高考数学考前提分复习专题1-5平面向量三大考点与真题模拟题训练含解析

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  2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用） 专题1.5平面向量三大考点与真题模拟题训练 考点一：平面向量的概念及线性运算1．（2020·上海高三其他模拟）对于平面向量和给定的向量，记，若对任意向量恒成立，则的坐标可能是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】．因为，所以．只有选项D的向量的模等于1．所以选D．【点睛】根据写出，因为对任意向量恒成立，所以两式右边相等，可得，验证四个选项即可．2．（2019·上海青浦区·高三一模）已知平面向量、、满足，，且，则当时，的取值范围是_______【答案】【分析】设,,,,,根据向量减法的几何意义,转化为求线段上的动点与单位圆上的动点之间的距离的取值范围.结合图象观察可得.【详解】因为，且,所以可设,,,设,因为,所以点在线段上,因为,所以点在单位圆上,如图”所以,则问题转化为求线段上的动点与单位圆上的动点之间的距离的取值范围.由图可知:当,且为线段与单位圆的交点时, 取得最小值,当与或重合,为单位圆与或轴的负半轴的交点时, 取得最大值2+1=3.所以的取值范围是.故答案为: .【点睛】本题考查了平面向量减法的几何意义,解题关键是将转化为两个动点之间的距离.属于难题.3．（2020·上海徐汇区·位育中学高三期中）已知点在以为直径的圆上，若，，，则______.【答案】12【分析】连接、、，根据圆的圆周角性质，可得，从而得出，利用平面向量的线性运算求得，最后结合平面向量的数量积公式，即可求出结果.【详解】解：连接、、，如图所示，由于为圆的直径，，，，则，，由于，即：.故答案为：12.【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量数量积公式，考查转化思想和计算能力.4．（2017·上海闵行区·高三一模）已知，，是的内角．（1）当时，求的值；（2）若，，当取最大值时，求的大小及边的长.【答案】(1) (2) ，【分析】(1) 将代入计算即可.(2)先求出的解析式，由其取最大值得到，再根据正弦定理求得.【详解】解:（1）当时，;（2） . 取到最大值时 , ,由正弦定理，解得.【点睛】本题主要考查倍角公式与半角公式、正余弦定理的应用、平面向量的线性运算.是中档题.考点二：向量的分解与向量的坐标运算1．（2020·上海高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，，点Q满足，曲线，区域．若为两段分离的曲线，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知设，，则，所以，由此得点轨迹为一个以为圆心，1为半径的单位圆，从而得，，得解.【详解】解：设，，则，所以；，则点轨迹为一个以为圆心，1为半径的单位圆，表示区域为：以为圆心，内径为,外径为的圆环，且 为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内，外两圆均相交.又因为，所以所以.故选：A.【点睛】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知条件利用向量的几何特征建立适当的坐标系,分析出点的轨迹及表示的区域是解决本题的关键，属于中档题.2．（2020·上海高三专题练习）把点按向量平移到点，则函数的图像按向量平移后的图象的函数表达式为（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根据坐标平移的性质和平面向量坐标加减法运算，解得的坐标，再根据函数图象平移的方法，可得的图像按向量平移后的图象的函数表达式．【详解】解：由题可知，把点按向量平移到点，则，，则的图象按向量平移后的图象的函数表达式为.故选：D.【点睛】本题考查平面向量坐标的加减法运算，以及函数图象的平移方法，属于基础题．3．（2020·上海高三专题练习）已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别为和，则，其中________.【答案】【分析】由题意结合平面向量的坐标运算、模的坐标运算可得、，进而可得即为在方向上的投影，再由即可得解.【详解】，，；，，即为在方向上的投影，.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示、模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.4．（2020·上海高三专题练习）如图所示，梯形中，∥，且，，分别是和的中点，已知，，用，表示，和．【答案】；；【分析】利用向量的加减运算、数乘运算化简、转化即可求解．【详解】解：由∥，且，∴．．．【点睛】本题主要考查了平面向量的加减法、数乘运算，属于容易题．考点三：  平面向量的数量积及其应用1．（2020·上海高三专题练习）已知，，则△的面积为（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】设的夹角为，先求出，，又，即得解.【详解】设的夹角为，所以，所以，所以.又.所以△的面积为.故选：C.【点睛】本题主要考查向量的夹角的计算，考查三角形的面积的计算和行列式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．（2020·上海高三专题练习）已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（   ）.A． B． C． D．【答案】A【详解】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．【解析】1、平面向量数量积；2、基本不等式．3．（2020·上海高三专题练习）在直角三角形中，，，则________．【答案】【分析】由直角三角形得到，变形计算可得答案.【详解】解：因为，则，.故答案为：.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，关键是要将向量进行转化，是基础题.4．（2020·上海高三专题练习）在平面直角坐标系xoy中，点．（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足，求t的值．【答案】（1）、；（2）【详解】解:(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.故所求的两条对角线长分别为4,2.(2)由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-.14．（2020·上海高三专题练习）（1）已知，，求证：；（2），，若，求的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）28【分析】(1)根据数量积的定义可知，及坐标表示即可证得结论；(2)由，可知，由已知可得，即可求得结果.【详解】（1），，，原不等式成立；（2），，又，.，当且仅当时，等号成立∴,的最大值28.【点睛】本题考查向量的数量积定义及坐标表示，考查计算能力，属于基础题.【真题模拟题训练】一、单选题1．（2021·上海金山·一模）已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（       ）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】C【分析】①根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为1，进而求出的最大值.【详解】由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误；设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以 ，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确.故选：C【点睛】向量投影的理解是很重要的，在出题中往往会画出图形来进行思考问题，利用几何法来解决问题，这道题目的突破口就是结合与，可得：点C在线段AB上且，进而得到最小值.2．（2021·上海奉贤·二模）设点的坐标为，是坐标原点，向量绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，求得的坐标．【详解】根据题意，设，向量与轴正方向的夹角为，又由点的坐标为，则，，向量绕着点顺时针旋转后得到，则，．而，，故的坐标为，故选：B【点睛】关键点点点睛：注意旋转前与旋转后角的变化，利用模不变，两角差的正余弦公式求解即可，属于中档题.3．（2022·上海·二模）在中，，，设，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，化简得到,结合题设条件，得到，即可求解.【详解】在三角形中，，，可得,因为，所以，所以.故选：C.二、填空题4．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________【答案】【分析】以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可.【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，设，，则，当时，故答案为：.5．（2017·上海·高考真题）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“”的点分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“”的点到的距离之和. 若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为________【答案】、、【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示；则记为“▲”的四个点是A（0，3），B（1，0），C（7，1），D（4，4），线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；设四边形重心为M（x，y），则，由此求得M（3，2），即为平行四边形EFGH的对角线交于点，则符合条件的直线一定经过点，且过点的直线有无数条；由过点和的直线有且仅有1条，过点和的直线有且仅有1条，过点和的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是、、．故答案为：、、．6．（2021·上海长宁·一模）在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）【答案】（2）（3）【分析】结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案.【详解】，所以（1）错误.，，所以（4）错误.设，.，所以（2）正确.，所以（3）正确.故答案为：（2）（3）7．（2021·上海·模拟预测）若平面区域的点满足不等式（且），已知，，若，则___________.【答案】【分析】作出不等式表示的可行域，根据，设，利用线性规划得出在点 取得最大值，在取得最小值，代入即可求解.【详解】作出不等式（且）表示的平面区域，如图，由，即，设，所以，作出，平移直线可知，在点 取得最大值，在取得最小值，所以，解得，，所以，故答案为：8．（2021·上海·格致中学三模）A、B是直线上的两个动点，且，点（其中），则的最小值等于___________.【答案】0【分析】根据C点的坐标确定C点的轨迹方程，利用数形结合可得向量夹角的最大值，由数量积公式可知其最小值.【详解】设，直线则，消参可得C的轨迹方程为，即C点在圆心为,半径为的圆上，过圆心做交于, 如图，由点到直线距离公式可得，（其中T为线段AB的中点）由图可知，C运动到点，且Q与T重合时，，所以的最小值为，故答案为：【点睛】关键点点睛：作出C点所在轨迹的圆，直线，借助图象明显可知一般情况下向量的夹角为锐角，只有当C点在处，同时在图中位置时，向量的夹角最大且为直角，属于中档题.9．（2021·上海宝山·二模）如图，若同一平面上的四边形满足：（，），则当△的面积是△的面积的倍时，的最大值为________【答案】【分析】先利用数量积及面积关系求出，在对用基本不等式求最大值.【详解】因为，所以，过点S作于A，过点作于，因为的面积是面积的，所以，从而，在的两边同时点乘，得，由向量数量积的几何意义（投影）得，从而，即，整理得，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.【点睛】（1）在几何图形中进行向量运算:①构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；②树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：①“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．10．（2022·上海宝山·一模）在三角形中，是中点，，，则___________.【答案】【分析】根据向量的加法减法运算及数量积的运算性质求解即可.【详解】由三角形中，,,可得： ,故答案为： 11．（2022·上海·二模）已知平面向量，，满足，，则对任意的，的最小值记为M，则M的最大值为________.【答案】【分析】由题意设，，，，化为，它表示圆；由表示该圆上的点到点的距离，即到直线的距离，求得的最大值为．【详解】由平面向量，，满足，则与的夹角为，设，，，，由，得，化简得，它表示以点，为圆心，以为半径的圆；又表示圆上的点到点的距离，即到直线的距离；由题得距离的最小值为，由圆心，到直线的距离为，得的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了转化思想与数形结合应用问题，是难题．