高考数学考前提分复习专题1-9计数原理与统计概率五大考点与真题模拟题训练含解析

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  2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用） 专题1.9计数原理与统计概率五大考点与真题模拟题训练 题型一： 两个基本计数原理1．（2021·上海高三专题练习）现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（    ）A．1024种 B．1023种 C．1536种 D．1535种【答案】D【分析】先看一张人民币的取法，再看2张100元人民币的取法，利用分步计数原理计算即可.【详解】除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况，再减去这些人民币全不取的1种情况，所以共有种．故选：D.【点睛】误解：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有种．错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成4种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况．2．（2021·上海高三专题练习）计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端，然后对4幅油画和5幅国画进行全排列，结合分步计数原理，即可求解.【详解】先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端，则油画与国画放在两端有种不同的排法，然后对4幅油画的排放有种不同的排法对5幅国画的排放有种不同的排法，所以不同的陈列方式有种不同的排法.故选：D.3．（2021·上海高三专题练习）在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（    ）种．A． B． C． D．【答案】C【分析】四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理可得冠军获奖者的情况.【详解】解:由题意四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有种．故选:C题型二：排列与组合1．（2020·上海高三专题练习）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（  ）A．144 B．120 C．72 D．24【答案】D试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种【解析】排列、组合及简单计数问题2．（2020·上海高三专题练习）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（    ）A．144 B．72 C．54 D．36【答案】B【分析】两位女生相邻，将其捆绑在一起，和另一位女生不相邻，采用插空法．【详解】根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有种，故选：B．【点睛】本题考查排列组合，需熟练掌握捆绑、插空法，属于基础题3．（2021·上海高三专题练习）某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（    ）种．A．5040 B．1260 C．210 D．630【答案】D【分析】把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，即可求解.【详解】把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，共有种．故选：D.4．（2020·上海高三其他模拟）有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（    ）种A．48 B．72 C．78 D．84【答案】A【分析】将五个小球全排列后，排除掉黄色和红色小球均相邻、红色小球相邻且黄色小球不相邻、黄色小球相邻且红色小球不相邻的情况，进而得到结果.【详解】五个小球全排列共有：种排法当两个红色小球与两个黄色小球都相邻时，共有：种排法当两个红色小球相邻，两个黄色小球不相邻时，共有：种排法当两个红色小球不相邻，两个黄色小球相邻时，共有：种排法颜色相同的小球不相邻的排法共有：种排法。故选【点睛】本题考查有限制条件的排列组合问题，对于限制条件较多的情况，通常采用间接法来进行求解；题目中涉及到的相邻和相离问题，分别对应捆绑法和插空法来进行求解.题型三：二项式定理 1．（2020·上海高三专题练习）已知，，则“”是“的二项展开式中存在常数项”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】运用二项式的展开式的通项公式，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】展开式的通项公式为：，当时，存在常数项，此时为正偶数，因此当时，一定能推出的二项展开式中存在常数项，但是由的二项展开式中存在常数项不一定能推出.因此“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件.故选：A2．（2020·上海高三专题练习）的展开式中的系数是（    ）A．－20 B．－5C．5 D．20【答案】A【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果.【详解】由二项式定理可知：；要求的展开式中的系数，所以令，则；所以的展开式中的系数是是-20.故选：A.【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式求指定项的系数，合理使用通项公式是解题的关键，属基础题.3．（2020·上海高三专题练习）展开式中的各项系数和为64，则下列结论正确的是（    ）．A．这个二项展开式有6项B．当时，展开式的中间项数值最大C．当时，展开式共有两个是有理数的项D．展开式中一定有常数项【答案】C【分析】根据展开式中的各项系数和为64，令，得到，解得n，然后求得展开式的通项：，再逐项验证.【详解】因为展开式中的各项系数和为64，令，得，解得，这个二项展开式有7项，故A错误；展开式的通项：，中间项为：，而，故B错误；，当时，，当时，，故正确；，令无解，故错误.故选：C【点睛】本题主要考查二项展开式的系数以及通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.题型四：随基变量及其分布列1．（2020·上海高三专题练习）一台型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B(4,0.2)，所以P(ξ≤2)＝ (0.8)4＋ (0.8)3×0.2＋ (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8.故选D2．（2020·上海高三专题练习）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A． B． C． D．【答案】B【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×= 故选B.3．（2020·上海高三专题练习）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（    ）.A． B． C． D．【答案】B【分析】由n次独立重复试验的概率计算公式计算即可.【详解】由题易知，该题属于n次独立重复试验，故所求概率为：.故选：B.【点睛】本题主要考查n次独立重复试验，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 题型五: 抽样与统计图表，统计案例一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）一个学生期末数学的平时成绩为B的标准为“平时的五次成绩均不小于80分”.根据甲、乙、丙、丁四位同学五次平时成绩的记录数据（记录数据都是正整数），平时成绩一定为B的是（    ）A．甲同学：中位数为85，总体均值为82 B．乙同学：众数为83，总体均值为82C．丙同学：总体均值为84，总体方差为6 D．丁同学：中位数为83，总体方差为6【答案】C【分析】一一举反例否定即可.【详解】对于A. 甲同学：中位数为85，总体均值为82，可以找到很多反例，如74，80，85，85，86，故A.不正确；对于B. 乙同学：众数为83，总体均值为82，可以找到很多反例，如79，80，83，83，85，故B不正确；对于D. 丁同学：中位数为83，总体方差为6，比如反例，78，78，83，83，83，故D不正确；故选C.【点睛】此题考统计相关概念，属于简单题.2．（2020·上海高三专题练习）某学校有2500名学生，其中高一600人，高二800人，高三1100人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本本数分别为、，且直线与以为圆心的圆交于、两点，且，则圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用分层抽样的概念，先求出与，然后求出直线方程，然后，根据圆与直线的位置关系求出圆心到直线的距离，进而求解即可.【详解】∵高一：高二：高三为，该直线方程为，即，圆心到直线的距离，又，该圆的方程为.故选：C【点睛】本题考查分层抽样的概念，属于基础题3．（2020·上海高三专题练习）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（    ）A．1.5小时 B．1.0小时C．0.9小时 D．0.6小时【答案】C【分析】直接利用加权平均数公式求解【详解】解：由题意得，50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为，故选：C【点睛】此题考查的是利用条形图中的数据求平均数，属于基础题4．（2020·上海高三专题练习）已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据(    )A．一样稳定 B．变得比较稳定C．变得比较不稳定 D．稳定性不可以判断【答案】C【分析】根据均值定义列式计算可得的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得，从而得方差．然后判断．【详解】由题可得：平均值为2，由，，所以变得不稳定.故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．二、填空题5．（2020·全国高三专题练习）以下四个命题，其中正确的序号是____________________．①从匀速传递的产品生产流水线上，每20分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④分类变量与，它们的随机变量的观测值为，当越小，“与有关系”的把握程度越大.【答案】②③【分析】利用系统抽样的定义判断①利用独立性检验判断④；利用相关系数的性质判断②；由回归方程的性质判断③．【详解】①为系统抽样, ①不正确；④分类变量与，它们的随机变量的观测值为，当越小，“与有关系”的把握程度越小，④不正确；根据相关系数的性质可知②正确；由回归方程的性质可知③正确．故答案为②③.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查系统抽样、相关系数、回归方程、独立性检验，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.【真题模拟题训练】一、单选题1．（2021·上海·模拟预测）二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（       ）A．4项 B．7项 C．5项 D．6项【答案】D【分析】根据二项展开式的通项公式，由的指数值为整数即可解出．【详解】二项式的展开式中，通项公式为，，时满足题意，共6项．故选：D.2．（2021·上海·模拟预测）从边长为1的正八边形的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，对于命题：①的面积可能大于的面积；②为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的2倍.下列判断正确的是（       ）A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确【答案】D【分析】①分别计算三角形面积，比较判断即可；②分别求出概率，比较判断.【详解】解：对于①，如图，计算三角形PQR的面积，而正八边形的每一个内角的度数为 ，所以，所以，又由，解得，正八边形的边长为1，所以，所以为，而的最小面积为随机选3个点是同一个面3个点，如，其面积为，所以①不正确；对于②，在正八边形中，以为顶点的等腰三角形有3个，为等腰三角形共有24个，所以为等腰三角形的概率为，在正方体中，不是直角三角形时，该三角形的三个顶点如下图中的正三角形，其个数为8个，所以为直角三角形的概率为，所以②对.故选：D.二、填空题3．（2022·上海·高考真题）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为________【答案】17【分析】先分类再分步，按千位为3,4,2分为三类，再逐次安排百位和十位，即可计算出满足条件的四位数个数.【详解】千位为和时，组成的四位数都比2134大，有个，千位为2时，百位为3或4的四位数都比2134大，有个，千位为2时，百位为1，只有2143比2134大，有1个，则组成的四位数比2134大的一共有17个.故答案为：17.4．（2022·上海·高考真题）在的展开式中，含项的系数为________【答案】【分析】写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解.【详解】展开式的通项为，令，可得，因此，展开式中含项的系数为.故答案为：.5．（2022·上海杨浦·二模）三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是_______． (结果用分数表示)【答案】【分析】先计算从9个数中任取3个数共有种不同的取法，再求三个数任意两个数不在同一行或者同一列的事件数，利用对立事件及古典概型计算公式求解即可.【详解】从9个数中任取3个数共有种不同的取法，若三个数任意两个数不在同一行或者同一列，共有种不同的取法，设事件M为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M包含的取法共有种，根据古典概型的概率计算公式得．故答案为：6．（2022·上海杨浦·二模）在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.【答案】38【分析】由平均值求出，再根据方差公式计算方差．【详解】∵5位学生的成绩如下：78、85、、82、69，他们的平均成绩为80，，解得：，，则他们成绩的方差等于38.故答案为：38．【点睛】本题考查平均数和方差的定义，考查数据处理能力，求解时注意方差与标准差的区别.7．（2022·上海杨浦·二模）若展开式中各项系数的和等于，则展开式中的系数是________.【答案】15【分析】令，则展开式中各项系数的和，解得．再利用二项式定理的通项公式即可得出．【详解】令，则展开式中各项系数的和为：，解得．的展开式的通项公式，令，解得．展开式中的系数为：．故答案为：15．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意指定项的系数与二项式系数的区别.8．（2021·上海·模拟预测）一个袋中装有9个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，…，9，随机依次摸出两个球（不放回），则两个球编号之和大于9的概率是___________（结果用分数表示）.【答案】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从9个球摸出两个球，基本事件总数为，当两个球编号之和小于等于9时，此时包含的基本事件有，即有种，所以取出两个球编号之和大于9的概率是．故答案为：．9．（2021·上海市七宝中学模拟预测）如果，，，的方差是，则，，，的方差为___________.【答案】3【分析】根据线性变化后数据间方差的关系计算方差．【详解】因为，，，的方差是，则，，，的方差为．故答案为：3．10．（2021·上海·模拟预测）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合________A运动B运动C运动D运动E运动7点8点8点9点9点10点10点11点11点12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟 【答案】【分析】根据题意，可以判定选择任意3种及其以上否是符合要求的，只是在选择两种的情况下，有些是达不到要求的，利用组合求得总数，减去不合要求的种数即可.【详解】由题意，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，的组合是不符题意的，∴,故答案为：23.11．（2021·上海·模拟预测）盒子中有4个白球和3个红球，现从盒子中依次不放回地抽取2个球，那么在第一次抽出白球的条件下，第二次抽出红球的概率是______.【答案】【分析】依据条件概率去求解即可解决.【详解】法一：设为“第一次抽到白球”，为“第二次抽到红球”，则，而，故.法二：第一次抽到白球后，袋中还有3个红球，3个白球，故第二次抽到红球的概率为.故答案为：.12．（2021··模拟预测）已知一组数据，1，0，，的方差为10，则________【答案】7或【分析】依据方差公式列出方程，解出即可．【详解】，1，0，，的平均数为，所以 解得或．【点睛】本题主要考查方差公式的应用．13．（2021·上海·模拟预测）在的展开式中，与项的系数和为___________.（结果用数值表示）【答案】【分析】根据二项展开式的通项公式以及多项式的乘法原理即可解出．【详解】因为展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为，项的系数为，即与项的系数和为．故答案为：．14．（2021·上海·模拟预测）已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人，为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状兄，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若这次抽样调查抽取的人数是70人，则从46岁至55岁的居民中随机抽取了_______人．【答案】25【分析】根据已知条件求出抽样比即可求解.【详解】由题意，可知A社区总人数为450+750+900=2100，样本容量为70，所以抽样比为，故从46岁至55岁的居民中随机抽取的人数为.故答案为：25.15．（2021·上海·模拟预测）在的展开式中，的系数为___________.【答案】90【分析】根据多项式乘积的意义，利用直接组合的方法进行计算即可.【详解】解：∵，∴含有的项为，即的系数为90，故答案为：90.16．（2021·上海·模拟预测）第14届国际数学教育大会将于7月在上海举办，大会一共进行8天.若有4位学者分别作个人大会报告，一天只能安排一个报告，且第一天和最后一天不安排报告，则不同的安排方案种数为___________(用数字作答).【答案】360【分析】根据题意，只需在中间的6天中，任选4天，安排4位学者作报告即可，由排列数公式计算可得答案.【详解】根据题意，大会一共进行8天，第一天和最后一天不安排报告，只需在中间的6天中，任选4天，安排4位学者作报告即可，则有种安排方法，故答案为：360.17．（2021·上海普陀·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，则函数在定义域上存在反函数的概率为__．【答案】【分析】计算出基本事件的总数，从，，，中选个再排列可得存在反函数的的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.【详解】函数在定义域上存在反函数，只需要满足自变量和函数值一一对应，因此从，，，中选三个出来对应值域中的三个实数，即可满足题意，故函数在定义域上存在反函数的概率为.故答案为：.18．（2021·上海·模拟预测）在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，若男生甲和女生乙不同时参加，则事件发生的概率为__________(结果用数值表示)．【答案】【分析】根据组合知识计算总的取法，再由间接法求出男生甲和女生乙不同时参加的取法，根据古典概型求解即可.【详解】13人中任选6人参加有种，再除去甲乙2人同时参加的情况有种，由古典概型可知.故答案为：19．（2021·上海·模拟预测）若二项式的展开式中的三次项的系数是168，则__________【答案】1或【分析】利用二项式定理展开式公式可得，令可得的三次项的系数为：，解得 ，由等比数列前n项和公式，以及当时，，，代入即得解【详解】由二项式定理展开式公式可得展开式的通项公式为：，令可得：，则的三次项的系数为：，据此可得：，解得：，故当时，则当时，当时，故答案为：1或20．（2021·上海·复旦附中模拟预测）有一组数据：，1，2，3，4，其平均数是2，则其标准差是__________.【答案】【分析】根据平均数求出的值，再计算方差和标准差．【详解】解：数据，1，2，3，4的平均数是2，，解得；所以该组数据的方差是，标准差是．故答案为：．21．（2021·上海普陀·模拟预测）高三某位同学参加物理､化学､政治科目的等级考，已知这位同学在物理､化学､政治科目考试中得A+概率分别为，这三门科目考试成绩互不影响，则这位考生至少得2个A+的概率为___________.【答案】【分析】设这位同学在物理､化学､政治科目考试中得A+的事件分别为A，B，C，则，，，∴这位考生至少得2个A+的概率为：接下来利用相互独立事件概率的乘法公式计算即可.【详解】解：设这位同学在物理､化学､政治科目考试中得A+的事件分别为A，B，C，则，，，∴这位考生至少得2个A+的概率为：=.故答案为：.【点睛】求相互独立事件同时发生的概率的步骤：（1）首先确定各事件是相互独立的；（2）再确定格式件会同时发生；（3）求出每个事件发生的概率，再求积.