广东省汕头市2023届高三二模数学试题

2023年汕头市普通高考第二次模拟考试试题数学

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，且，则的取值集合为（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由集合和元素的关系及并集的定义讨论即可.

【详解】由题意可得：或

若，此时，集合的元素有重复，不符合题意；

若，解得或，显然时符合题意，而同上，集合的元素有重复，不符合题意；

故.

故选：B

2. 电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（    ）

A.  B. 27 C.  D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】根据分步乘法计数原理易得答案.

【详解】分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成种颜色.

故选：A.

3. 已知复数z满足，则z等于（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先利用复数运算求得复数z进而求得z的三角形式.

【详解】由，可得

则，则

故选：C

4. 在中，已知C=45°，，，则角B为（    ）

A. 30 B. 60 C. 30或150 D. 60或120

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦定理，求得，结合，即可求解.

【详解】在中，由正弦定理可得，

又因为，可得，即，所以.

故选：A.

5. 已知函数，则的大致图象为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数判定单调性即可得出选项.

【详解】，

令，所以在和上单调递增，

故选：C

6. 已知，，，则有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用对数的运算化简，可比较与的大小；分别计算与的大小关系，可比较，利用选项排除可得答案．

【详解】，，排除B，C选项

，排除D

故选：A

【点睛】本题考查比较对数大小，考查对数的运算性质，属于中档题．

7. 已知，，是三个平面，，，，且，则下列结论正确是（    ）

A. 直线b与直线c可能是异面直线 B. 直线a与直线c可能平行

C. 直线a，b，c必然交于一点（即三线共点） D. 直线c与平面可能平行

【答案】C

【解析】

【分析】先由点，线，面的位置关系得到直线a，b，c必然交于一点，AB错误，C正确；再利用假设法推出D错误.

【详解】ABC选项，因为，，，

所以，

因为，所以，

所以直线a，b，c必然交于一点（即三线共点），AB错误，C正确；

D选项，假设直线c与平面平行，

假设直线c与平面 α 平行，由，可知，

这与矛盾，故假设不成立，D错误.

故选：C

8. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.若函数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】通过二次求导可得，求出的图像的对称中心为，得到，据此规律求和即可.

【详解】由，可得，

令，可得，又，

所以的图像的对称中心为，

即，

所以

，

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知曲线，，则下列结论正确的是（    ）

A. 曲线C可能是圆，也可能是直线

B. 曲线C可能是焦点在轴上的椭圆

C. 当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆

D. 当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案.

【详解】设，故曲线C的方程可表示为，

对A，当时，曲线C的方程为，可得，此时曲线C为两条直线；

当时，曲线C的方程为，此时曲线C是一个圆；故A正确；

对B，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确；

对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则越大，椭圆越扁，故C错误；

对D，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，

此时离心率为，由，可得，

即它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确.

故选：ABD.

10. 在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C. 的余弦值为 D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】求得的长度判断选项A；求得的长度判断选项B；求得的余弦值判断选项C；求得的化简结果判断选项D.

【详解】连接PC，并延长交AB于Q，

中，，，，

则，,

，

，

，

选项A:

.判断正确；

选项B:

.判断正确；

选项C:

.判断错误；

选项D: .

判断正确.

故选：ABD

11. 已知数列为为等差数列，，，前项和为.数列满足，则下列结论正确的是（    ）

A. 数列的通项公式为

B. 数列是递减数列

C. 数列是等差数列

D. 数列中任意三项不能构成等比数列

【答案】ACD

【解析】

【分析】求得数列的通项公式判断选项A；求得数列单调性判断选项B；利用等差数列定义判断选项C；利用反证法证明选项D正确.

【详解】数列为为等差数列，，，则其公差，

则，则选项A判断正确；

则数列前项和，

则，

由，

可得数列是等差数列且是递增数列.

则选项B判断错误；选项C判断正确；

假设为等差数列中三项，且构成等比数列，

则，即，

整理得，

由，可得，这与矛盾.则不成立；

又由为整数，为无理数，

可得不成立.则假设不成立.

即数列中任意三项不能构成等比数列.判断正确.

故选：ACD

12. 已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为，设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（    ）

A. 当时，

B. V存在最大值

C. 当r在区间内变化时，V逐渐减小

D. 当r在区间内变化时，V先增大后减小

【答案】BD

【解析】

【分析】通过题意得到圆台体积V关于外接球半径r的函数，容易判断A；利用导数探讨该函数的单调性和最值，可以判断B,C,D.

【详解】设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为，点为上底面圆周上任意一点，

圆台的高为，球的半径为，

如图所示，

则

，

对选项不正确；

，

设，则，

令可得，解得，

知，且当；

2)，在单调递增，在单调递减，

由，

，使得，当，即

当，即，所以在单调递增，在单调递减，则B，D正确，C错误，

故选：BD.

【点睛】本题考察圆台的体积与外接球半径的函数关系.关键在于建立函数模型，然后利用导数研究其单调性与及最值，用到了隐零点及二次求导，属于较难题.

第Ⅱ卷  非选择题

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 与圆关于直线对称的圆的标准方程是______.

【答案】

【解析】

【分析】先求得所求圆的圆心坐标，进而得到该圆的标准方程.

【详解】圆的圆心，半径，

点关于直线对称的点坐标为

则所求圆的标准方程为

故答案为：

14. 已知，则______.

【答案】2

【解析】

【分析】利用赋值法计算即可.

【详解】由，

令，则，

令，则，

∴.

故答案为：2.

15. 某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法，平均每个人需要化验______次.（结果保留四位有效数字）（，，）.

【答案】0.4262

【解析】

【分析】设每个人需要的化验次数为X，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得，从而确定正确答案.

【详解】设每个人需要的化验次数为X，

若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则；

因此，X的分布列为，，

，

说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.4262次.

故答案为：0.4262.

16. 阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆上任意一点的切线方程为．若已知△ABC内接于椭圆E：，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则______．

【答案】4

【解析】

【分析】设、、，由重心的性质有、、，写出过切线方程并求交点坐标，进而判断△重心也为O，再由在椭圆上可得、、共线，即分别是的中点，即可确定面积比.

【详解】若、、，则的中点、、，

由O为△ABC的重心，则、、，

所以、、，可得，

由题设，过切线分别为、、，

所以，，，

所以，同理，即△重心也为O，

又、、，可得、、，

所以，同理可得、，

所以、、共线，

综上，分别是的中点，则

【点睛】关键点点睛：设点坐标及过切线方程，并求出坐标，利用重心的性质确定△重心为O，并求证分别是的中点即可.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据如下：

以行驶里程为横坐标、轮胎凹槽深度为纵坐标作散点图，如图所示.

（1）根据散点图，可认为散点集中在直线附近，由此判断行驶里程与轮胎凹槽深度线性相关，并计算得如下数据，请求出行驶里程与轮胎凹槽深度的相关系数（保留两位有效数字），并推断它们线性相关程度的强弱；

附：相关系数

（2）通过散点图，也可认为散点集中在曲线附近，考虑使用对数回归模型，并求得经验回归方程及该模型的决定系数.已知（1）中的线性回归模型为，在同一坐标系作出这两个模型，据图直观回答：哪个模型的拟合效果更好？并用决定系数验证你的观察所得.

附：线性回归模型中，决定系数等于相关系数的平方，即.

【答案】（1），相关性较强   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）直接根据相关系数的计算公式求得，从而可判断相关性较强；

（2）由图像可直观判断，再求出线性回归模型的决定系数，从而可判断对数回归模型的拟合度更高.

【小问1详解】

由题意，，

∵，∴，

∴行驶里程与轮胎凹楳深度成负相关，且相关性较强.

【小问2详解】

由图像可知，车胎凹槽深度与对数回归预报值残差、偏离更小，拟合度更高，线性回归预报值偏美较大.

由题（1）得线性回归模型的相关系数，

决定系数，

由题意，对数回归模型的决定系数，

∵，∴对数回归模型的拟合度更高.

18. 已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）若，求函数的单调区间.

【答案】（1）   

（2）的单调递增区间为，单调递减区间为

【解析】

【分析】（1）先列出关于x不等式组，解之即可求得函数的定义域；

（2）先化简解析式，再利用正弦函数的单调性即可求得函数的单调区间.

【小问1详解】

，即，则，即，

又有意义，则，，

综上可得，，，则函数的定义域为

【小问2详解】

∵，则，

由，解得，

由，解得，

即的单调递增区间为，单调递减区间为

19. 如图，正方体中，直线平面，，.

（1）设，，试在所给图中作出直线，使得，并说明理由；

（2）设点A与（1）中所作直线确定平面.

①求平面与平面ABCD的夹角的余弦值；

②请在备用图中作出平面截正方体所得的截面，并写出作法.

【答案】（1）答案见解析；   

（2）①；②答案见解析.

【解析】

【分析】（1）取和中点分别为P、Q，利用正方体的性质结合线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；

（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得；设直线交于，连接分别交于，进而可得截面.

【小问1详解】

由题意，P、Q分别为和的中点吋，有，

证明过程如下：连接，取和中点分别为P、Q，连接，

∵，∴一定过经过点E,∴PQ即为所求作的l.

∵P、Q分别为和的中点，∴P、Q为的中位线，

∴，且PQ过经过点E，

∵正方体的的上底面为正方形.

∴，∵，∴，

又∵正方体的侧棱垂直底面，，

∴，又∵，平面，.

∴平面，∵平面，

∴，即；

【小问2详解】

①连接AP，AQ，∵正方体中，有AD，DC，DD两两垂直，以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

设正方体边长为2，则有，，，，，

所以，，

∵正方体的侧棱垂直底面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.

设平面，即平面APQ的法向量，则，.

∴，，即

令，则，.

∴平面APQ的一个法向量.

，，，

设平面与平面ABCD的夹角的平面角为，

则；

②设直线交于，连接分别交于，连接，则平面即为平面截正方体所得的截面，如图所示.

20. 已知各项均为正数的数列满足：，且

（1）设，求数列的通项公式

（2）设，求，并确定最小正整数，使得为整数．

【答案】（1） ； （2）；9．

【解析】

【分析】（1）由递推关系可得，从而可得，即可得出答案

（2）由，根据（1）中的答案，可求出的表达式，结合二项式定理可得答案.

【详解】（1）

是公比为2的等比数列，

，

（2）

若为整数，因为  ，即

能被整除

所以可得时，能被整除

的最小值是

21. 如图，、为双曲线的左、右焦点，抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，设与在第一象限的交点为，且，，为钝角.

（1）求双曲线与抛物线的方程；

（2）过作不垂直于轴的直线l，依次交的右支、于A、B、C、D四点，设M为AD中点，N为BC中点，试探究是否为定值.若是，求此定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）是定值

【解析】

【分析】（1）由双曲线及抛物线定义先得，，再得代入双曲线方程解方程即可；

（2）设l及A、B、C、D四点纵坐标依次为，

将转化为，利用韦达定理计算即可.

【小问1详解】

由双曲线的定义可知：，

设抛物线方程为：，则由题意可得，即.

由抛物线定义可得：，代入抛物线方程得：，代入双曲线方程得：，

故双曲线方程为：；抛物线方程为：

小问2详解】

由题意可设，点A、B、C、D的纵坐标依次为，

分别联立直线l与双曲线、抛物线方程可得：得：

，

由双曲线性质可得：，故有，

因为M、N分别为AD、BC的中点，故其纵坐标依次为：

所以

是定值.

【点睛】本题考察直线与双曲线的位置关系综合，属于压轴题.关键在于将转化为几个点纵坐标的关系，结合韦达定理计算可得结果.需要较高的计算能力，认真仔细方可解决问题.

22. 已知函数，，.

（1）若函数存在极值点，且，其中，求证：；

（2）用表示m，n中的最小值，记函数，，若函数有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）先利用导数求得函数存在极值点，再分类讨论即可证得；

（2）按x分三类讨论，利用导数即可求得函数有且仅有三个不同的零点时实数a的取值范围.

【小问1详解】

由题意，，，

当时，恒成立，没有极值.

当时，令，即，解之得，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，， 单调递增.

∴时，有极大值为，

时，有极小值为，

当时，要证，即证，

代入计算有，，，

则有符合题意，即得证；

当时，要证，即证，

代入计算有，，，

则有符合题意，即得证.

综上，当为极大值点和极小值点时，均成立.

【小问2详解】

①当时，，∴，

故函数在时无零点；

②当时，，，若，则，

，故是函数的一个零点；

若，则，∴，故时函数无零点.

③当时，，因此只需要考虑，

由题意，，，

㈠当时，恒成立，

∴在上单调递增，，∴在恒成立，

即在内无零点，也即在内无零点；

㈡当时，，恒成立，

∴在上单调递减，

即在内有1个零点，也即在内有1个零点；

㈢时，函数在上单调递减，

∴，

若，即时，

在内无零点，也即在内无零点；

若，即时，在内有唯一的一个零点，

也即在内有唯一的零点；

若，即时，由，，

∴时，在内有两个零点.

综上所述，当时，函数有3个零点.

【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.