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    2023届高考数学二轮培优微专题蝴蝶定理及应用含答案

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    2023届高考数学二轮培优微专题蝴蝶定理及应用含答案

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    这是一份2023届高考数学二轮培优微专题蝴蝶定理及应用含答案,共7页。试卷主要包含了蝴蝶定理,斜率形式等内容,欢迎下载使用。
    蝴蝶定理背景下的解析几何与应用1.蝴蝶定理:是二次曲线Ω的一条弦,的中点,过Ω的两条弦,其中位于的同一侧,直线分别交于点,则有.2.斜率形式结论1:分别为椭圆的左、右顶点,轴上一定点,过直线交椭圆于两点,连接,那么.证明:过轴,交椭圆于由椭圆对称性可知::进而据蝴蝶定理可知:,于是可得:. 结论2[1]:设抛物线的弦过定点,过点作非水平线两点,若直线轴交于定点,直线的斜率存在且非零,则3坎迪定理如图,过圆的弦上任意一点引任意两条弦,连接,则.坎迪定理的推广是二次曲线的任意一条弦,上任意一点,过作任意两条弦,连接交直线.(1)位于两侧,则(2)位于同一侧,,则.二.典例分析例12020一卷已知AB分别为椭圆Ea>1)的左、右顶点,GE的上顶点,P为直线x=6上的动点,PAE的另一交点为CPBE的另一交点为D1)求E的方程;2)证明:直线CD过定点.解析:依上述蝴蝶定理的内容:由于轴,交点,交椭圆于.显然为椭圆弦的中点,由蝴蝶定理:2.在平面直角坐标系中,已知圆,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线与半径相交于点,设点的轨迹为曲线1求曲线的方程;2,设过点的直线与曲线分别交于点,其中,求证:直线必过轴上的一定点。(其坐标与无关)解析:(1)曲线的方程为:(2)点的坐标为直线方程为:,即直线方程为:,即, 分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,解得:.时,直线方程为:,解得:. 此时必过点时,直线方程为:,与轴交点为.综上所述,直线必过轴上的一定点.注:依题,我们可以得到                       3.已知椭圆的离心率为,半焦距为,且,经过椭圆的左焦点,斜率为的直线与椭圆交于两点,为坐标原点.1求椭圆的标准方程.2,延长分别与椭圆交于两点,直线的斜率为,求证:为定值.解析:1由题意,得解得,故椭圆的方程为2,由已知,直线的方程为,即.由消去并整理,得,同理为定值.注:可以看到,椭圆中的蝴蝶构型在证明过程中会出现非对称韦达结构.例4.(2018年重庆预赛)设椭圆左、右顶点为, 过右焦点作非水平直线椭圆交于两点, 记直线的斜率分别为, 试证:  为定值, 并求此定值(用的函数表示).证明:设,代入椭圆方程, . 两式相除得,     .由题意知,     .  从而 .                    .                因为所以 .四.逆向思考:斜率之商为定值,是否恒过定点?前面我们围绕抛物线与椭圆中的蝴蝶定理,着力在证明斜率之商为定值!那么倘若,已知斜率之积为定值,又会出现什么样的情形呢?此时我们主要注意,在二次曲线中,斜率乘积为定值的模型是很重要的一类,而斜率之商在一定条件下可以转化为斜率之积,于是我们可以看到,在一些问题中,斜率之商为定值是可以得到一类定点问题!参考文献:[1]. 陈学忠.对一道斜率比为定值试题的拓展探究.[J].中学数学研究.2020.02.[2]. 吴宏考.蝴蝶定理的妙用及变式推广.[J].高中数学教与学.练习.(2022甲卷) 设抛物线的焦点为F,点,过F的直线交CMN两点.当直线MD垂直于x轴时,(1)C的方程;(2)设直线C的另一个交点分别为AB,记直线的倾斜角分别为.当取得最大值时,求直线AB的方程.解析:(1)抛物线的准线为,当x轴垂直时,点M的横坐标为p此时,所以,所以抛物线C的方程为.2,直线可得 ,代入抛物线方程可得,所以,同理可得,所以又因为直线MNAB的倾斜角分别为所以,若要使最大,则,则当且仅当时,等号成立,所以当最大时,,设直线,代入抛物线方程可得,所以,所以直线. 

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