2022-2023学年广东省汕尾中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省汕尾中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列长度的线段中，能组成直角三角形的一组是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2.  下列数据中不能作为直角三角形的三边长是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3.  若，化简(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，以数轴的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，，的平分线交于点，若，，则点到直线的距离是．(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在平行四边形中，点，，，和，，，分别和的五等分点，点，和，分别是和的三等分点，已知四边形的面积为，则平行四边形面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在▱中，，，点、分别在，上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如果四边形是平行四边形，，且的长是四边形周长的，那么的长是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  化简结果为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，是▱的边延长线上一点，连接，，，交于点，添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  一个正数有______ 个平方根；的平方根为______ ；在实数范围内，______ 没有平方根．

12.  已知为正整数，是整数，则的最小值是______ ．

13.  若整数满足条件且，则的值是______．

14.  若与互为相反数，则的值为______ ．

15.  若，则 ______ ．

16.  如图，四边形是平行四边形，点是中点，连接，交于点，若，，则的长是______．

17.  如图，在中，，，，将折叠，使点落在边上，对应点为，若折痕与边交于点、与边交于点，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共42.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图所示为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图所示．已知展开图中每个正方形的边长为．
求该展开图中可画出最长线段的长度，在平面图中画出所有最长线段，写出条数．
试比较立体图中与平面展开图中的大小关系．

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
计算下列各题：
；
．

21.  本小题分
观察下列一组算式的特征，并探索规律：
；
；
；
．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
____________；
______；用含的代数式表示
简便计算：．

22.  本小题分
如图，已知等边的边长为，、、分别是、、边上的点均不与点、、重合，记的周长为．
若、、分别是、、边上的中点，则 ______ ；
若、、分别是、、边上任意点，则的取值范围是______ ．
小亮和小明对第问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将以边为轴翻折一次得，再将以为轴翻折一次得，如图所示则由轴对称的性质可知，，根据两点之间线段最短，可得老师听了后说：“你的想法很好，但的长度会因点的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折次就可以了”请参考他们的想法，写出你的答案．
 

23.  本小题分
如图，在▱中，是它的一条对角线，过，两点分别作，，垂足分别为，，延长，分别交，于点，．
求证：四边形是平行四边形．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，符合勾股定理的逆定理，故选项错误；
B、，符合勾股定理的逆定理，故选项错误；
C、，符合勾股定理的逆定理，故选项错误；
D、，不符合勾股定理的逆定理，故选项正确．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理：在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
原式，
故选：．
根据公式可知：，由于，所以，再去绝对值，化简．
本题主要考查二次根式的化简，难度中等偏难．
 

4.【答案】 

【解析】解：由勾股定理可知，
，
点表示的数是，
故选：．
根据勾股定理列式求出的长，即可得出结果．
本题考查了正方形的性质、勾股定理、圆的半径等知识；熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，
由角平分线定理得点到直线的距离等于的长度，
故点到直线的距离是；
故选：．
本题需先根据已知条件得出的长，再根据角平分线性质定理得点到直线的距离等于的长度，即可求出答案．
本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、点到直线的距离等知识，在解题时要能灵活应用各个知识点是本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设平行四边形的面积是，设，边上的高是，边上的高是．
则即．
与全等，，边上的高是．
则和的面积是．
同理与的面积是．
则四边形的面积是，即，
解得．
故选C．
可以设平行四边形的面积是，根据等分点的定义利用平行四边形的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解．
考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于点，设交于点，

四边形是平行四边形，
，，，，
由折叠得：，，，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
如图，延长交于点，设交于点，利用平行四边形性质可得：，，，，利用折叠变换的性质可得：，，，，再运用直角三角形性质和勾股定理即可求得答案．
本题考查了平行四边形中的翻折问题，直角三角形性质，勾股定理等，解题的关键是掌握翻折的性质，运用勾股定理解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，且的长是四边形周长的，
四边形周长为：，
，
．
故选C．
由，且的长是四边形周长的，即可求得四边形周长，又由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．熟记平行四边形的各种性质定理是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：有意义，
，
解得：，
原式，
故选：．
利用二次根式的定义可得，然后再利用二次根式性质、绝对值的性质进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的性质，以及绝对值的性质，关键是掌握．
 

10.【答案】 

【解析】解：、，
，
，
，
，
同理，，
不能判定四边形为平行四边形；故A错误；
，
，
在与中，，
≌，
，
，
四边形为平行四边形，故B正确；
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，故C正确；
，
，
，
，
四边形为平行四边形，故D正确，
故选：．
根据平行线的性质得到，求得，求得，同理，，不能判定四边形为平行四边形；故A错误；根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形为平行四边形，故B正确；根据平行四边形的性质得到，，求得，，推出，于是得到四边形为平行四边形，故C正确；根据平行线的性质得到，推出，于是得到四边形为平行四边形，故D正确．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

11.【答案】两    负数 

【解析】解：一个正数有两个平方根；的平方根为；在实数范围内，负数没有平方根，
故答案为：两；；负数．
根据平方根的意义，即可解答．
本题考查了实数，平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
要使是整数，的最小正整数为．
故填：．
如果一个根式是整数，则被开方数是完全平方数，首先把化简，然后求的最小值．
本题考查了二次根式的意义，主要考查学生的理解能力和求值能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
 

13.【答案】或 

【解析】解：
，即
又，
，且为整数，
或．
故答案为：或．
先根据二次根式的意义求得，再估算，根据是整数和的取值范围即可求得的值．
主要考查了二次根式的定义和无理数的估算．注意：被开方数是非负数，当时，．
 

14.【答案】 

【解析】解：与互为相反数，
，
，，
，，
的值为，
故答案为：．
据非负数的性质，即可求得，的值，代入即可求得代数式的值．
本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意知：且．
所以．
所以．
所以．
所以．
故答案为：．
由二次根式的被开方数是非负数求得，继而得到，然后代入求值即可．
此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
点是中点，
，
，
∽，
，
．
故答案为．
利用平行四边形的性质得到，，则，再证明∽，然后利用相似比可计算出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，当点与点重合时，此时有最大值，

将折叠，
，
即的最大值为；
当点与点重合时，此时有最小值，
在中，，，，
，
将折叠，
，
，
即的最小值为，
的取值范围是，
故答案为：．
利用特殊位置，由折叠的性质分别求出的最大值和最小值，即可求解．
本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：由勾股定理可得最长线段的长为．
能画条，如图所示：


结论：与相等．
理由：连接．

在立体图中，易得，
又在平面展开图中，对于和有
，
≌．
．
，
，
即，
． 

【解析】利用勾股定理即可解决问题，画出最长的线段即可．
利用全等三角形的性质解决问题即可．
本题考查作图应用与设计，几何体的展开图，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解；原式


；
原式

． 

【解析】根据幂的乘方与积的乘方法则、负整数指数幂的运算法则进行计算即可；
先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查的是二次根式的加减法及幂的乘方与积的乘方法则、负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式


；


． 

【解析】根据分母有理化、二次根式的化简、零指数幂进行计算即可；
根据二次根式的换件、零指数幂、绝对值的代数意义、负整数指数幂进行计算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算、分母有理化、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序是解题关键．
 

21.【答案】    

【解析】解：，
，
故答案为：，；
由可得，
，
故答案为：；
由得，




．
根据代数式所呈现的规律可得答案；
得出，再利用求和公式求出结果即可；
将原式化为中的形式，利用简便方法求出结果即可．
本题考查算术平方根，列代数式，数字变化类，理解算术平方根的意义，发现数字变化类所呈现的规律是解决问题的关键．
 

22.【答案】  

【解析】解：等边的边长为，
，
、、分别是、、边上的中点，
，，，
的周长为；


根据题意与由轴对称的性质可知，，
，，分别是各边的中点时，、、、共线，
当与分别是与的中点时，最小值为：，
，
的取值范围是：．
故答案为：，．
根据三角形的中位线的性质即可求得答案；
根据翻折变换的性质将翻折次，再利用梯形的性质求解即可．
此题考查了三角形与梯形中位线的性质，以及翻折变换的性质．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
即，
四边形是平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质得，证出，即可得出结论．
本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键熟练掌握平行四边形的判定与性质，属于中考常考题型．