2022-2023学年浙江省嘉兴市平湖市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省嘉兴市平湖市八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  四根木棒的长度分别为，，，，现从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则这样的取法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

2.  把点向下平移个单位，所得的点与点关于轴对称，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列直线中，与直线：垂直的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若不等式组的解是，则下列各式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点落在边上的点处，若是等腰三角形，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  对于实数，，定义一种运算“”：，那么不等式组的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若直线与函数的图象恰好有一个交点，则实数的取值范围是(    )

A.  B. 或
C.  D. 或

8.  在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将个全等的小正方形嵌入长方形内部，其中点，，，分别在长方形的边，，和上，若，，则小正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

9.  已知点的坐标是，则点到原点的距离是______ ．

10.  在平面直角坐标系内，线段平行于轴，且，若点的坐标为，则点的坐标是______ ．

11.  如图，在等边三角形的、边上各取一点、，使，、相交于点，则的度数为______ ．

12.  若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是______ ．

13.  如图，等腰三角形的底边的长为，周长为，腰的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上的一个动点，则的周长的最小值为______ ．

14.  已知直角三角形的一直角边长为，另两边的长为自然数，则满足条件的所有三角形的面积之和为______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
解下列关于的不等式：
；
．

16.  本小题分
在平面直角坐标系中，过点的直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点、．
求点的坐标；
若直线垂直平分线段，求直线的函数表达式．

17.  本小题分
如图，在中，、分别是、边上的高线，是的中点，连结、、．
求证：；
若，求的度数．

18.  本小题分
要从甲、乙两仓库向，两工地运送水泥，已知甲、乙两个仓库分别可运出吨和吨水泥；，两工地分别需要水泥吨和吨，从两仓库运往，两工地的运费单价如表：

设甲仓库运往工地水泥吨，求总运费关于的函数表达式及自变量的取值范围；
当甲仓库运往工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
若甲仓库运往工地的运费下降了元吨，则最省的总运费为多少元？

19.  本小题分
如图，中，，，，点，是边上的两个动点，点从点出发沿着以每秒的速度向终点运动；点同时从点出发沿着以每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒．
当时，求的面积；
当为何值时，．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：四根木棒的长度分别为，，，，现从中取三根，共有种取法，
，，，，可以组成三角形；
，，，，不可以组成三角形；
，，，，可以组成三角形；
，，，，可以组成三角形．
能组成三角形，这样的取法共有种．
故选：．
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
 

2.【答案】 

【解析】解：点向下平移个单位后点坐标为，
所得的点与点关于轴对称，
，
解得，
故选：．
根据点的平移规律可得平移后的点坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得，进一步求解即可．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，坐标与图形变化平移，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：设与直线：垂直的直线的斜率是，
两条直线垂直，两条直线的斜率的积是，直线：的斜率是，
，
．
故选：．
由两条直线垂直，两条直线的斜率的积是，即可解决问题．
本题考查两直线垂直的问题，关键是掌握：两条直线垂直，两条直线的斜率的积是
 

4.【答案】 

【解析】解：不等式组的解集为，
．
故选：．
根据不等式组取解集的方法确定出所求即可．
此题考查了不等式的解集，不等式组取解集的方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，，
，，是锐角，
由折叠可知，
是等腰三角形，
，
，
．
故选：．
根据在中，，可得，是锐角，根据折叠的性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据三角形外角的性质即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是熟悉相关的性质和定理．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可知不等式组可化为，
解不等式得，；
解不等式得，；
在数轴上表示为：，
故选：．
根据题意列出不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法即可求出答案．
本题考查新定义运算，解题的关键是正确理解新定义运算以及一元一次不等式组的解法，本题属于基础题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：若直线与函数的图象恰好有一个交点，则或，
故选：．
若直线与函数的图象恰好有一个交点，则直线与直线相交，与直线不相交，此时故，直线与直线相交，与直线不相交，此时故．
本题考查了两条直线的相交问题，熟悉一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，
设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，
，，
，
解得，
小正方形的边长为．
故选A．
将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，根据，，列出二元一次方程组，求出和，再求出边长即可．
本题考查了勾股定理与二元一次方程组的应用，根据题意运用好赵爽弦图是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，
点到原点的距离．
故答案为：．
直接根据勾股定理进行解答即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

10.【答案】或 

【解析】解：线段轴，，点的坐标为，
点的横坐标为或，纵坐标为，
点的坐标为或，
故答案为：或．
根据题意可知，点的纵坐标和点的纵坐标相等，横坐标是或，然后即可写出点的坐标．
本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确平行于轴的点的坐标特点是纵坐标相等．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，在等边中，，．
在与中，
，
≌，
．
，
，
．
故答案为：．
根据全等三角形的判定定理证得≌，则对应角，所以由三角形外角的性质求得．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
 

12.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象不经过第二象限，
且，
解得，
的取值范围是．
故答案为：．
由一次函数的图象不经过第二象限可以得到，，由此即可求出的取值范围．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，
等腰三角形的底边的长为，周长为，
，
点是边的中点，
，，
，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设直角三角形的斜边长为，另一条直角边的长为，
由题意得：
，
，
，是自然数，
与也是自然数，
当时，
，
解得：不成立；
当时，
，
，
这个三角形的面积，
满足条件的所有三角形的面积之和为，
故答案为：．
设直角三角形的斜边长为，另一条直角边的长为，根据勾股定理可得，从而可得，然后分两种情况，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

15.【答案】解：，
，
，
，
；
当，即时，；
当，即时，不等式恒成立；
当，即时，． 

【解析】先移项、合并同类项，再系数化为可得答案；
分，，三种情况，分别求解即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

16.【答案】解：设直线的解析式为，
直线与直线平行，
，
过点，
，
，
直线的解析式为，
令，则，
，
；
设直线的解析式为，如图，
直线与轴的交点，
直线垂直平分线段，
直线过的中点，
，，
的中点的坐标为，，
，
解得，
直线为，
代入点得，，
，
直线为． 

【解析】由直线与直线平行，可得到直线的一次项系数为，然后利用待定系数法即可求得解析式，进一步求得点的坐标；
由题意可知直线过的中点，，由此即可求解．
本题主要考查的是两条直线相互平行的问题，待定系数法求一次函数的解析式，线段的垂直平分线的性质，掌握相互平行的两条直线的一次项系数为相等是解题的关键．
 

17.【答案】证明：、分别是、边上的高线，
，
是的中点，
，，
；
解：，
，
，，
，，
，
，
，
． 

【解析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，，即可得证；
根据三角内角和定理可得，根据，，可得，，进一步可得，求出的度数，再根据等腰三角形的性质可得的度数．
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：设甲仓库运往工地水泥吨，则甲仓库运往工地水泥吨，乙仓库运往工地水泥吨，乙仓库运往工地水泥吨，


，
由题意可得，，
，
总运费关于的函数表达式为；
，，
随的增大而增大，
当时，最小，最小值为，
故甲仓库运往工地吨水泥时，总运费最省，最省的总运费是元；
若甲仓库运往工地的运费下降了元吨，
则
，
当，即时，
当，时，取得最小值为，
当，即时，
此时，随的增大而减小，且越小，随的增大而减小得越多，
当，时，取得最小值，最小值为，
综上，若甲仓库运往工地的运费下降了元吨，则最省的总运费为元． 

【解析】设甲仓库运往工地水泥吨，则甲仓库运往工地水泥吨，乙仓库运往工地水泥吨，乙仓库运往工地水泥吨，根据两仓库运往，两工地的运费即可求解．
根据一次函数的性质结合自变量的取值范围即可解答；
若甲仓库运往工地的运费下降了元吨，则，当，即时，根据一次函数的性质和自变量的取值范围求出此时的最小值，当，即时，根据一次函数的性质和自变量的取值范围求出此时的最小值，以此即可求解．
本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
 

19.【答案】解：过点作于点，如图所示：
，，
，，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
或舍去，
当时，，，
，
的面积；

经过秒，，，
当点与点相遇之前，，如图，
将绕点顺时针旋转到，
，，，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
点与点重合，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
，
，
解得；
当点与点相遇之后，，如图，
此时点与点重合，
，
解得，
综上所述，或，． 

【解析】根据等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出的长，再根据的面积求解即可；
当点与点相遇之前，，将绕点顺时针旋转到，可证≌，可得，进一步可知，根据列方程求解即可；当点与点相遇之后，，此时点与点重合，可得，求解即可．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，动点问题，三角形面积等，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．