2022-2023学年江苏省常州实验中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省常州实验中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列长度的三条线段能组成三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  若三角形的底边为，对应的高为，则此三角形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知二元一次方程组，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，下列说法错误的是(    )

A. 如果，则
B. 如果，则
C. 如果，则
D. 如果，则
 

6.  已知，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是的中线，点在上，，若的面积是，则的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”如，所以就是“幸福数”下列数中为“幸福数”的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共9小题，共18.0分）

9.  计算： ______ ．

10.  世界卫生组织公布的数据表明，成人每日应该摄入的维生素约为克，那么数据“”用科学记数法表示为______ ．

11.  一个多边形每个外角都是，这个多边形的边数是          ．

12.  写出二元一次方程的一个正整数解是______ ．

13.  已知，，则代数式的值为______ ．

14.  如图所示，，，则的度数是______．

15.  如图，沿着由点到点的方向，平移到若，，则平移的距离是______ ．

16.  已知：，则的值为______ ．

17.  如图所示，中，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则 ______ 度

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：
；
；
．

19.  本小题分
因式分解：
；
；
．

20.  本小题分
已知关于，的二元一次方程组．
解该方程组；
若上述方程组的解是关于，的二元一次方程的一组解，求代数式的值．

21.  本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，的顶点在网格的格点上小正方形的顶点即为格点，借助网格完成以下任务．
在图中画出的高，中线；
将向右平移格，再向上平移格；
在图中画出平移后的；
图中与相等的角是______ ．

22.  本小题分
如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接若．
求证：．
若，平分，求的度数．

23.  本小题分
定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
若是“准互余三角形”，，，则的度数是______ ；
若是直角三角形，．
如图，若是的平分线，请判断是否为“准互余三角形”？并说明理由．
点是边上一点，是“准互余三角形”，若，则的度数是______ ．

24.  本小题分
在“整式乘法与因式分解”一章的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性，根据课堂学习的经验，解决下列问题：

如图，有若干张类、类正方形卡片和类长方形卡片其中，若取张类卡片、张类卡片、张类卡片拼成如图的长方形，借助图形，将多项式分解因式： ______ ．
若现有张类卡片，张类卡片，张类卡片，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分，则拼成的正方形的边长最大是______ ．
若取张类卡片和张类卡片按图、两种方式摆放，求图中，大正方形中未被个小正方形覆盖部分的面积______ 用含、的代数式表示．

25.  本小题分
在中，平分交于点，点是线段上的动点不与点重合，过点作交射线于点，的角平分线所在直线与射线交于点．

如图，点在线段上运动．
若，，则的度数是______ ；
若，则 ______ ；
探究与之间的数量关系，并说明理由；
若点在线段上运动时，与之间的数量关系与中的数量关系是否相同？若不同，请直接写出与之间的数量关系，不需说理．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D符合题意，
故选：．
分别运用合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除和幂的乘方进行求解、辨别．
此题考查了合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除和幂的乘方的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不能组成三角形，不符合题意；
B、，不能组成三角形，不符合题意；
C、，能组成三角形，符合题意；
D、，不能组成三角形，不符合题意．
故选：．
判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可．
本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题关键是掌握两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度，三角形两边之差小于第三边．
 

3.【答案】 

【解析】解：三角形的底边为，对应的高为，
此三角形的面积为：．
故选：．
直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，得，
，得，
解得，
将代入，得，
方程组的解为，
．
故选：．
利用加减消元法求出二元一次方程组的解，即可得出答案．
本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤．
 

5.【答案】 

【解析】解：如果，则，
故A说法正确，不符合题意；
如果，则，
故B说法正确，不符合题意；
如果，则，
故C说法正确，不符合题意；
如果，则，
故D说法错误，符合题意；
故选：．
根据平行线的判定与性质求解判断即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
运用同底数幂除法法则进行求解．
此题考查了运用同底数幂除法解决相关问题的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
：：：：．
又的面积是，
．
是的边上的中线，
，
：：：，
，
．
故选：．
与是同高的两个三角形；与是等底同高的两个三角形．
本题考查了三角形的面积．中线能把三角形的面积平分，利用这个结论就可以求出三角形的面积．
 

8.【答案】 

【解析】解：假设是“幸福数”，则，则，即，那么是“幸福数”，故A符合题意．
B.假设是“幸福数”，则，则，那么不是“幸福数”，故B不符合题意．
C.假设是“幸福数”，则，则，那么不是“幸福数”，故C不符合题意．
D.假设是“幸福数”，则，则，那么不是“幸福数”，故D不符合题意．
故选：．
根据平方差公式解决此题．
本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
根据负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义即可求出答案．
本题考查负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用科学记数法的知识即可解答．
本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与的个数的关系要掌握好．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．
利用任何多边形的外角和是除以每个外角度数即可求出答案．
【解答】
解：多边形的边数是，
故答案为：．  

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：原方程可变形为：，
由于方程的解是正整数，
所以为不大于的奇数．
当时，；
当时，；
所以满足条件的正整数有：，．
故答案为：答案不唯一．
先变形二元一次方程，用含一个字母的代数式表示另一个字母，根据奇偶性，可得结论．
本题考查了二元一次方程，理解方程解的意义是解决本题的关键．解决本题亦可通过试验的办法．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
逆用平方差公式进行简便计算．
本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质，可以得到，再根据邻补角互补可以得到，然后即可求得的度数．
本题考查平行线的性质、邻补角，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意平移的距离为，
故答案为：．
观察图象，发现平移前后，、对应，、对应，根据平移的性质，易得平移的距离，进而可得答案．
本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行或在同一直线上且相等，对应线段平行或在同一直线上且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．任何一对对应点所连线段的长度都等于平移的距离．
 

16.【答案】 

【解析】解：由可得，
．
故答案为：．
由可得，根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则可得，再把代入计算即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：
．
沿翻折得，
，．
，
．
，
．
．
．
故答案为：．
先由平行线的性质得到与的关系，再由折叠得到与、与的关系，最后利用三角形的内角和定理求出．
本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，掌握“折叠前后的两个图形全等”、“两直线平行内错角相等”及“三角形的内角和是”等知识点是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：


；



；



． 

【解析】先算幂的乘方和积的乘方，再算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可；
先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算；
先根据平方差公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：

；



；


． 

【解析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可；
先提取公因式，再用公式法因式分解即可；
先用平方差公式，再用完全平方公式因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
原方程组的解为；
是关于，的二元一次方程的一组解，
，
解得：，


，
当时，原式． 

【解析】利用加减消元法解二元一次方程组即可；
将，代入二元一次方程中，解得，再根据整式的混合运算法则将代数式化简，最后将的值代入即可求解．
本题考查了解二元一次方程组、整式的混合运算化简求值、二元一次方程的解，解答本题关键是掌握解二元一次方程组的方法．解二元一次方程组的方法：用代入法解二元一次方程组的一般步骤：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程，求出或的值；将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；把求得的、的值用“”联立起来，就是方程组的解．用加减法解二元一次方程组的一般步骤：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程，求得未知数的值；将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值；把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
 

21.【答案】， 

【解析】解：如图所示，线段、即为所求；

如图所示，即为所求；
由平移的性质知，，
，
故答案为：，．
根据三角形的高和中线的概念作图即可；
将三个顶点分别向右平移格，再向上平移格得到其对应点，继而首尾顺次连接即可；
根据平移的性质可得答案．
本题主要考查作图平移变换和三角形的高和中线的概念，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
 

22.【答案】解：，
，
，
，
．
，
，
平分，
，
，
，
，
． 

【解析】因为，可知，再根据，可知，进而可证明．
由可知，再根据平分可求，再由三角形外角的性质可求．
本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和三角形外角的性质进行角的转化和计算．
 

23.【答案】  或 

【解析】解：是“准互余三角形”，，，
，
，
故答案为：；
是“准互余三角形”，
理由：是的平分线，
，
，
，
，
是“准互余三角形”，
是“准互余三角形”
或，
，
或，
当，时，，
当，时，，
的度数为：或．
根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是；
由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答，
由题意可得，所以分两种情况，，．
本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
 

24.【答案】     

【解析】解：由图可知，；
故答案为：；
张边长为的正方形纸片的面积是，
张边长分别为、的矩形纸片的面积是，
张边长为的正方形纸片的面积是，
，
拼成的正方形的边长最长可以为，
故答案为：．
设小正方形的边长为，大正方形的边长为，
由图知，，
由图知，，
，，
的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积．
故答案为：．
根据图中长方形的面积长宽可直接得出结论；
若想拼成最大的正方形，需要用到的类卡片最多，且是某一个数的平方，类卡片全用，由此凑成完全平方即可得出结论；
利用大正方形的面积减去个小正方形的面积即可求解．
此题考查整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：，平分，
，
，，
，，
平分，
，
；
，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
；
，，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
；
故答案为：，；
当点在线段上，若交于点，

由知：，，
，
，
，
，，且，
，，
即




；
当点在的延长线上，若交于点，

，
，
，




；
综上，点在射线上运动时，或．
根据角平分线的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理即可求解；
根据三角形内角和定理先求出，再利用角平分线的性质和平行线的性质即可求解；
由即可推出数量关系；
分为点在线段上和点在的延长线上，分别作出图形，即可求解．
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握分类讨论的思想，难点在于需要考虑点在线段上和点在的延长线上．