2022-2023学年广东省汕头市龙湖区翠英中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省汕头市龙湖区翠英中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知菱形的对角线和的长分别为和，则菱形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.   B.
C.  D.

4.  下列各组数为勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  菱形具有而矩形不一定具有的性质是(    )

A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 两组对边分别相等

6.  如图，在平行四边形中，垂直于，是垂足．如果，那么的角度为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在如图所示的网格中，小正方形的边长均为，的顶点，，均在正方形格点上，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D. 点到直线的距离是

8.  下列二次根式中为最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  以下说法不正确的是(    )

A. 平行四边形是轴对称图形 B. 矩形对角线相等
C. 正方形对角线互相垂直平分 D. 菱形四条边相等

10.  九章算术是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  代数式有意义时，应满足的条件是          ．

12.  ______．

13.  如图，平行四边形的周长为，对角线，相交于点，是的中点，，则的周长是______．

14.  若与最简二次根式可以合并，则        ．

15.  如图，在中，，在斜边上截取，过点作交于点已知，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
化简：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面米处折断倒下，树顶落在离树根米处．大树在折断之前高多少？

19.  本小题分
如图，菱形中，是对角线上的一点，连接、，求证：．

20.  本小题分
如图，平行四边形的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，．
求证：．

21.  本小题分
填空： ______ ， ______ ， ______ ， ______ ；
观察第题的计算结果回答：一定等于吗？利用你总结的规律计算：，其中．

22.  本小题分
如图：在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长至点，使，连接．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，中，，以为边在的左侧作正方形，过点作，垂足为点，交于点，如图．
求证：；
若点是的中点，的长为，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：与是同类二次根式的是，
故选：．
各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．
此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，，
菱形的面积．
故选：．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题．
本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半，属于中考常考题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：、 ，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则，二次根式的混合运算法则，分别计算，即可得出答案．
此题主要考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
【解答】
解：，故此选项错误；
B.，故此选项错误；
C.因为，故此选项错误；
D.常用勾股数有，故此选项正确．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】解：选项A，菱形和矩形都是特殊的平行四边形，两组对边分别平行，不符合题意；
选项B，矩形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，不符合题意；
选项C，菱形的对角线互相平分且互相垂直，而矩形的对角线相等且互相平分但不垂直，符合题意；
选项D，菱形和矩形都是平行四边形，对边都相等，不符合题意．
故选：．
菱形的性质有四边相等，对角相等，对角线平分、垂直且平分每组对角；矩形的性质有对边相等，四角相等，对角线平分且相等．
本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
．
故选：．
由在▱中，，根据平行四边形的对角相等，即可求得的度数，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，，即，故选项A正确，不符合题意；
，
，
，
是直角三角形，，故选项B正确，不符合题意；
，故选项C错误，符合题意；
过点作于点，

则，
解得，
即点到直线的距离是，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
根据题意和题目中的数据，利用勾股定理，可以得到、、的值，然后即可判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据最简二次根式的定义，中被开方数是，得不是最简二次根式，故A不符合题意．
B.根据最简二次根式的定义，是最简二次根式，故B符合题意．
C.根据最简二次根式的定义，，不是最简二次根式，故C不符合题意．
D.根据最简二次根式的定义，，得不是最简二次根式，故D不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的定义二次根式的不含分母的被开方数不存在开方开得尽的因数或因式，则称为最简二次根式解决此题．
本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，
故A错误；
由矩形的性质可知，矩形的对角线相等，
故B正确；
由正方形的性质可知，正方形的对角线互相垂直平分，
故C正确；
由菱形的性质可知，菱形的四条边相等，
故D正确，
故选：．
由平行四边形的性质可知，平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，可判断A错误；
因为矩形的两条对角线相等，所以B正确；
由正方形的对角线互相垂直平分可判断C正确；
由菱形的性质可知，菱形的四条边相等，可判断D正确．
此题重点考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，正确理解平行四边形与特殊的平行四边形之间的区别和联系是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设门的宽为尺，则门的高为尺，
依题意得：．
故选：．
设门的宽为尺，则门的高为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意，得，
解得．
故答案是：．
根据二次根式的被开方数是非负数得到．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为．
利用平方差公式进行计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
 

13.【答案】 

【解析】解：平行四边形的周长为，
，
，，
，
，
，
的周长为，
故答案为：．
利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：与最简二次根式可以合并，，
，
解得：．
故答案为：
把化为最简根式，然后根据同类次根式的定义列出方程求解即可．
本题主要考查同类二次根式的概念，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，由勾股定理可求的长，的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
 

16.【答案】解：



． 

【解析】先进行二次根式的化简，再进行二次根式的加减运算，合并同类二次根式．
此题考查了二次根式的加减运算能力，关键是能按先化简，后加减的顺序进行正确计算．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的加法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

18.【答案】解：由勾股定理得：，
所以折断部分为米，
大树高为：米，
答：大树折断前高为米． 

【解析】先根据大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形利用勾股定理求出折断部分的长，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出折断部分的长，再由大树的高度即可得出结论．
 

19.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
≌，
． 

【解析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答是解题的关键．
根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
点，分别为，的中点，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】利用证明≌后利用全等三角形对应边相等即可证得结论．
考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识是解决问题的关键．
 

21.【答案】      

【解析】解：，，，；
故答案为：，，，．
由知，当时，；当时，；
，
，，
原式．
根据二次根式的性质进行化简，即可求解；
根据的计算结果，得出当时，；当时，；然后根据规律进行化简，即可求解．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是能够熟练运用二次根式的性质进行运算．
 

22.【答案】解：在菱形中，，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
在菱形中，，
，
，
在矩形中，，
，
在中，，
解得：． 

【解析】由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形；
在菱形中，，可得，在中，有，即可求解．
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握菱形的性质是解答本题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，即，
在和中，
，
≌，
；
解：点是的中点，的长为，
，
由知，
，
，
设，
在中，，
，
在中，，
，
解联立成的关于、的方程可得，
的长是． 

【解析】由四边形是正方形，得，，又，由“字形”可得，从而≌，；
根据点是的中点，的长为，得，，设，在中，有，在中，得，即可解得的长是．
本题考查正方形性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，能熟练应用勾股定理列方程．