2023年江苏省南京市金陵中学教育集团中考数学调研试卷（3月份）（含解析）

2023年江苏省南京市金陵中学教育集团中考数学调研试卷（3月份）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，点以点为旋转中心，把点按逆时针方向旋转，得点在，，，四个点中，直线经过的点是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，直角梯形中，，，，，是直线上一点，使得与相似，这样的点的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  要使有意义，则的取值范围是        ．

8.  分解因式：          ．

9.  芯片正在成为需求的焦点，其中的米，将用科学记数法表示为______ ．

10.  计算的结果是______．

11.  已知有一个根是，则的值是______ ．

12.  如图，内接于，，连接，则 ______ ．

13.  如图所示，小区内有个圆形花坛，点在弦上，，，，则这个花坛的半径为______ ．

14.  点，是函数的图象上的两点，若，则 ______ ．

15.  已知点、、在二次函数的图象上，且为抛物线的顶点若，则的取值范围是______ ．

16.  如图，中，，，，为内心，过点的直线分别与、边相交于点、若，则线段的长为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
化简：．

18.  本小题分
解关于的不等式组：，并求出它所有整数解的和．

19.  本小题分
如图，在四边形中，，点是四边形内一点，且满足，求证：
；
四边形是菱形．

20.  本小题分
某工程队准备修建一条长的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加，结果提前天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？

21.  本小题分
年月日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕某市举行“学习二十大奋进新征程”知识竞答活动，共有道必答选择题，每道选择题都有、、三个选项，有且只有一个选项是正确的小明已答对前题，答对最后两道题就能顺利通关假设最后这两道题小明都不会，只能从所有选项中随机选择一个．
小明答对第题的概率是______ ；
小明在第题和第道题各使用一次“求助”每使用一次“求助”可以让主持人在选项中去掉一个错误选项请你用画树状图或列表的方法分析小明竞答通关的概率有多大？

22.  本小题分
年月日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，并对成绩百分制进行整理，信息如下：
成绩频数分布表：

成绩在这一组的是单位：分：
                                 
根据以上信息，回答下列问题：
在这次测试中，成绩的中位数是______分，成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为______．
这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．

23.  本小题分
月日，天舟四号货运飞船由长征七号遥五运载火箭成功发射已知火箭长为，点火后，前火箭竖直上升如图所示，发射后火箭上升到位置，此时在监测点处测得火箭顶端的仰角为，火箭底端的仰角为，求火箭前上升的平均速度用非特殊角的三角函数表示

24.  本小题分
小林同学从家出发，步行到离家米的公园散步，速度为米分钟；分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离米与小林出发的时间分钟的函数关系如图所示．
小林家与公园之间的路程为______ 米；
求哥哥返回家的过程中与之间的函数关系式；
小林与哥哥先后两次相遇的时间间隔为______ 分钟．

25.  本小题分
如图，在中，直线是边的垂直平分线，分别交、于点、其中，图：，图：小于
要求：
用尺规分别在直线上找一点，使得．
保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
 

26.  本小题分
已知在中，，点平分，平分，过点、、的分别交、于点、．
求的度数；
求证：；
已知，求的半径．

27.  本小题分
已知二次函数．
求证：该函数图象与轴必有交点；
当时，该函数图象顶点的最低点坐标是______ ，______
如图，若点、、、四个点构成一个正方形方框，随着的变化，函数的图象也不断发生变化；此时图象与方框的交点个数为，请直接写出的值以及相应的的范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为．
所以的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义，乘积是的两个数互为倒数解答即可．
本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是的两个数互为倒数．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据图示，可得，且，
，
选项A不符合题意；

，
选项B不符合题意；

，且，
，
选项C符合题意；

，且，
，
选项D不符合题意．
故选：．
根据图示，可得，且，据此逐项判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法判断选项；根据去括号法则判断选项；根据单项式乘多项式判断选项；根据完全平方公式判断选项．
本题考查了整式的混合运算，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积．
故选：．
根据圆内接多边形的周长小于圆周长，再利用夹逼法对即可选择答案．
此题主要考查了正多边形与圆，关键是知道圆内接多边形的周长小于圆周长．
 

5.【答案】 

【解析】解：点，点，

轴，，
由旋转得：，，
如图，过点作轴于，
，
，，
，
设直线的解析式为：，
则，
，
直线的解析式为：，
当时，，，
点不在直线上，
当时，，
在直线上，
当时，，
不在直线上，
当时，，
不在直线上．
故选：．
根据含角的直角三角形的性质可得，利用待定系数法可得直线的解析式，依次将，，，四个点的一个坐标代入中可解答．
本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点的坐标是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：直角梯形中，，，，，，
点在的延长线上，如图所示：
，
，，
∽，
：：，
即：：，
，
在的延长线上存在一个满足条件的点；
点在线段上，如图所示：
当∽时，
：：，
：：，
解得；
当∽时，
：：，
即：：，
整理得，
，
不存在满足条件的点，
在线段上存在一个满足条件的点；
点在线段的延长线上，如图所示：
当∽时，
可得：：，
：：，
解得或舍去；
当∽时，
，，
此种情况不存在满足条件的点，
在的延长线上，存在一个满足条件的点，
综上所述，满足条件的点有个，
故选：．
分情况讨论：点在的延长线上，点在线段上，点在线段的延长线上，分别求解即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意分情况讨论．
 

7.【答案】 

【解析】解：有意义，
，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可求解．
本题考查了二次根式意义的的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查提公因式与公式法相结合的因式分解．掌握因式分解的常见方法是解题的关键．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式．
故答案为：．  

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为．
先分母有理化，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

11.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得，
即的值为．
故答案为：．
把代入原方程得，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，
，，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据圆周角定理可得，再利用三角形内角和定理可得答案．
本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作，垂足为，
是弦，，，，
，
，


，


．
故答案为：．
通过作弦心距，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理进行计算即可．
本题考查垂径定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：点，是函数的图象上的两点，
，，
，即，
解得：．
故答案为：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可用含，，的代数式表示出，，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的对称轴为直线．
点为抛物线顶点，且，
抛物线开口向下，
，、，
的中点位于对称轴的左侧，
，
解得，
故答案为：．
由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，由，可得抛物线开口向下，根据点，到对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
 

16.【答案】或 

【解析】解：如图，过点的直线分别与、边相交于点、，连接，，
为的内心，
平分，平分，
，，
当时，则，
，
，
，
，
则，
设，，
在中，，
，
即，
解得
，
过点作，作，如图，
点为的内心，
，
在和中，

≌，
，
，
在和中，公共，，
∽，
，
，
解得：，
，
答案为：或．
连接，，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当时，，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的内心，理解三角形内心的概念，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
 

17.【答案】解：原式


．
原式


． 

【解析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、立方根的性质以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查实数的混合运算以及分式的混合运算，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、立方根的性质、特殊角的锐角三角函数的值、分式的加减运算以及分式的乘除运算，本题属于基础题型．
 

18.【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
所以不等式组的解集为，
所以原不等式组的整数解是、、、，
所以所有整数解的和为． 

【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数求其和即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

19.【答案】证明：如图，延长至，

，
，
，
，
同理，
，
即，
又，
；
如图，连接，

，，，
≌，
，
同理：≌，
，
，
即，
由可知，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形． 

【解析】延长至，由等腰三角形的性质得，再由三角形的外角性质证出，同理，则，即可解决问题；
连接，证≌，得，同理≌，得，则，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】解：设原计划每天修建盲道米，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
答：原计划每天修建盲道米． 

【解析】设原计划每天修建盲道米，根据实际比原计划提前天完成任务，列分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，读懂题意并据题意建立等量关系是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：每道选择题都有、、三个选项，有且只有一个选项是正确的，
小明答对第题的概率是．
假设表示第题正确的选项，、表示第题错误的选项；表示第题正确的选项，、表示第题错误的选项；
每使用一次“求助”可以让主持人在选项中去掉一个错误选项，
假设第题，第题去掉的错误选项都是．
列表如下：

由列表可知，共有种等可能的结果，小明顺利通过的只有种情况，所以小明能够顺利通关的概率为．
根据求概率的公式，即可求解；
假设表示第题正确的选项，、表示第题错误的选项；表示第题正确的选项，、表示第题错误的选项；列表即可求解．
本题考查概率的知识，解题的关键是正确列出表格进行求解．
 

22.【答案】；  ；
不正确，
因为甲的成绩分低于中位数分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；
测试成绩不低于分的人数占测试人数的，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好答案不唯一，合理均可． 

【解析】解：这次测试成绩的中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据分别为，，
分，
所以这组数据的中位数是分，
成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为，
故答案为：，；
不正确，
因为甲的成绩分低于中位数分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；
测试成绩不低于分的人数占测试人数的，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好答案不唯一，合理均可．
根据中位数的定义求解即可，用不低于分的人数除以被测试人数即可；
根据中位数的意义求解即可；
答案不唯一，合理均可．
本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：连接，

在中，，
，
在中，，
，
，
，
火箭前上升的平均速度，
火箭前上升的平均速度为． 

【解析】连接，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后再求出平均速度，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：由图象可得，
小林家与公园之间的路程为：米，
故答案为：；
设哥哥返回家的过程中与之间的函数关系式是，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即哥哥返回家的过程中与之间的函数关系式是；
哥哥的速度为：米分钟，
设小林出发分钟时，两人相遇，
第一次相遇时，，
解得；
第二次相遇时，，
解得；
分钟，
即小林与哥哥先后两次相遇的时间间隔为分钟，
故答案为：．
根据图象中的数据和小林的速度，可以求得小林家与公园之间的路程；
根据图象可知：点，在哥哥返回家的过程中与之间的函数图象上，然后即可求得该函数的解析式；
可以分别计算出两次时间，然后作差即可得到小林与哥哥先后两次相遇的时间间隔．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

25.【答案】解：如下图：点即为所求；

图中：以为圆心，长为半径作弧，与的交点即为所求；
图中：以为圆心，为半径作圆，再过作圆的切线，与的交点即为点． 

【解析】图根据线段的垂直平分线的性质和等边对等角作图；
图根据线段的垂直平分线的性质和圆的切线长定理作图；
根据中的作法进行说明．
本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质和切线长定理是解题的关键．
 

26.【答案】解：在中，，点平分，
，
，
平分，
，
；
证明：连接，在中，，
，
由知，
是等边三角形，
，
，，
∽，
，
；
解：连接，，
，
是的直径，
，
由知，，
是等边三角形，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
设，
，，，
，
，
解得，
，
的半径为． 

【解析】根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论；
连接，根据三角形的内角和定理得到，由知，推出是等边三角形，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论；
连接，，根据圆周角定理得到是的直径，根据等边三角形的性质得到，求得，得到，求得，设，根据勾股定理即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】   

【解析】证明：令，得，
，
二次函数的图象与轴必有交点；
解：，
设函数顶点纵坐标为，则，
，
，
当时，的最小值为，
此时二次函数解析式为，
该函数图象顶点的最低点坐标是，
故答案为：，；
解：令，则，
或，
抛物线必过点，抛物线的对称轴为直线，
由知顶点坐标为，
当时，如图，

，
抛物线的对称轴在直线的左侧，
抛物线在对称轴左侧的部分与正方形方框无交点，
在正方形方框内部，
抛物线在对称轴右侧的部分与正方形方框有两个交点，
当时，；
当时，
，
抛物线的对称轴直线在直线的右侧，
Ⅰ若抛物线过，则，
解得，
此时抛物线顶点为，顶点在直线上方，如图：

由图可知时，；
Ⅱ当时，如图：

此时抛物线顶点在直线上方，抛物线在对称轴直线左侧的部分与正方形方框无交点，
时，；
Ⅲ当顶点在线段上时，如图：

此时，
解得此时顶点在线段上，舍去或，
由图可知，时，；
Ⅳ当时，如图：

此时顶点在直线上方，抛物线与正方形方框有个交点，
时，；
Ⅴ当对称轴直线过时，如图：

，
解得，
此时抛物线顶点为，
时，；
Ⅵ当时，抛物线顶点在正方形方块内部，故；
Ⅶ当，即时，如图：

此时抛物线顶点在正方形方块内部，
时，，
Ⅷ当，即时，抛物线顶点为，如图：

时，；
Ⅸ当时，如图：

此时抛物线在对称轴右侧部分与正方形方块无交点，
；
综上所述，时，当时，当或时，当时，当时．
利用一元二次方程根的情况判断抛物线与轴的交点情况；
由，设函数顶点纵坐标为，则，由二次函数性质可得答案．
令，得或，故抛物线必过点，抛物线的对称轴为直线，由知顶点坐标为，再分情况讨论．
本题考查四边形综合应用，涉及二次函数的性质及应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．