2023年江苏省徐州市铜山区中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省徐州市铜山区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  近期我国多地出现甲流传播，为了防止被传染，小明同学连续天进行了体温测量，结果统计如下表：

这天中，小明体温的众数和中位数分别为(    )

A. 度，度 B. 度，度 C. 度，度 D. 度，度

5.  如图，已知在锐角中，，是的角平分线，是上一点，连结，若，，则的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列说法中，正确的是对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；对角线相等的四边形是矩形；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆是弧，但弧不一定是半圆．(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，动点从点出发，沿线段以单位长度秒的速度运动，当点与点重合时，整个运动停止以为一边向上作正方形，若设运动时间为秒，正方形与重合部分的面积为，则下列能大致反映与的函数关系的图象是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的数学的魅力一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形阴影部分，则图中的长应是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.  函数中，自变量的取值范围是______．

10.  年月日第十四届全国人民代表大会第一次会议在人民大会堂召开在政府工作报告中指出，年全年国内生产总值增长，城镇新增就业人口人，年末城镇调查失业率降到其中用科学记数法可以表示为______ ．

11.  写出一个随增大而增大的一次函数的解析式：______．

12.  若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是          ．

13.  如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为          ．
 

14.  用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是          ．

15.  如图，的边长为将平移得到，且，则阴影部分的面积为______．

16.  如图，已知是的弦，，，垂足为，的延长线交于点若是所对的圆周角，则的度数是______．

17.  我国古代数学著作张丘建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问：鸡翁、母、雏各几何”意思为：一只公鸡值钱，一只母鸡值钱，三只小鸡值钱，现有钱，要买只鸡，问：公鸡、母鸡、小鸡各多少只若已知小鸡只，设公鸡、母鸡的只数分别为、，请列出关于、的二元一次方程组：______ ．

18.  如图，在矩形中，，，平分，点在线段上过点作交边于点，交边于点，则 ______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
解方程：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中；
解不等式组：．

21.  本小题分
有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，和．
小美从乙袋中随机取出一个小球，则小球上数字为正数的概率是______ ；
小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为，借助表格或树状图求的概率．

22.  本小题分
如图，已知：，，、相交于点．
求证：；
若，，求的长度．

23.  本小题分
为创建“绿色校园”，某学校准备将校园内一块长，宽的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为多少米？注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形

24.  本小题分
某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊病人的两个生理指标，，他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如图：根据以上信息，回答下列问题：
在这名被调查者中，指标大于的有______ 人；将名患者的指标的平均数记作，方差记作，名非患者的指标的平均数记作，方差记作，则 ______ ， ______ 填“”，“”或“”；
来该院就诊的名非患者中，估计指标低于的大约有______ 人；
若将“指标低于，且指标低于”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率是多少？

25.  本小题分
如图，在中，，以为直径的与交于点，连接．
求证：．
若与相切，求的度数．
用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点不写作法，保留作图痕迹

26.  本小题分
我市一级风景区如图为了缅怀在宿北大战中献身的革命先烈，在山顶建有一座“宿北大战纪念碑亭”学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华同学决定用自己学到的知识测量“宿北大战纪念碑亭”的高度如图，已知，斜坡的坡度为：，斜坡的水平长度为米，在坡顶处的同一水平面上矗立着“宿北大战纪念碑亭”，在斜坡底处测得该碑亭的亭顶的仰角为，在坡顶处测得该碑亭的亭顶的仰角为求：
坡顶到地面的距离；
求碑亭的高度结果保留根号．

27.  本小题分
问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图，已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．
尝试证明：
请参照小慧提供的思路，利用图证明：；
应用拓展：
如图，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．
若，，求的长；
若，，求的长用含，的式子表示．
 

28.  本小题分
如图，抛物线与直线交于，两点，直线：交轴于点点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点．
求抛物线的表达式；
连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以，，，为顶点的四边形是矩形？求出此时点，的坐标；
在的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的相反数是，
故选：．
根据相反数的意义，即可解答．
本题考查了实数的性质，相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，理解公式结构是关键，需要熟练掌握并灵活运用．
根据合并同类项法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式以及平方差公式即可作出判断．
【解答】
解：、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：由表知，数据出现次，次数最多，
所以这组数据的众数为，
中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：，是的角平分线，
，，
在中，，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故该项正确；
、对角线相等的平行四边形为矩形，故该选项错误；
、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项错误；
、弧分为优弧、劣弧、半圆弧，则半圆是弧，但弧不一定是半圆，故该项正确；
故选：．
根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧分为优弧、劣弧、半圆弧分别判断即可．
本题考查基本概念，熟记知识点是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，正方形与重合部分的面积为正方形的面积，
，
此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线；
当时，与相交于，与相交于，如图所示：
此时正方形与重合部分的面积为正方形的面积减去三角形的面积，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
二次函数的图象为开口向下的抛物线，
故选：．

分、两种情况，通过画图确定矩形的位置，进而求解．
本题考查的是动点问题的函数图象，解直角三角形和正方形的性质等知识，确定函数表达式是本题解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，

地毯被平均分成份，
每一个小正方形的面积为，
每一个小正方形的边长为，
，
在中，，
，
．
故选：．
根据裁剪和拼接的线段关系可知，在中应用勾股定理即可求解．
本题考查图形的拼剪，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是求出的长，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
根据二次根式的有意义的条件：被开方数大于等于，就可以求解．
【解答】

解：依题意，得，
解得：，
故答案为．

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值大于的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少，据此可以解答．
本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
此题比较简单，考查的是一次函数的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
根据一次函数的性质，只要使一次项系数大于即可．
【解答】
解：例如：，或等，答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解决本题的关键．
根据一元二次方程根的情况知，解不等式即可．
【解答】
解：关于的一元二次方程有实数根，
．
．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是概率的求法．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率先得出随机闭合开关，，中的两个，有种方法，再找出使灯泡发光的情况数，然后运用概率公式求解即可．
【解答】
解：因为随机闭合开关，，中的两个，有种方法：，；，，；其中有种；，能够让灯泡发光，
所以灯泡发光．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆锥的计算，理解扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，从而列出方程是解决问题的关键．
设这个圆锥的底面圆的半径为，利用扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，列出方程，解方程即可得出答案．
【解答】
解：设这个圆锥的底面圆的半径为，
由题意得：，
解得：，
这个圆锥的底面圆的半径为．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：由平移可知，阴影部分的面积等于四边形的面积，
故答案为：．
根据平移的性质得出阴影部分的面积等于四边形的面积解答即可．
本题考查了四边形的面积公式和平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出，进而得出，由圆周角定理得出，得出答案．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理是解决问题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设公鸡、母鸡的只数分别为、，根据题意得：
．
故答案为：．
设公鸡、母鸡的只数分别为、，根据“一只公鸡值钱，一只母鸡值钱，三只小鸡值钱，现有钱，要买只鸡”，列出方程组，即可求解．
本题主要考查了二元一次方程组的应用．明确题意，准确列出方程组是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作的垂线，分别交、于点、，则，延长交于点，

四边形是矩形，，，
，，
平分，
，
、、是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，
在和中，

，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，，
设，则，
，
，
，
．
即．
故答案为：．
作辅助线，构建相似三角形和全等三角形，先根据是等腰直角三角形求和的长，证明≌，得，；再利用和平行线分线段成比例定理依次列比例式，求和的长，设，列方程可求得的长．
本题考查了矩形的性质、全等三角形、平行线分线段成比例定理，此题应用得知识点较多，恰当地作辅助线是本题的关键，根据构建的平行线列比例式求线段的长，本题还利用了勾股定理求线段的长，从而使问题得以解决．
 

19.【答案】解：

；

去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
原方程的解为． 

【解析】先根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质化简，再计算，即可求解；
先去分母，把分式方程化为整式方程，然后解出整式方程，再检验，即可求解．
本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：

，
当时，原式；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为． 

【解析】先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解；
分别求出两个不等式的解集，即可求解．
本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
小美从乙袋中随机取出一个小球，则小球上数字为正数的概率是；
故答案为：；
根据题意，列出表格如下：

一共有种等可能结果，其中的有种，
的概率为．
直接根据概率公式计算，即可求解；
根据题意，列出表格可得一共有种等可能结果，其中的有种，再由概率公式计算，即可求解．
本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
 

22.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
；

≌，
，
，
，
，
在中，，
在中，． 

【解析】根据定理推出≌，求出，再根据等角等边求出即可；
由≌得，由得，则，根据勾股定理即可求解．
本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：，，，，直角三角形全等还有定理．
 

23.【答案】解：设小道进出口的宽度为米，依题意得
，
整理，得．
解得，，
不合题意，舍去，
．
答：小道进出口的宽度应为米． 

【解析】设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为列出方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程．
 

24.【答案】       

【解析】解：根据图象可得，指标大于的有人，
故答案为：．
由图象可得：名患者的指标的取值范围是，名非患者的指标的取值范围是，位置相对比较集中，
，，
故答案为：，．
由图象可得，调查的名非患者中，指标低于的有人，
来该院就诊的名非患者中，指标低于的大约人，
故答案为：．
由图象可得，指标低于，且指标低于的有人，而患者有人，
则发生漏判的概率是：．
根据图象，数出直线上方的人数即可；由图象可得：名患者的指标的取值范围是，名非患者的指标的取值范围是，位置相对比较集中，因此即可求解．
利用样本估计总体，用乘样本中非患者指标低于所占百分比即可．
数出指标低于，且指标低于的人数，而患者有人，求出患病的概率即可求出答案．
本题考查了平均数、方差的意义，利用样本估计总体，以及概率公式，从图中获取有用信息是解题关键．
 

25.【答案】证明：是直径，
，
，
，
；
解：与相切，为直径，
，
，
是等腰直角三角形，
；
解：如图，

作的角平分线交于点，则点即是劣弧的中点． 

【解析】由圆周角定理得出，再由等腰三角形的性质即可证明；
由切线的性质得出，由，得出是等腰直角三角形，即可求出；
利用尺规作图，作的平分线交于点，则点即是劣弧的中点．
本题考查了圆的综合应用，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，圆的切线的性质，等腰直角三角形的性质，尺规作图等知识是解决问题的关键．
 

26.【答案】解：如图，过点作于点，

斜坡的坡度为：，斜坡的水平长度为米，
米，
即坡顶到地面的距离米；
过点作于点，则米，
设米，
在中，，
即，
解得：，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
即，
解得：，
即碑亭的高度为米． 

【解析】过点作于点，根据斜坡的坡度为：，可求出米，即可求解；
过点作于点，则米，设米，在和中，利用锐角三角函数，即可求解．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
 

27.【答案】证明：，
，，
∽，
，
是的角平分线，
，
又，
，
，
．
解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，，
由可知，，
又，，
，
，
，
，
，
，
；
；
将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，，，
，
由可知，，
，
，
又，
，
，
． 

【解析】证明∽，由相似三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
由折叠的性质可得出，，由可知，，由勾股定理求出，则可求出答案；
由折叠的性质得出，则，方法同可求出，则可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

28.【答案】解：点，在抛物线上，
，
，
抛物线的解析式为；

设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
设，
，
四边形是平行四边形，
，
，

．

如图，
由知，直线的解析式为，
设，
直线：，
，
设，
以点，，，为顶点的四边形是矩形，
直线的解析式为，直线：，
，
为对角线，
与互相平分，
，，
，，
；

如图，
由知，，，，
，，
设交于，取的中点，
，
连接交于，连接，
，
，
，
，，
∽，
，
，
的最小值，
设点，
，
，
，
，
或由于，所以舍去，
，
，
，
即：． 

【解析】利用待定系数法求出抛物线解析式；
先利用待定系数法求出直线的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；
先判断出要以点，，，为顶点的四边形是矩形，只有为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；
先取的中点进而判断出∽即可得出，连接交圆于，再求出点的坐标即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解的关键是掌握待定系数法，解的关键是利用平行四边形的对边相等建立方程求解，解的关键是利用中点坐标公式建立方程求解，解的关键是构造相似三角形，是一道中等难度的题目．