高考数学考前提分复习专题2-1排列、组合（十三种解题方法）含解析

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  2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用） 专题2.1 排列、组合 的十三种解题方法 方法一、捆绑法1．（2020·上海·南汇县泥城中学高三阶段练习）把本书随意地放在书架上，则其中指定的本书放在一起的概率为___________.【答案】【分析】首先利用全排列求出基本事件总数，然后利用捆绑法求出指定的本书放在一起的基本事情数，最后利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】由排列可知，本书随意地放在书架上共有种情况，其中指定的本书放在一起共有种情况，故其中指定的本书放在一起的概率为.故答案为：.2．（2022·上海奉贤区致远高级中学高三开学考试）某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于___________．（用数字作答）【答案】；【分析】根据题意，由排列数公式计算“农场主与6名同学站成一排”和“2名女生互不相邻，且农场主站在中间”的站法数目，由古典概型公式计算可得答案．【详解】根据题意，农场主与6名同学站成一排，有种不同的站法，若农场主站在中间，有种不同的站法，农场主人站在中间，两名女生相邻共有种站法，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的站法有种站法，则其概率，故答案为：．3．（2021·上海交大附中高三期末）某小区有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法共有___________种.【答案】120【分析】利用“捆绑法”，将剩余的4个车位看作一个整体，进而与4辆车全排列可得出答案.【详解】将剩余的4个车位看作一个整体，与4辆不同型号的车全排列得.故答案为：120.4．（2020·上海·高三专题练习）用0，1，2，3，4，5这六个数字可组成_______个无重复数字且2、3相邻的四位数.【答案】60【分析】2，3捆绑在一起作为一个元素，再选其他两个数字，一起排列，可分类一类有0，一类无0．【详解】有0的四位数，0不能在首位，有个，无0的四位数有个，共有+＝60．故答案为：60．【点睛】本题考查排列组合的应用，在多位数问题要注意0不能作首位，有0时可优先安排，相邻元素与不相邻元素在排列中的两种方法：相邻元素是捆绑法，不相邻元素插空法．方法二、插空法1．（2020·上海市中国中学高三期中）四名男生和两名女生排成一排，若有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是________【答案】【分析】先选出相邻的两个男生，看作1个整体与剩余名男生组成的3个元素,利用插空法插入到名女生所形成的3个空隙中即可.【详解】分两步进行：①、将名女生全排列，有种情况，排好后有个空位；②、从名男生中选名，看成一个整体，考虑其顺序，有种情况，再将这个整体与剩余的名男生全排列，安排在女生的个空位中，有种情况,则一共有种情况.故答案为：2．（2021·上海市大同中学高三阶段练习）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为___________．【答案】【分析】首先排好4个1,，即可产生5个空，再利用插空法求出2个0相邻与2个0不相邻的排法，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：将4个1和2个0随机排成一行，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为故答案为：3．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为______．【答案】0.6##【分析】先按要求计算3个1和2个0随机排成一行时的排法，再计算2个0不相邻时的排法，最后利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】3个1和2个0随机排成一行,即五个确定的位置中选择3个放数字1，其他放数字0，故不同排法有种，若再要求2个0不相邻，则需3个1放好，有4个空，2个数字0插空摆放即可，即.所以2个0不相邻的概率为.故答案为：.4．（2021·上海嘉定·二模）将的二项展开式的各项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为_______．【答案】【分析】根据二项式定理确定二项展开式中有理项的项数以及总的项数，然后求出排列的个数，再由概率公式计算概率．【详解】的展开式的通项为，当时，为有理项，一共4项，当时，为无理项，一共4项，要使得有理项互不相邻，采用插空法，先把无理项排好，再把有理项插到无理项的5个空档中，共有种情况，全部的情况有种，故所求概率.故答案为：．方法三、特殊元素法1．（2021·上海·曹杨二中高三阶段练习）食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，甲､乙两位同学各自随机选择种类，他们所选水果中恰有一种水果相同的概率为___________（结果用最简分数表示）.【答案】【分析】利用排列组合可求基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再利用公式可得所求的概率.【详解】设“甲､乙两位各自随机选择种类，他们所选水果中恰有一种水果相同” 为事件.甲､乙两位各自随机选择种类，共有种选择方法；他们所选水果中恰有一种水果相同，共有种，故.故答案为：.2．（2021·上海·格致中学高三阶段练习）从6双规格相同颜色不同的手套中任取4只，其中恰有两只成双的概率是______________．【答案】【分析】先求得基本事件的总数，然后结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】基本事件总数为，所以恰有两只成双的概率是.故答案为：3．（2017·上海·高三学业考试）身高互不相同的7位同学站成一排照相，身高最高的同学站在正中间，则不同的排列方法数为______（用数值作答）【答案】720【分析】根据题意，分两步：先安排身高最高的同学，剩余的6个同学排到身高最高同学左右即可，再按分步相乘计数原理求出结果.【详解】第一步：先将身高最高的同学站在正中间，有1种排法；第二步：剩余6名同学排左右两边，有种排法，所以排法共有种故答案为：720【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.3．（2022·上海市莘庄中学高三期中）某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，则最后播放的是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不连续播放的概率是_________.【答案】【解析】本题是一个等可能事件的概率，满足条件的事件是首先从两个奥运广告中选一个放在最后位置，第二个奥运广告只能从前三个中选一个位置排列，余下的三个元素在三个位置全排列，共有种结果，得到概率．【详解】解：由题意知本题是等可能事件的概率，所有事件数是满足条件的首先从两个奥运广告中选一个放在最后位置，有种结果，两个奥运广告不能连放，第二个奥运广告只能从前三个中选一个位置排列，有3种结果，余下的三个元素在三个位置全排列，共有种结果，共有种结果，要求的概率是，故答案为：【点睛】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是做出符合题意的事件数，这里要应用排列组合的原理来解出结果，属于中档题．方法四、间接法1．（2021·上海奉贤·一模）从集合中任取3个不同元素分别作为直线方程中的，则经过坐标原点的不同直线有__________条（用数值表示）【答案】54【分析】根据给定条件可得，再从任取两个不同元素分别作为值的种数中减去重合的直线条数即可作答.【详解】依题意，，从任取两个不同元素分别作为的值有种，其中重合的直线，按有序数对，有：重合，重合，重合，重合，重合，有：重合，重合，重合，重合，重合，所以经过坐标原点的不同直线条数是.故答案为：54【点睛】思路点睛：涉及部分排列组合问题，用直接法求解，分类复杂，可以求出不考虑条件的所有结果，再去掉不符合要求的结果，即运用逆向思维，间接求解．2．（2022·上海·高三专题练习）已知三行三列的方阵中有9个数aij（i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率是_____.（结果用分数表示）【答案】【分析】从9个数中任取3个，共有种选法；当3个数中位于同行或同列时，共有6种选法；当3个数中都位于不同行或不同列时，共有种选法；当3个数中既有两数同行、又有两数同列时共有种选法；然后利用间接法即可得出结论．【详解】解：从9个数中任取3个，共有种选法；当3个数中位于同行或同列时，共有6种选法；当3个数中都位于不同行或不同列时，共有种选法；当3个数中既有两数同行、又有两数同列时共有种选法；从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率，故答案为：．【点睛】关键点点睛：分3个数中位于同行或同列、3个数中都位于不同行或不同列和3个数中既有两数同行、又有两数同列三种情况进行讨论，然后利用间接法求解.3．（2020·上海普陀·高三阶段练习）从4名男生和3名女生选2人参加校园辩论赛，则至少有一名女生的概率是___________．【答案】【解析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】从4名男生和3名女生选2人参加校园辩论赛，共有种方法；从4名男生和3名女生选2人参加校园辩论赛，没有女生的共有种；所以至少有一名女生的概率是.故答案为：【点睛】方法点睛：排列组合问题常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.4．（2020·上海·高三专题练习）6名男生4名女生共10人，要从这10个人中选出3人共同去完成某项任务，要求这3人中至少要有1个女生，则不同的选法有_________种.【答案】100【分析】先由题意，确定从10个人中抽取3人所包含的基本事件个数，再求出从6个男生中抽取3人所包含的基本事件个数，作差，即可得出结果.【详解】由题意，从10个人中抽取3人所包含的基本事件个数为，从6个男生中抽取3人所包含的基本事件个数为，所以这3人中至少要有1个女生所包含的基本事件个数为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查组合的简单应用，属于基础题型.方法五、隔板法1．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）对于定义域为D的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“不严格单调增函数”的概率是______．【答案】##0.04【分析】考虑把D中的5个数分成三堆：①1，1，3 ②1，2，2，计算概率得到答案.【详解】基本事件总数为：把D中的5个数分成三堆：①1，1，3：，②1，2，2：,则总共有种，求函数是“不严格单调增函数”的情况，等价于在1，2，3，4，5中间有4个空，插入2块板分成3组，分别从小到大对应6,7,8共有种情况，函数是“不严格单调增函数”的概率是故答案为：.2．（2022·上海·高三专题练习）小明给同学发“拼手气”红包，他将1角钱分成三份，每份都是1分钱的正整数倍，若这三个红包分别被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲抢到1分钱的概率为_________.【答案】【分析】将题干情景转换为：有10个相同的小球放进甲、乙、丙三个盒子，且盒子不能为空；【详解】题干情景可以转换为：有10个相同的小球放进甲、乙、丙三个盒子，且盒子不能为空；将10个小球排好，有9个空隙，从这9个空隙中选出2个放入挡板可将小球分为3份；所以，分类方法共有种；甲盒有1个小球的情况有：共8种；所以，概率为.故答案为：.方法六、倍缩法解决部分定序问题1．（2021·上海交大附中高三开学考试）如图，微店销售某产品，该产品共剩A、B、C三种颜色的相同款式7盒，销售员随机抽取货架上的产品进行贴条投递，她总是取每堆中的最上面的一盒（全部拿完），则不同的取法有__________种（用数字作答）【答案】210【分析】利用定序法，转化为将7盒产品排成一列，其中A，B，C三种颜色的顺序是确定的，问题得以解决【详解】解：由题意可得将问题转化为将7盒产品排成一列，其中A，B，C三种颜色的顺序是确定的，所以共有种，故答案为：210方法七、不平均分组问题1．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）对于定义域为D的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“不严格单调增函数”的概率是______．【答案】##0.04【分析】考虑把D中的5个数分成三堆：①1，1，3 ②1，2，2，计算概率得到答案.【详解】基本事件总数为：把D中的5个数分成三堆：①1，1，3：，②1，2，2：,则总共有种，求函数是“不严格单调增函数”的情况，等价于在1，2，3，4，5中间有4个空，插入2块板分成3组，分别从小到大对应6,7,8共有种情况，函数是“不严格单调增函数”的概率是故答案为：.2．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）甲､乙､丙三位同学各自在周六､周日两天中任选一天参加公益活动，则周六､周日都有同学参加公益活动的概率是___________.【答案】【分析】求出不加限制条件的参加方法，再按分组分配方法求得两天都有人参加活动的方法数，然后计算概率．【详解】甲､乙､丙三位同学各自在周六､周日两天中任选一天参加公益活动的所有方法数为，周六､周日都有同学参加公益活动的方法娄得，所以周六､周日都有同学参加公益活动的概率是．故答案为：．3．（2021·上海·格致中学高三阶段练习）今年上海春季高考有25所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有___________种.【答案】1800.【分析】根据题意，先把学生分成两组，然后从25所学校中选出两所，进而将学生分配到两所学生中，最后得到答案.【详解】将3个学生分为两组，有种情况，从25所学校选出两所，有种情况，于是，共有种.故答案为：1800.4．（2020·上海·高三专题练习）某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为___________.【答案】【分析】根据分步计数原理得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到结果．【详解】6位乘客进入4节车厢的方案共有46种.6位乘客按各节车厢人数恰好为0，1，2，3进入共有A44C60C61C52C33＝1440种方法．∴这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为．故答案为．【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体．方法八、平均分组问题1．（2022·上海·二模）某大学计算机系4名学生和英语系的4名学生准备利用暑假到某偏远农村学校进行社会实践活动，现将他们平均分配到四个班级，则每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率是_____________________.【答案】【分析】先计算总共有种选法，再计算满足条件的，最后按照古典概型计算概率即可.【详解】8人平均分到4个班级共有种选法，每个班级既有计算机系学生又有英语系学生共有种分法，故概率为.故答案为：.方法九、分类分步1．（2020·上海市中国中学高三期中）四名男生和两名女生排成一排，若有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是________【答案】【分析】先选出相邻的两个男生，看作1个整体与剩余名男生组成的3个元素,利用插空法插入到名女生所形成的3个空隙中即可.【详解】分两步进行：①、将名女生全排列，有种情况，排好后有个空位；②、从名男生中选名，看成一个整体，考虑其顺序，有种情况，再将这个整体与剩余的名男生全排列，安排在女生的个空位中，有种情况,则一共有种情况.故答案为：2．（2021·上海闵行·一模）某学校为落实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排见如表.小明同学要在这一周内选择编程､书法､足球三门课，不同的选课方案共___________种.周一周二周三周四周五演讲､绘画､舞蹈､足球编程､绘画､舞蹈､足球编程､书法､舞蹈､足球书法､演讲､舞蹈､足球书法､演讲､舞蹈､足球注：每位同学每天最多选一门课，每一门课一周内最多选一次 【答案】15【分析】应用分类分步计算方法，首先考虑编程选在周二或周三，再确定书法的时间，最后确定足球的时间，即可得到总的选课方案.【详解】1、周二选编程，则选课方案有种；2、周三选编程，则选课方案有种；综上，不同的选课方案共15种.故答案为：15.3．（2022·上海·高三专题练习）安排个党员（含小吴）去个不同小区（含小区）做宣传活动，每个党员只能去个小区，且每个小区都有党员去宣传，其中至少安排个党员去小区，但是小吴不去小区，则不同的安排方法数为_________.【答案】44【分析】先分类讨论为小区安排人，再按照“3+1+1”和“2+2+1”两种情况安排其他小区即可.【详解】首先人数分配可以是“3+1+1”和“2+2+1”两种情况，至少安排个党员去小区，故小区安排人或2人，小吴不去小区，故：若小区安排人，除小吴外还有4人，按照“3+1+1”分配，则有种；若小区安排人，除小吴外还有4人，按照“2+2+1”分配，则有种.故不同的方法数为种.故答案为：44.4．（2021·上海·高三专题练习）从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率___.【答案】【解析】基本事件总数，学生甲被抽到包含的基本事件个数，由此能求出学生甲被抽到的概率．【详解】解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，基本事件总数，学生甲被抽到包含的基本事件个数，∴学生甲被抽到的概率．故答案为：．【点睛】方法点睛：求概率常用的方法是：先定性（六种概率：古典概型的概率、几何概型的概率、独立事件的概率、互斥事件的概率、条件概率和独立重复试验的概率）,再定量.方法十、部分平均分组问题1．（2021·上海崇明·一模）第24届冬季奥林匹克运动会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京冬奥会的顺利举办将成为人类摆脱和超越疫情的标志性事件，展现人类向更美好的末来进发的期望和理想.组织方拟将4名志愿者全部分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作（每个场馆至少分配一名志愿者)，不同的分配方案有_______种.【答案】36【分析】把4名志愿者分为3组，选出2人作为一组，然后将3组全排列即可.【详解】首先把4名志愿者分为3组，则有一个组有2人，共有种分法，再把分好的3组分到不同的3个场馆，则有种分法，所以共有种分法.故答案为：36.2．（2020·上海·格致中学高三阶段练习）为抗击“新型冠状病毒”，全国各地群策群力，捐款捐物，某企业出资购买了两种不同型号的新型呼吸机各两台（同种型号呼吸机不加区分），将这4台呼吸机捐给疫情最重区域的三所医院，每所医院至少一台，且同型号呼吸机不给同一医院，则不同分配方案有_____种【答案】6【解析】两种型号呼吸机的各挑一台为一组，剩余两个型号的呼吸机各1台，分别为1组，将三组呼吸机分到三所医院即可.【详解】两种型号呼吸机的各挑一台为一组，因为同种型号呼吸机不加区分，所以只有1种组合，剩余两个型号的呼吸机各1台，分别为1组，将三组呼吸机分到三所医院共有种不同的分法，所以将这4台呼吸机捐给疫情最重区域的三所医院，每所医院至少一台，且同型号呼吸机不给同一医院，不同分配方案有种.故答案为：6【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，考查了分组分配问题，属于基础题.方法十一、特殊位置法1．（2015·上海杨浦·一模（文））一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有________种.窗口6排A座6排B座6排C座走廊6排D座6排E座窗口 【答案】30.【分析】分两类，第一类，当爷爷在排座时，第二类，当爷爷在排座时，再排小孙女，最后排其他人，根据分类计数原理可得结果.【详解】第一类，当爷爷在排座时，再排小孙女，最后排其他人，共有种第二类，当爷爷在排座时，再排小孙女，最后再排其他人，共有种根据分类计数原理共有：种故答案为：【点睛】本题考查排列组合知识的应用问题，考查了分类计数原理，解决本题的关键是如何正确的进行分类.方法十二、染色问题1．（2020·上海·高三专题练习）如图，用6种不同颜色对图中A，B，C，D四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有________种．【答案】480【分析】按照分步计数原理，首先染A区域，再染B区域，C区域，最后染D区域，计算可得；【详解】解：依题意，首先染A区域有种选择，再染B区域有5种选择，第三步染C区域有4种选择，第四步染D区域也有4种选择，根据分步乘法计数原理可知一共有种方法故答案为：【点睛】本题考查染色问题，分步乘法计数原理的应用，属于基础题.方法十三、排数问题1．（2021·上海青浦·一模）把1､2､3､4､5这五个数随机地排成一个数列，要求该数列恰好先递增后递减，则这样的数列共有__________.【答案】14【分析】根据题意，5为递增和递减的分界点，分情况求出总数即可．【详解】该数列为先增后减，则5一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，当5前面只有一个数时，有4种情况，当5前面只有2个数时，有种情况，当5前面有3个数时，有4种情况，故一共有．故答案为：14.2．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为______．【答案】0.6##【分析】先按要求计算3个1和2个0随机排成一行时的排法，再计算2个0不相邻时的排法，最后利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】3个1和2个0随机排成一行,即五个确定的位置中选择3个放数字1，其他放数字0，故不同排法有种，若再要求2个0不相邻，则需3个1放好，有4个空，2个数字0插空摆放即可，即.所以2个0不相邻的概率为.故答案为：.3．（2021·上海·复旦附中高三阶段练习）把1，2､3､4､5､6､7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有___________；【答案】62【分析】从1，2，3，4，5，6中选出1个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减的数列个数，从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减的数列个数，以此类推，对所求的结果求和，即可求解．【详解】解：从1，2，3，4，5，6中选出1个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减的数列有 个，从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减的数列有个，••••••，故满足条件的总个数为个．故答案为：62．4．（2021·上海浦东新·三模）在张卡片上分别写上数字、、、、，然后把它们混合，再任意排成一行组成位数，则得到能被整除的位数的概率为___________.【答案】【分析】根据题意可知，能被整除的位数的个位数为或，利用排列组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】能被整除的位数的个位数为或，所以，能被整除的位数的个数为，因此，所求概率为.故答案为：.