2023届江苏省南通市高三三模数学试题及答案

南通市2023届高三第三次调研测试

数学考前模拟 参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1. A   2. A   3. B   4. D   5. A   6. B   7. D   8. D  

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

9. CD    10. ABD    11. BD    12. ABD  

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.         14.    

 15.        16.  ;(答对一空得2分，答对两空得5分)

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.解：（1）①，，2，，
故X的分布列为：

②，
记，
，
作差可得，，
则，即证.
当时，，
则试验成本的期望小于4a，又获利5a大于成本的期望，则应该投资.

18.解：（1）证明：因为，，
所以为等边三角形，故， 
又因为，，所以，所以， 
又，，AC，平面， 所以平面

（2）如图，
 

设E为的中点，连结，DE，作于
因为平面，，  所以平面， 
又，平面，所以，， 
因为，所以三角形ABC为直角三角形，
又因为，，所以，
在中，，D为的中点，所以，
又，平面，平面，所以平面
因为 ，所以平面，
因为平面，所以， 
又因为，，，平面，
所以平面，所以直线与平面所成角为
在中，，，，
所以，所以
因此，直线与平面所成角的正弦值为

19解：（1）设等差数列的公差为d，
，是和的等比中项，，
即，解得，
是各项均为正数的等差数列，，
，
两式相减得：，
当时，，，
是以2为首项，2为公比的等比数列．

（2）①解：因为，所以
所以……

②解：当i为奇数时，设

当i为偶数时，设，
，
，
故，
 

20.解：如图1，，，

所以，

因为，，、

所以，

故，则，即，

又，则，故，

不妨记，，则，

因为，

所以，解得，则，

因为，所以，

所以；

.

如图2，不妨设与内切圆的半径分别为r与R，

因为BD平分，

所以由角平分线性质定理得，记，则，

记，则，

因为，

所以，

所以，即，
因为，即，解得

设顶点B到AC的距离为h，
则，

又

，

所以，则，

令，则，，

所以，

因为，所以，则，故，

所以，即，

所以，故，

所以与内切圆半径之比的取值范围为

21.（1）由题设得、，设点，由题意可得，
即，即，得，则，
直线BE的斜率为，
所以直线BF的方程是，即，
联立，消去y可得，
直线BF与双曲线C有2个交点，则，
因为满足方程，由韦达定理得，解得，

所以，得已经成立，
因此只需，因为，可得，
所以，
因为，所以，所以，可得，
所以的取值范围是；
（2）由（1）可知，
，
所以，即，
因为，则，则，
所以，因此AE不可能是的三等分线.

22.略