高考数学考前提分复习专题1-6数列四大考点与真题模拟题训练含解析

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  2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用） 专题1.6数列四大考点与真题模拟题训练 考点一：数列的概念及简单表示方法1．（2020·上海虹口区·高三一模）已知数列满足，且(其中为数列前项和)，是定义在上的奇函数，且满足，则___________.【答案】【分析】首先求出函数的周期性，再利用构造法求出数列的通项公式，即可得到，再根据二项式定理判断被除的余数，即可计算可得；【详解】解：因为是定义在上的奇函数，且满足所以，所以的最小正周期为又因为数列满足，且①；当时，②；①减②得，所以，所以以为首项，为公比的等比数列，所以，即，所以又，所以被除余所以，故答案为：0【点睛】本题考查函数的周期性的应用，若存在非零常数，若对定义域内任意的都有，则为函数的周期； 考点二：等差数列及其前n项和1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知数列，与函数，是首项、公差的等差数列，数列满足：.（1）若，，求的前n项和；（2）若，，，问n取何值时，的值最大？【答案】（1），；（2）或，的值最大.【分析】(1)依题意,,,对分类讨论,利用等差数列的求和公式即可得出;(2)依题意,,,利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．【详解】(1)依题意,,, , ．(2) 依题意,,,, 当或时,最大．【点睛】本题考查了求等差数列的公差和等差数列前项和公式.掌握指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.考点三：  等比数列及其前n项和1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三期中）已知无穷等比数列的各项的和为3，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设等比数列的公比为，进而根据题意得，且，从而解得，故【详解】解：设等比数列的公比为，显然，由于等比数列中，所以等比数列的前项和为：，因为无穷等比数列的各项的和为，所以，且，所以，解得，所以.故选：C.【点睛】本题解题的关键在于根据题意将问题转化为，且，进而根据极限得，考查运算求解能力，是中档题.2．（2020·上海市三林中学高三期中）数列中，数列前项和为，若，，则________.【答案】1023【分析】由等比数列的定义可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，再由等比数列的前n项和公式即可得解.【详解】因为，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.故答案为：. 3．（2020·上海崇明区·高三一模）对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.（1）若数列1，2，，8是数列，求实数的取值范围；（2）设数列，，，，是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列、是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为、，求证：当且时，数列不是数列.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）由数列的性质建立不等式组即可求解.（2）先求数列的前项和，再由对成立，整理为的二次不等式，关于的二次函数的最大值小于0即可求解.（3）反证法，分情况讨论即可得出结论.【详解】解：（1）由题意得，所以；实数的取值范围是.（2）由题意得，该数列的前项和为，由数列是数列，得，故公差，对满足的所有都成立，则，解得，所以的取值范围是；（3）若是数列，则，因为，所以，又由对所有都成立，得恒成立，即恒成立，因为，故，所以，若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列可知，若中的每一项都在中，同理可得，若中至少有一项不在中，且中至少有一项不在中，设是将中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项之和分别为，不妨设中的最大项在中，设为，则，故总有与矛盾，故假设错误，原命题正确.【点睛】关键点点睛：（1）（2）小题都由数列的性质建立不等式组确定待求实数的取值范围，只是（2）题中需转化为关于的二次不等式恒成立，进一步需转化为关于的二次函数的最大值小于0求解；（3）题根据“正难则反”的原则，考虑使用反证法，分情况讨论即可得出结论.考点四：数列求和及数列的综合应用1．（2019·上海市建平中学高三月考）已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由单调递增，可得恒成立，则，分析和可排除错误选项.【详解】由单调递增，可得，由，可得，所以.时，可得.①时，可得，即.②若，②式不成立，不合题意；若，②式等价为，与①式矛盾，不合题意.排除B,C,D,故选A.【点睛】本题考查数列的性质，结合不等式的性质求解.2．（2020·上海高三专题练习）已知等差数列中，则数列的前n项和=___.【答案】【分析】利用两角差的正切公式可得到，从而可得到数列的通项公式，再代入求和化简即可得到结果。【详解】，又等差数列中，，故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查数列求和，解题的关键是会逆利用两角差的正切公式，得到数列的通项公式，在求和的过程中巧用相消法得到数列的和，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题.3．（2020·上海高三专题练习）设为数列的前项和，其中是常数．（1）求证：数列为等差数列；（2）若且对于任意的成等比数列，求的值；（3）设，若对一切正数，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）由，，求得，计算为常数即证．（2）利用特殊值成等比数列可求得值；（3）分类讨论，为偶数时，分组（并项）求和求得， 不等式可化为，令，用作差法求得的最小值（注意）．得，同样为奇数时，不等式化为，得，由此可得结论．【详解】（1）当时，，当时，，又，适合，所以，所以为定值，所以数列为等差数列；（2）因为，所以，且对于任意的成等比数列，所以成等比数列，即成等比数列，所以，解得；（3）因为，所以，①当为偶数时，，，因为不等式恒成立，所以恒成立，所以，令，则，所以，所以②当为奇数时，，，因为不等式恒成立，所以，所以，所以，所以实数的取值范围是．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的证明，数列不等式恒成立问题，考查分组（并项）求和法．在通项公式中出现时，可按的奇偶分类讨论，求得和把不等式进行转化，转化为求新数列的最值，求数列的最值可利用函数的单调性，可利用作差法（或作商法）求解．【真题模拟题训练】一、单选题1．（2022·上海·高考真题）已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（       ）A．若，则数列单调递增B．若，则数列单调递增C．若数列单调递增，则D．若数列单调递增，则【答案】D【分析】根据等比数列的前n项和公式与通项公式可得与，进而可得、取值同号，即可判断A、B；举例首项和公比的值即可判断C；根据数列的单调性可得，进而得到，求出，即可判断D.【详解】A：由，得，即，则、取值同号，若，则不是递增数列，故A错误；B：由，得，即，则、取值同号， 若，则数列不是递增数列，故B错误；C：若等比数列，公比，则，所以数列为递增数列，但，故C错误；D：由数列为递增数列，得，所以，即，所以，故D正确.故选：D2．（2017·上海·高考真题）已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】 存在，使得成等差数列，可得，化简可得，所以使得成等差数列的必要条件是.3．（2022·上海·二模）已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（       ）A．为递增数列B．当且仅当时，有最大值C．不等式的解集为D．不等式的解集为【答案】C【分析】根据已知求出首项和公差即可依次判断.【详解】由，知，即，设等差数列的首项，公差，，解得，对于A，由，知为递减数列，故错误；对于B，由，知当或时，有最大值，故B错误；对于C，由等差数列求和公式知，即，解得，即，故C正确；对于D，由等差数列求通项公式知，解得，故D错误；故选：C.二、填空题4．（2021·上海静安·一模）设函数，数列中，，一般地，，（其中）．则数列的前n项和_________．【答案】【分析】先证明，从而可求数列的通项公式，最后求和即可.【详解】因为，所以，所以当为偶数时，；当为奇数时，.所以，数列的前n项和.故答案为：5．（2021·上海杨浦·一模）等差数列满足：①，；②在区间中的项恰好比区间中的项少2项，则数列的通项公式为___________.【答案】 【分析】由已知得出，根据区间的长度确定在区间上可能含有的数列中的项数，结合区间，然后根据项数的可能值分类讨论，确定数列．【详解】由，得，，因此在区间上最多有5项，又在区间中的项恰好比区间中的项少2项，因此数列在上的项数可能为，相应地在上项数分别为．（1）若在上的项数可能为1，设是数列在区间的项，在上项数为3，由得，由得，所以，这样是数列中的连续三项，是等差数列，因此也是中连续三项（否则数列中有两项在上），但，矛盾；（2）若在上的项数可能为2，设是数列在区间的最小项，在上项数为4，由得，由得，所以，这样是数列中的连续四项，是等差数列，因此也是中连续四项，（否则数列中有三项在上），又，所以，，满足题意，；（3）若在上的项数可能为3，设是数列在区间的最小项，在上项数为5，由得，由得，所以，这样是数列中的连续五项，是等差数列，因此也是中连续五项（否则数列中有四项在上），但，矛盾；综上所述，．故答案为：．6．（2022·上海·二模）已知数列中，，则下列说法正确的序号是_________.①此数列没有最大项；②此数列的最大项是；③此数列没有最小项；④此数列的最小项是.【答案】②【分析】根据题意，分析函数，由此分析数列的单调情况，据此分析即可求解.【详解】由，得，对于函数，，设，则，当，即时，函数取得最大值，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，所以数列中，当时，数列递增，且，当时，数列递减，此时有，所以数列的最大项是，最小项为.故答案为：②.7．（2022·上海宝山·一模）计算___________.【答案】2【分析】根据等比数列的求和公式及极限的运算求解即可.【详解】.故答案为：28．（2022·上海宝山·一模）已知数列的前项和为，且满足，，则___________.【答案】【分析】根据通项公式列出方程求出，利用前n项和公式求解.【详解】因为，所以，所以是以2为公差的等差数列，所以，故答案为：三、解答题9．（2022·上海·高考真题）已知数列，，的前项和为.(1)若为等比数列，，求；(2)若为等差数列，公差为，对任意，均满足，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出等比数列的公比，求出，即可求得；（2）分析可得，分、两种情况讨论，结合数列的单调性可求得的取值范围.(1)解：，则，所以，等比数列的公比为，，因此，.(2)解：由已知可得，则，即，可得.当时，可得；当时，则，所以，，因为数列为单调递增数列，而，故.综上所述，.10．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差. （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【答案】（1）935；（2）见解析.试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案；（2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析：（1）（2），即第42个月底，保有量达到最大 ，∴此时保有量超过了容纳量. 11．（2021·上海静安·一模）对于数列：若存在正整数，使得当时，恒为常数，则称数列是准常数数列．现已知数列的首项，且．(1)若，试判断数列是否是准常数数列；(2)当a与满足什么条件时，数列是准常数数列？写出符合条件的a与的关系；(3)若，求的前项的和（结果用k、a表示）．【答案】(1)取时，恒等于，数列是准常数数列；(2)答案见解析；(3).【分析】（1）将代入已知条件，即可求出；（2）根据已知条件，对进行分类讨论，分别写出答案即可；（3）由和分别求出，，…，，，，…，，的值，将前项放在一起，后项中，从项起,每相邻两项的和为定值，这样即可求解.(1)由得，，当时，恒等于，数列是准常数数列，取即可；(2)∵，∴时，,而当时，若存在，当时，，则必有，若时，则，，此时只需，，故存在，，取（取大于等于1的正整数也可以），数列是准常数数列.若，不妨设，，则，，若，则，所以或，取，当时，（，取大于等于的皆可）若，不妨设，，则，所以，，，…，，所以,若，则或，取，当，（ ，取大于等于的皆可以）存在和：，，；，；，（其中,），（为某个整数加上时，数列是准常数数列）.(3)∵,且，∴，，…，，，，，，…，，.所以 .12．（2021·上海杨浦·一模）为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是毫克，（即）.(1)已知，求､；(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.【答案】(1)，；(2)20毫克【分析】（1）由，计算可得．（2）由每次服药，药物在人体内的含量为本次服药量加上前次含量的可得递推关系式，变形后构造一个等比数列，求得通项公式后，由数列不等式恒成立及数列的单调性可得．(1)，；(2)依题意，，所以，，所以是等比数列，公比为，所以，，，，数列是递增数列，且，所以，即，所以m的最大值是毫克．13．（2021·上海黄浦·一模）某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：(1)求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到0.1万吨）(2)该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？【答案】(1)；(2)2025.【分析】（1）由题利用等差数列及等比数列求和公式可求该地区年通过填埋方式处理的垃圾总量为，即求；（2）由题得，即得.(1)设从2021年起该地区每年产生的生活垃圾量（单位：万吨）构成数列，每年通过环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，该地区年通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则，当时，，∴2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾总量约万吨.(2)由得，，∴即，∴，，，，所以该地区在2025年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%.14．（2021·上海长宁·一模）随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元.(1)若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式；(2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，进而得年后燃油的总费用是，进而结合题意可得；（2）由题知从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为 ，公比为，进而得年后，养护保险费为，再求平均值即可得答案，最后利用计算器计算可得.(1)解：根据题意，购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，所以购买该种型号汽车第年的燃油费用为，所以购买该种型号汽车年后燃油的总费用是，因为每年养护保险费均为万元，所以购买该种型号汽车年后养护费用共万元，所以.(2)解：当时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加，所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为，公比为，所以从第七年起，第年的养护保险费用为，所以购买该种型号汽车年后，养护保险费为，所以当时，使用年后，养护保险费的年平均费用为.经计算器计算得时，最小.15．（2021·上海浦东新·一模）已知数列，若存在使得数列是递减数列，则称数列是“型数列”.(1)判断数列，是否为“型数列”；(2)若等比数列的通项公式为（），，其前项和为，且是“型数列”，求的值和的取值范围；(3)已知，数列满足，（），若存在，使得是“型数列”，求的取值范围，并求出所有满足条件的（用表示）.【答案】(1)是；(2)，；(3)，.【分析】（1）根据型数列的新定义直接判断即可；（2）分，和分别求出的前项和为，再判断是否存在满足递减即可求解；（3）分和两种情况讨论，首先判断不符合题意，当时，先证明，进而可得以及符合题意的的值，再证明是唯一的即可.(1)因为，“型数列的定义可知该数列是“型数列”.(2)若，，不存在使得数列是递减数列，此时不是“型数列”；若，，因为为递增数列，对于任意，存在，当时，，递增，因此不存在，此时不是“型数列”；若，，取，，递减；此时符合题意，综上所述，的取值范围.(3)（i）若，则，，. 此时若存在使得是型数列，则，从而且，矛盾；（ii）当时，首先证明（）. 用反证法.由题意，此时，，. 因此，若存在，使得，则. 假设为使得的最小正整数，则，故，而，与的最小性矛盾. 故（），从而对一切成立.据此，可解得. 故当时，，即：为递减数列. 于是为型数列.再证明是唯一解. 用反证法. 假设存在使得是型数列.若，则由得，当时，. 故，不是递减数列，从而不是型数列. 同理可证时，也不是型数列，综上，，相应的.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是理解数列的新定义，熟练判断数列的单调性，准确利用不等式放缩，选择反证法证明，问题即可巧妙解决.16．（2021·上海闵行·一模）将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”.若{bn}各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列”.(1)若数列为，请问是否存在“完美互补子列”？并说明理由；(2)已知共100项的等比数列为递减数列，且，公比为q.若存在“完美互补子列”，求证：；(3)数列满足.设共有对“完美互补子列”，求证：当和时，都存在“完美互补子列”且.【分析】（1）“子列”的和不可能为，所以不存在“完美互补子列”；（2）利用反证法证明得解；（3）先利用完美互补子列的定义证明当和时，都存在“完美互补子列”，再分类讨论证明.(1)解：由题得数列各项的和为由题得“完美互补子列”的和相等，所以每一个“子列”的和为是一个小数，由于数列各项为整数，所以“子列”的和不可能为，所以不存在“完美互补子列”.(2)解：假设，由题得数列的前100项和为,所以不管在哪一个“子列”，都不可能，所以假设不成立，所以.(3)解：时，，不妨设中项为中项为则中所有项与中所有的项的和均为，所以时，数列存在完美互补子数列.时，只需将中，中移到中，将放入中，将放入中，则此时，中的的和均在原来的基础上增加了，所以时，数列存在完美互补子数列.下面证明.当时，数列共有对完美互补子数列，在每一对完美互补子列中，（1）假设在中，则将放入中，将中的移到中，再将放入中，此时中的的和均在原来的基础上增加了，仍然相等.（2）同理，假设在中，则将放入中，将放入中，再将放入中，此时中的的和均在原来的基础上增加了，仍然相等.（3）同理，假设在中，则将放入中，将放入中，再将放入中，此时中的的和均在原来的基础上增加了，仍然相等.故对于时，中每一对完美互补子列，都至少有3种情况，所以.