2023届高考数学模拟试题分类汇编数列含解析

这是一份2023届高考数学模拟试题分类汇编数列含解析，共13页。试卷主要包含了数列求通项，等比数列，累加型，累乘型，已知与关系，求，特征方程法等内容，欢迎下载使用。
 一．基本原理1.数列求通项类型1.等差数列：相邻两项递推形式：为常数，）或者相邻三项递推形式：.这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式：即可解决！类型2.等比数列：相邻两项递推：或.或者相邻三项递推：.注2：在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即，我们可以对其赋值得到一个等比数列.类型3.累加型类型4.()累乘型.类型5.型（待定系数法）一般形式：为常数，，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数，，令，则为等比数列，求出，再还原到，.类型6.型类型7.型.方法1.数学归纳法.方法2.，令，则，用累加法即可解决！类型8.型类型9.已知与关系，求.解题步骤：第1步：当代入求出；第2步：当，由写出；第3步：（）；第4步：将代入中进行验证，如果通过通项求出的跟实际的相等，则为整个数列的通项，若不相等，则数列写成分段形式，   类型9：已知前项积求. 类型10.特征方程法（强基层次）：型.求解方程：，根据方程根的情况，可分为：（1）若特征方程有两个相等的根，则（2）若特征方程有两个不等的根，则 2.数列求和类型1．倒序相加法类型2．公式法求和：用等差（等比）数列求和公式.类型3．裂项相消求和1.分母是等差数列相邻两项乘积，则：，则：.2.有理化后求和：.3.指对式裂相求和：，一般地，指数型：对数型：类型4：错位相减法型如的数列求和，其基本解题步骤如下：Step1：由题可得：           Step2：故①， ②Step3：由①－②得：Step4：化简：                    .类型5. 分组求和适用对象：主要适用于通项是由两部分不同的形式构成的数列，其次还适用于一些几项放在一起可以化简的数列.例如：型，可分别单独求出的前项和再求和.类型6. 并项求和在处理一些非等差，等比数列时，我们可以通过项的关系（相邻两项等），将其看成一个小组来计算，例如型，分奇偶后相邻两项之差就是一个公差，即常数列求和.3.数列放缩类型1.利用单调性放缩类型2. 先求和再放缩类型3.先放缩通项再求和这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点. 此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩. 当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.1．常见的裂项公式：例如：或者等2.一个重要的指数恒等式：次方差公式这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列.3.糖水不等式：设，则.类型4. 基于递推结构的放缩1.型：取倒数加配方法.2.二次递推型：.，然后裂项即可完成放缩，以2015浙江卷为例.4．数列中的计数问题的基本形式如下：记数列落在区间的个数为，讨论数列的性质.这种问题的关键就是利用数列自变量的计数功能，通过不等式，由于为正整数，从而实现对自变量的计数，当然，这里面需要一丝丝取整背景，需要读者注意.进一步：目前的题目的计算背景主要分布在去解下面三个不等式：①．②．③．5．欧拉函数及应用1.定义：欧拉函数是一个定义在正整数集上的函数,的值等于中与互素的数的个数.2.计算公式：（1）若为素数，则（2）若为素数，且，形成了一个等比数列.证明：即证.由的定义知等于从减去中与不互质的数的个数；亦即等于从减去中与不互质的数的个数.由于是质数，故等于从减去中被整除的数的个数.由于中被整除的数的个数是，故.（3）已知正整数的素因数分解式其中素数,证明：二．试题汇编例1.（2023届武汉9月调研）记数列的前项和为，已知（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.解析：（1）当为奇数且时，，且，也满足该式；当为偶数时，.综上，.（2）由（1）知：.故. 例2.（福建省部分地市2023届高三第一次质量检测）已知正项数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前50项和．解析：（1）依题意，当时，，解得，，当时，有，作差得：，所以，因为，所以，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以.（2）由（1）得，，又，同时，所以所以．所以的前50项和为2150．例3（福建省泉州市2023届高三毕业班质量检测一）已知数列各项均为正数，且．（1）求的通项公式（2）设，求．解析：（1）因为所以，，因为数列各项均为正数，即，所以，，即数列为等差数列，公差为，首项为.所以（2）解：由（1）知，其公差为，所以，所以，例4（广东省深圳市2023届高三第一次调研）记，为数列的前n项和，已知，．（1）求，并证明是等差数列；（2）求．解析：（1）已知，当时，，；当时，，，所以．因为①，所以②．②－①得，，整理得，，所以（常数），，所以是首项为6，公差为4的等差数列．（2）解：由（1）知，，，．当n为偶数时，；当n为奇数时，．综上所述，.例5（广州市2023届高三一模）已知等差数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解析：（1）设等差数列的公差为，依题意，，则所以，解得，所以.（2），所以，，两式相减得，所以.例6（湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研）记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且.（1）求数列的通项公式；（2）对所有正整数m，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前40项和.解析：（1）由，则，两式相减得：， 整理得：，即时，，所以时， ，又时，，得，也满足上式.故.（2）由.所以，又，所以前40项中有34项来自.故.例7.（江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且满足__________，__________.在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.（1）求的通项公式；（2）求.注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.解析：（1）若选①②，设公差为，则，解得：，；选①③，设公差为，，解得：，；选②③，设公差为，，解得：，；（2），.例8（山东省济南市23届高三上学期期末数学试题）定义:在数列中,若存在正整数,使得,都有,则称数列为“型数列”.已知数列满足.（1）证明:数列为“3型数列”;（2）若,数列的通项公式为,求数列的前15项和.解析：（1）解:由题知,所以有,且, ,所以数列为“3型数列”;（2）由（1）知,,所以,,,所以.例9（山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试）各项均为正数的数列，其前n项和记为，且满足对，都有．（1）求数列的通项公式；（2）设，证明：．解析：（1）由已知：对于， ， ，则 ∴ ，且数列各项均为正数∴，，因为，得，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，故.（2），，故，所以.例10（温州市2023届高三一模）已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合的元素个数为．（1）求，的值；（2）求最小自然数n的值，使得．解析：（1）设数列的公差为，由，，成等比数列，得，，解得，所以，时，集合中元素个数为，时，集合中元素个数为；（2）由（1）知，，时，=2001<2022，时，=4039>2022，记，显然数列是递增数列，所以所求的最小值是11.例11（长沙市2023届高三上学期新高考适应性考试）已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和．解析：（1）设的公差为，的公比为，，，联立，整理可得，解得，所以，.（2）解：由（1）知，则，①，②①-②，得.所以.例12．（2023·福建福州·统考二模）欧拉函数(n)(n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如：(1)=1，(4)=2．（1）求，；（2）令，求数列的前n项和．解析：（1）不超过9，且与其互质的数即为中排除掉3，6，9剩下的正整数，则；不超过27，且与其互质的数即为[1,27]中排除掉3，6，9，12，15，18，21，24，27剩下的正整数，则．（2）表示任意相邻的三个正整数，其中与互质的为与两个，故分别取可得中与互质的正整数个数为，所以，所以．设数列的前项和为．，∴，两式相减得：，则．例13．（2023·广东汕头·统考一模）已知为正项数列的前n项的乘积，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求（表示不超过x的最大整数）．解析：（1）由题意知为正项数列的前n项的乘积，，故，所以，即，所以，即，所以，当时，，解得，所以，结合，可知数列 是常数列，所以，所以，所以．（2）由（1）可得，则，由于，故，且，故，.例14．（2023·山东临沂·统考一模）已知数列为等比数列，是与的等差中项，为的前项和．（1）求的通项公式及；（2）集合A为正整数集的某一子集，对于正整数，若存在正整数，使得，则，否则．记数列满足，求的前20项和．解析：（1）设的公比为是与的等差中项，，，∴，．（2）由题意知，，又，，即，故．又，．例15．（2023·山东日照·统考一模）在数列中，.（1）求的通项公式；（2）证明：.解析：（1）因为，①则当时，，即，当时，，②①②得，所以，也满足，故对任意的，.（2）证明：，所以．，，即结论成立.例16．（2023·云南·统考一模）记数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设m为整数，且对任意，，求m的最小值．解析：（1）因为，所以，当时，，故，且不满足上式，故数列的通项公式为（2）设，则，当时，，故，于是．整理可得，所以，又，所以符合题设条件的m的最小值为7．