为:.