2023届高三数学二轮复习大题强化训练（十二）含答案

这是一份2023届高三数学二轮复习大题强化训练（十二）含答案，共14页。试卷主要包含了记的内角的对边分别为，已知．，已知函数，为的导数．证明，100等内容，欢迎下载使用。
  2023届大题强化训练(12)1.记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】（1）证明：因为，所以，所以，即，所以；（2）解：因为，由（1）得，由余弦定理可得， 则，所以，故，所以，所以的周长为.2.在①；②；③，，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．已知正项数列前n项和为，且______，（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列满足，求证：．【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】（1）选择条件①，因为，所以，因为，所以，则，当时，，所以两式相减得：，即，则，当时，，所以符合上式，所以；选择条件②，因为，当时，，所以两式相减得：，整理得，因为，所以，当时，，所以或（舍），所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则；选择条件③，因为，所以，累乘得：，，所以，，又符合式子，所以，，当时，，所以两式相减得：，即，又符合上式，所以；（2）由（1）得：，则，所以.3.2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出庄严承诺．目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为．用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区．（1）完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关． 超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区   山区10  总计   附：，其中．0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828（2）根据这100个样本数据，将频率视为概率．为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）列联表见解析，有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关；    （2）分布列见解析，数学期望.【解析】（1）由频率分布直方图可知，收入超过1.5万元的家庭的频率为，所以收入超过1.5万元的家庭的户数有户，又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为，抽取了100户，故平原地区的共有60户，山区地区的共有40户，又样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区，所以超过1.5万元的有40户居住在平原地区，不超过1.5万元的有20户住在平原地区，有30户住在山区地区，故2019年家庭年收入与地区的列联表如下： 超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区402060山区103040总计5050100则，所以有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关．（2）由（1）可知，选1户家庭在平原的概率为，山区的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，所以，，，，，所以X的分布列为：X01234P因为X服从二项分布，所以X的数学期望．4.如图矩形中，，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度．【答案】（1）证明见解析    （2）    （3）【解析】（1）证明：设O为矩形对角线的中点，∴．即．∴O为三棱锥外接球的球心．又∵三棱锥外接球表面积为，∴外接球半径为2．即．过P点作，垂足为E，过点C作，垂足为F，则，，，， ∴而，在中，满足∴为直角三角形，∵，，∴平面．又∵平面，∴平面平面．（2）以E为坐标原点，所在直线分别为x轴、z轴，以平面内过E且垂直于的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可知：且设平面的法向量为，得，取，则，设平面的法向量为，得，取，则设平面与平面夹角为，则所以平面与平面夹角余弦值为是．（3）由（2）中空间直角坐标系可设N为，，，，取平面法向量为．∵直线与直线与平面所成角相等，∴得：整理得：，即∵N点在边及其内部，∴N的轨迹为圆落在边及内部的部分．∴轨迹长度为半径为1的圆周长为．得∴N点轨迹长度为．5.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点．P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程；（3）若，且，求的最大值．【答案】（1）    （2）    （3）【解析】（1）双曲线的顶点坐标为，故，由题意得，故，故椭圆的方程为．（2）因为，，所以的方程为，由，解得点Q的坐标为．设过P，Q，三点的圆为，则，解得，，，所以圆的方程为；（3）设，，则，，因为，所以，即，所以，解得，所以，因为，所以，当且仅当，即时，取等号．最大值为．6.已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由题意知：定义域为：且令，，在上单调递减，在上单调递减在上单调递减又，，使得当时，；时，即在上单调递增；在上单调递减则为唯一的极大值点即：在区间上存在唯一的极大值点.（2）由（1）知：，①当时，由（1）可知在上单调递增    在上单调递减又为在上的唯一零点②当时，在上单调递增，在上单调递减又    在上单调递增，此时，不存在零点又，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，此时不存在零点③当时，单调递减，单调递减在上单调递减又，即，又在上单调递减在上存在唯一零点④当时，，即在上不存在零点综上所述：有且仅有个零点