高考数学考前提分复习专题2-6特殊与一般思想中的三种题型（三角函数与解三角形、数列、不等式）含解析

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  2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用） 专题2.6 特殊与一般思想中的三种题型               （三角函数与解三角形、数列、不等式） 题型一：三角函数与解三角形1．（2021·上海青浦·一模）若数列：中的每一项都为负数，则实数的所有取值组成的集合为__________.【答案】【分析】根据题意，可知当时，不符合题意；所以，则均成立，从而得出，通过类比推理得出对一切正整数恒成立，进而可得出，即可得出实数的所有取值.【详解】解：当时，，，不符合题意，又因为，所以，则均成立，则，即，，以此类推，对一切正整数恒成立，因为当时，，则，所以，解得：，经检验，符合题意，综上所述，实数的所有取值组成的集合为.故答案为：.题型二：数列1．（2021·上海徐汇·一模）已知，记表示中的最大值，表示 中的最小值，若 ， 数列和满足，则下列说法中正确的是（       ）A．若，则存在正整数，使得 B．若，则C．若，则 D．若，则存在正整数，使得【答案】B【分析】根据时，，利用二次函数的性质可得即可判断A，当时，分类讨论可判断数列极限确定B，时判断数列的增减性判断C，由题意可得即可判断D.【详解】设的解为t，当时，,因为，所以，依次类推，，故A错误；当时，，当时，，所以B正确；当时，，所以是递增数列，所以无极限，故C错误；因为，所以，故D错误.故选：B2．（2022·上海市松江二中高三开学考试）若实数数列满足，则称数列为数列.(1)请写出一个5项的数列，满足，且各项和大于零；(2)如果一个数列满足：存在正整数使得组成首项为1，公比为的等比数列，求的最小值；(3)已知为数列，求证：为数列且为数列”的充要条件是“是单调数列”.【答案】(1)(答案不唯一)；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）根据数列的定义写出一个满足条件的数列即可.（2）由数列的定义，只需让正整数且间的间隔尽量小，结合题设找到后续各项数字出现规律，找到对应的最小位置，即可得的最小值.（3）由数列的定义，分别从充分性、必要性两方面证明结论，注意反证法的应用.(1)由题设，，又，所以，存在满足条件，又，则，综上，满足题设的数列有.(2)由题设，为，所以数列从开始依次往后各项可能出现的数字如下：，，，，，，，，…，要使的最小即正整数且间的间隔尽量小，又，则，综上，的最小值为.(3)由为数列，则，由为数列，则，又为数列，即，若不是单调数列，则存在，即，显然与矛盾；或存在，即，显然与矛盾；综上，是单调数列，充分性得证；由是单调数列且为数列，所以，则，则，即，所以、均为数列，必要性得证；综上，为数列且为数列”的充要条件是“是单调数列”.【点睛】关键点点睛：第二问，根据等比数列写出的各项，结合及数列的定义，有必是最靠前的项，再依次项判断后续各项数字出现规律，找到对应的最小位置.题型三：不等式1．（2020·上海市嘉定区第二中学高三期中）在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意；（2）对任意；（3）对任意．给出下列四个结论：①；②；③对任意；④存在．其中，所有正确结论的序号是__________．【答案】②③④【解析】根据给定的新运算得到的计算方法，再逐项计算并判断相应的结论是否成立，从而得到正确的序号.【详解】由题设有，对于①，，故①错误.对于②，，由①中结果可知，故②正确.对于③，对任意，而，故，故③正确.对于④，取，则，而，故，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】本题考查新定义背景下命题真假的判断，此题的关键是根据给出的运算规则得到的运算方法，本题属于较难题.2．（2022·上海·高三开学考试）有限集的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如的“积数”为2，的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为___________.【答案】1010【分析】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和，由此即可计算得到答案.【详解】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和当时，，成立；假设时，当时，综上可得，，则数集的所有非空子集的“积数”的和为：故答案为：1010.【点睛】关键点点睛：本题考查新定义“积数”的理解和运用，以及“积数”的和的求法，求证对于有限非空数集，积数和是解题的关键，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于难题.3．（2022·上海·高三专题练习）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：，（是自然对数的底数）.（1）解方程：；（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：________，并证明；（3）无穷数列，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）存在，.【分析】（1）由题意得，结合一元二次方程的解法及指数函数的性质求解即可；（2）类比两角和正弦公式有，结合已知双曲正余弦函数分别化简等式左右边的式子，判断是否相等即可.（3）若，假设，应用数学归纳法证明通项公式在上成立，则有，此时不成立；若，则，结合双曲余弦函数的值域为，求证，并应用数学归纳法证明在上成立，令求m值，即可确定值的存在性.【详解】（1）由题意得：，即，解得：；（2）左边，右边，∴左边等于右边，即成立（3）当时，存在，使得，由数学归纳法证明：，证明如下：ⅰ）当时，成立，ⅱ）假设时，，则成立.综上：.∴，有，即.当时，由，函数的值域为，对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得，类比余弦二倍角公式，猜测.证明如下：.类比时的数学归纳法，由，易证，，…，，…，∴若，设，则，解得：或，即，∴，于是.综上：存在实数使得成立.【点睛】关键点点睛：第三问，讨论、，应用类比方法分别假设、即，结合数学归纳法求证通项公式在上成立，进而令判断参数的存在性