2023届高考数学二轮培优微专题蝴蝶定理及应用含答案
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这是一份2023届高考数学二轮培优微专题蝴蝶定理及应用含答案,共7页。试卷主要包含了蝴蝶定理,斜率形式等内容,欢迎下载使用。
蝴蝶定理背景下的解析几何与应用1.蝴蝶定理:是二次曲线Ω的一条弦,是的中点,过作Ω的两条弦和,其中位于的同一侧,直线和分别交于点,则有.2.斜率形式结论1:分别为椭圆的左、右顶点,为轴上一定点,过直线交椭圆于两点,连接,那么.证明:过作轴,交椭圆于交于由椭圆对称性可知::进而据蝴蝶定理可知:,于是可得:. 结论2[1]:设抛物线的弦过定点,过点作非水平线交于两点,若直线与轴交于定点,直线的斜率存在且非零,则3坎迪定理如图,过圆的弦上任意一点引任意两条弦和,连接交于和,则.坎迪定理的推广设是二次曲线的任意一条弦,为上任意一点,过作任意两条弦和,连接、交直线于和.(1)若位于两侧,则;(2)若位于同一侧,,则.二.典例分析例1(2020一卷)已知A、B分别为椭圆E:(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.解析:依上述蝴蝶定理的内容:由于过作轴,交与点,交椭圆于.显然为椭圆弦的中点,由蝴蝶定理:,,例2.在平面直角坐标系中,已知圆,点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线与半径相交于点,设点的轨迹为曲线。(1)求曲线的方程;(2)若,设过点的直线与曲线分别交于点,其中,求证:直线必过轴上的一定点。(其坐标与无关)解析:(1)曲线的方程为:。(2)点的坐标为直线方程为:,即,直线方程为:,即, 分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,解得:.当时,直线方程为:令,解得:. 此时必过点;当时,直线方程为:,与轴交点为.综上所述,直线必过轴上的一定点.注:依题,我们可以得到 例3.已知椭圆的离心率为,半焦距为,且,经过椭圆的左焦点,斜率为的直线与椭圆交于,两点,为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程.(2)设,延长,分别与椭圆交于,两点,直线的斜率为,求证:为定值.解析:(1)由题意,得解得,∴,故椭圆的方程为.(2)设,,由已知,直线的方程为,即.由消去并整理,得.则,∵,∴,∴.∴,同理.,∵,,∴,∴为定值.注:可以看到,椭圆中的蝴蝶构型在证明过程中会出现非对称韦达结构.例4.(2018年重庆预赛)设椭圆的左、右顶点为, 过右焦点作非水平直线与椭圆交于两点, 记直线的斜率分别为, 试证: 为定值, 并求此定值(用的函数表示).证明:设,代入椭圆方程得,设 , 则,. 两式相除得, .由题意知, . 从而 . . 因为,所以 .四.逆向思考:斜率之商为定值,是否恒过定点?前面我们围绕抛物线与椭圆中的“蝴蝶定理”,着力在证明斜率之商为定值!那么倘若,已知斜率之积为定值,又会出现什么样的情形呢?此时我们主要注意,在二次曲线中,斜率乘积为定值的模型是很重要的一类,而斜率之商在一定条件下可以转化为斜率之积,于是我们可以看到,在一些问题中,斜率之商为定值是可以得到一类定点问题!参考文献:[1]. 陈学忠.对一道斜率比为定值试题的拓展探究.[J].中学数学研究.2020.02.[2]. 吴宏考.蝴蝶定理的妙用及变式推广.[J].高中数学教与学.练习.(2022甲卷) 设抛物线的焦点为F,点,过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,.(1)求C的方程;(2)设直线与C的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为.当取得最大值时,求直线AB的方程.解析:(1)抛物线的准线为,当与x轴垂直时,点M的横坐标为p,此时,所以,所以抛物线C的方程为.(2)设,直线,由可得,, ,,,代入抛物线方程可得,,所以,同理可得,所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为,所以,若要使最大,则,设,则,当且仅当即时,等号成立,所以当最大时,,设直线,代入抛物线方程可得,,所以,所以直线.
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