高考数学考前提分复习专题1-7不等式两大考点与真题模拟题训练含解析

这是一份高考数学考前提分复习专题1-7不等式两大考点与真题模拟题训练含解析，共14页。
考点一：等式与不等式的性质
1．（2020·上海市崇明中学高三期中）下列选项是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，则
【答案】D
【分析】取特殊值可判断ABC错误，根据不等式的性质可判断D正确.
【详解】对于A，若，当时，，故A错误；
对于B，令，此时，故B错误；
对于C，令，此时，故C错误；
对于D，若，则，故D正确.故选：D.
2．（2020·上海崇明区·高三月考）已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、、等.
（1）判断上述三者的大小关系，并证明；
（2）定义：间距，间距，判断两者的大小关系，并证明.
【答案】（1）；证明见解析；（2），证明见解析.
【分析】（1）作差法，判断差的符号，可得证；
（2）由（1）和基本不等式可得，可得证.
【详解】（1），证明如下：
因为，
又、是正数，所以，所以，
当且仅当时，取等号，
故；
因为，当且仅当时，取等号，
所以；
故.
（2）因为、是正数，所以
，
当仅且当，即时取等号.
所以，
所以，所以.
【点睛】本题考查运用作差法证明不等式，基本不等式的应用，属于中档题.
考点二：均值不等式及其应用
1．（2020·宝山区·上海交大附中高三月考）已知，，若，则（ ）
A．有最小值B．有最小值
C．有最大值D．有最大值
【答案】A
【分析】根据基本不等式的性质，即可求解有最小值，得到答案.
【详解】由题意，可知，，且，
因为，则，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，取得最小值，故选A．
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2．（2020·上海普陀区·高三一模）若直线：经过第一象限内的点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直线经过第一象限内的点，，可得，，．．令，，再利用基本不等式计算可得．
【详解】解：直线经过第一象限内的点，，
则，，．
．
令，
．
因为，当且仅当即时取最小值；
。即故选：．
【点睛】本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【真题模拟题训练】
一、单选题
1．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】用不等式的基本性质得解.
【详解】，但，，A、C错
，，所以.B正确.
，但，D错.
故选:B.
2．（2021·上海·模拟预测）有一人患了流感，经过两轮传染后超过100人患了流感，若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么x满足的不等关系为（ ）
A．x（1+x）≥100B．1+x（1+x）＞100
C．x+x（1+x）≥100D．1+x+x（1+x）＞100
【答案】D
【分析】先求出第一轮后患了流感的人数，进一步求出经过第二轮后患了流感的人数.
【详解】若每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则经过第一轮后有（1+x）个人患了流感，
经过第二轮后有[（1+x）+x（1+x）]个人患了流感，
∴x满足的不等关系为（1+x）+x（1+x）＞100.
故选：D．
3．（2021·上海松江·二模）已知实数､满足，有结论：①存在，，使得取到最大值；②存在，，使得取到最小值；正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立B．①不成立，②不成立
C．①成立，②不成立D．①不成立，②成立
【答案】C
【分析】由已知结合基本不等式及其应用条件分别检验①②即可判断．
【详解】解：因为，
所以，
①，，，当且时取等号，
所以，
解得，即取到最大值2；①正确；
②，，
当时，，
当且仅当时取等号，此时不符合，不满足题意；
当时，，
当且仅当时取等号，此时
此时取得最大值，没有最小值，②错误.
故选：C.
【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
二、填空题
4．（2022·上海·高考真题）不等式的解集为_____________.
【答案】
【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.
【详解】或，解第一个不等式组，得，第二个不等式组的解集为空集.
故答案为：
【点睛】本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题.
5．（2021·上海·模拟预测）写出一个解集为的分式不等式___________.
【答案】
【分析】由题意根据分式不等式的解法，得出结论.
【详解】一个解集为的分式不等式可以是，
故答案为：.（答案不唯一）
6．（2021·上海徐汇·二模）已知实数a、b使得不等式|ax2+bx+a|≤x对任意x∈[1，2]都成立，在平面直角坐标系xOy中，点（a，b）形成的区域记为Ω．若圆x2+y2＝r2上的任一点都在Ω中，则r的最大值为_____．
【答案】
【分析】在x∈[1，2]的条件下，把等式|ax2+bx+a|≤x等价转化，利用函数最值建立关于a，b的二元一次不等式组，画出其可行域Ω，再用几何意义得解.
【详解】任意x∈[1，2]，，
而函数在[1，2]上单调递增，则，又关于a的函数在上图象是线段，最大值是或
所以，该不等式组表示的平面区域即是点(a，b)形成的区域Ω，如图中阴影区域(平行四边形ABCD)：

点O(0，0)到直线或的距离，
点O(0，0)到直线或的距离，
而，要圆x2+y2＝r2上的任一点都在Ω中，当且仅当，即r的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：非线性目标函数的最值求法，关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
7．（2021·上海静安·二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米．
【答案】5；
【分析】设长方体蓄水池长为，宽为，高为，蓄水池总造价为，由题意可得，然后基本不等式求出的最小值即可．
【详解】设长方体蓄水池长为，宽为，高为，
每平方米池侧壁造价为，蓄水池总造价为，
则由题意可得，
，
，
当且仅当时，取最小值，
即时，取最小值.
故答案为：5．
8．（2022·上海·二模）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是_________.
【答案】不存在
【分析】利用参变量分离法结合基本不等式求出的取值范围，即可得解.
【详解】由已知可得，，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，，故实数的最大值不存在.
故答案为：不存在.
9．（2022·上海宝山·一模）若满足则的最大值为__________.
【答案】1.
【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行平移，结合图象得到的最大值.
【详解】作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：
平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时最大，
由得，即，
所以的最大值为，
故答案为：1.
三、解答题
10．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，.
(1)若，，经甲变化得到，求方程的解；
(2)若，经乙变化得到，求不等式的解集；
(3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增.
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.
【分析】（1）由题设可得，求解即可.
（2）由题设有，讨论、分别求解即可.
（3）将题设化为对于任意存在，即可证结论.
(1)由题设，甲变化为，则，
∴，解得.
(2)由题设，，又，
∴，
当，即时，则，恒成立；
当，即时，则，解得：或.
综上，不等式解集为.
(3)由题设，，则，
，则，
∵当成立，在上单调递增，
∴，
∴对于任意总存在成立，
∴在R上单调递增，得证.
【点睛】关键点点睛：第三问，利用绝对值的几何意义及区间单调性，结合任意存在，判断函数在实数域上单调性.
11．（2022·上海·高考真题）在椭圆中，直线上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
(1)若∠AFB，求椭圆的标准方程；
(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
(3)已知直线BC与椭圆相交于点P，直线AD与椭圆相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求的最小值.
【答案】(1)(2)交点为，在椭圆上，理由见解析(3)6
【分析】（1）写出三点的坐标，可将用坐标表示出来，求出的值，再结合已知条件，即可求出，进而写出椭圆的标准方程；
（2）根据条件，写出直线和的方程，求出交点坐标，再将其代入椭圆标准方程的左边，即可判断该点与椭圆的位置关系；
（3）利用三角换元（或者椭圆的参数方程）的方法设出点的坐标，再结合点的坐标，写出直线和的方程，求出点的坐标，表示出，再利用三角恒等变换以及同角三角函数关系化简，最后根据重要不等式计算出的最小值.
(1)由题可得，又，
所以，解得，
所以，
故椭圆的标准方程为；
(2)由，得直线的方程为：，
由，得直线的方程为：，
联立两方程，解得交点为，
代入椭圆方程的左边，得，
故直线与的交点在椭圆上；
(3)由题有
因为两点在椭圆上，且关于原点对称，
则设，
直线，则，
直线，则，
所以
设，则，
因为，
所以，则，即的最小值为6.
【点睛】关键点点睛：第（3）小题中，以三角函数形式（参数方程）设点是解题的关键，进而利用三角恒等变换和同角三角函数关系（二次齐次分式化正余弦为正切）将化简，最终利用重要不等式求出其最小值.
12．（2021·上海奉贤·一模）图1是某会展中心航拍平面图，由展览场馆､通道等组成，可以假设抽象成图2，图2中的大正方形是由四个相等的小正方形（如）和宽度相等的矩形通道组成.展览馆可以根据实际需要进行重新布局成展览区域和休闲区域，展览区域由四部分组成，每部分是八边形，且它们互相全等.图2中的八边形EFTSHQMG是小正方形中的展览区域，小正方形中的四个全等的直角三角形是休闲区域，四个八边形是整个的展览区域，16个全等的直角三角形是整个的休闲区域.设的边长为300米，的周长为180米.
(1)设，求的面积关于的函数关系式；
(2)问取多少时，使得整个的休闲区域面积最大.(，长度精确到1米，利用精确后的长度计算面积，面积精确到1平方米)
【答案】(1)()；
(2)当取53米时，整个休闲区域面积最大为22235平方米.
【分析】(1)根据给定条件结合勾股定理用x表示出AF长即可求出函数关系式.
(2)利用(1)的函数关系借助换元法求出y的最大值及对应的x值即可计算作答.
(1)依题意，在中，，则有，
，，则的面积，
所以的面积关于的函数关系式是：().
(2)由(1)知，，，令，
，
当且仅当，即时取“=”，
整个休闲区域是16个与全等的三角形组成，因此，整个休闲区域面积最大，当且仅当的面积最大，
当，即米，整个休闲区域面积最大为平方米，
所以当取53米时，整个休闲区域面积最大为22235平方米.
13．（2021·上海嘉定·三模）数学建模小组检测到相距3米的A，B两光源的强度分别为a，b，异于A，B的线段上任意一点C处的光强度y等于两光源到该处的强度之和，设米.
（1）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离的平方成反比，比例系数为常数，测得数据：当时，；当时，，求A，B两处的光强度，并写出函数的解析式；
（2）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常数，测得数据：当时，；当时，，问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度.
【答案】（1）8,1，，；（2）当时的C处，光强度最弱为.
【分析】（1）根据已知写出表达式，代入已知条件求得即可得；
（2）同样代入已知条件求出得新表达式，然后由基本不等式求得最小值．
【详解】（1）由已知，得
所以，，故，.
（2）由已知，得，所以，
故，.
因为，
当且仅当
所以当时的C处，光强度最弱为．
【点睛】思路点睛：本题考查函数的应用，已知函数表达式，只要根据已知数据求得参数值即可得函数解析式．本题最值问题是利用函数解析式的形式采取利用基本不等式的方法求最小值．
14．（2021·上海浦东新·二模）在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完．设基地种植该中药材年利润为万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．
（1）求的值；
（2）求年利润的最大值（精确到万元），并求此时的年产量（精确到吨）．
【答案】（1）；（2）当年产量约为吨时，年利润最大约为万元．
【分析】（1）由基地产出该中药材40吨时，年利润为万元，列出方程，即可求解；
（2）当时，得到，求得万元；当时，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）由题意，当基地产出该中药材40吨时，年成本为万元，
利润为，解得.
（2）当时，利润为，
因为对称轴，在上为增函数，
所以当时，万元；
当时，，
当且仅当，即时取等号；
所以当年产量约为吨时，年利润最大约为万元．
15．（2022·上海宝山·一模）吴淞口灯塔采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度（单位：，如示意图，垂直放置的标杆的高度，使，，在同一直线上，也在同一水平面上，仰角，.（本题的距离精确到
(1)该小组测得､的一组值为，，请据此计算的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离（单位：，使与之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为，试问为多少时，最大？
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题目所给数据，解直角三角形并利用建立方程即可求解；
（2）由两角差的正切公式，结合均值不等式求出的最值，再根据角的范围即可求得何时有最大值.
(1)由可得：，
同理可得，
因为，
所以，
可得.
(2)由题意可得，
则，
所以，
而，
当且仅当时等号成立，
故当时，取最大值，
因为，所以，
所以时，最大.