2022-2023学年福建省福州十八中九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州十八中九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，直线、被直线所截，，，则的度数是(    )
 

A.
B.
C.
D.

3.  年槐荫教育大会发布了“教育提升三年行动计划”，计划中明确提出：年内提供中小学学位个、公办幼儿园学位个．其中用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示，正三棱柱的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在下列条件中，能够判定▱为矩形的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知实数、满足，则以、的值为两边长的等腰三角形周长是(    )

A. 或 B.  C.  D.

8.  已知二元一次方程，其中与互为相反数，则，的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列命题错误的是(    )

A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 菱形的对角线相等且互相平分 D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分

10.  二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；若点、点、点在该函数图象上，则；若方程的两根为和，且，则其中正确的结论有(    )
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  如图所示，菱形的对角线、相交于点若，，，垂足为，则的长为______．
 

13.  使代数式有意义的的取值范围是______ ．

14.  如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是______．

15.  如图，一次函数和相交于点，则关于的一元一次不等式的解集是______ ．

16.  如图，平行四边形中，对角线、相交于，，、、分别是、、的中点下列结论：
；；
≌；平分；
四边形是菱形其中正确的是______ 填写序号

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
．

18.  本小题分
化简：，并从、、、、这五个数中取一个合适的数作为的值代入求值．

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，、为上两点，且，，求证：
≌；
四边形是矩形．
 

20.  本小题分
已知：，．
求作：点，使点在内部．且，．

21.  本小题分
为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，“健美操”、“跳绳”、“剪纸”、“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
组所对应的扇形圆心角为______度；
若该校共有学生人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是______；
现选出了名跳绳成绩最好的学生，其中有名男生和名女生．要从这名学生中任意抽取名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到名男生与名女生的概率．

22.  本小题分
疫情期间，为满足市民防护需求，某药店想要购进、两种口罩，型口罩的每盒进价是型口罩的两倍少元．用元购进型口罩的盒数与用元购进型口罩盒数相同．
，型口罩每盒进价分别为多少元？
经市场调查表明，型口罩更受欢迎，当每盒型口罩售价为元时，日均销量为盒，型口罩每盒售价每增加元，日均销量减少盒．当型口罩每盒售价多少元时，销售型口罩所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？

23.  本小题分
如图，为的直径，弦平分交于，点在的延长线上，且．
求证：是的切线；
连接，若，探究线段和之间的数量关系，并给予证明；
在的条件下，若，求弦的长．

24.  本小题分
证明推断
如图，在中，，，是边上的高，点是边上一点，连接，过点作的垂线，垂足为，交于点．
求证：≌；推断：的值为______；
类比探究
如图，在中，，，是边上的高，点是边上一点，连接，过点作的垂线，垂足为，交于点探究的值用含的式子表示，并写出探究过程；
拓展运用
在的条件下，连接当，平分时，若，求的长．
 

25.  本小题分
如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．

求抛物线的表达式；
过点作，垂足为点设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
本题考查了无理数．解题的关键是明确无理数的表现形式，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像两个之间依次多一个等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．
先根据邻补角定义求得，然后再根据两直线平行，内错角相等即可解答．
【解答】
解：如图，
，，
，
，
．

故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
正三棱柱从上面看到的图形即俯视图．
考查简单几何体的三视图的画法，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．画三视图时还要注意“长对正、宽相等、高平齐”．
【解答】
解：俯视图是从上面看所得到的图形，看见的棱用实线表示，看不见的用虚线表示，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、与不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，单项式乘单项式的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：、▱中，，不能判定▱是矩形，故选项A不符合题意；
B、▱中，，
▱是菱形，故选项B不符合题意；
C、▱中，，
▱是菱形，故选项C不符合题意；
D、▱中，，
▱是矩形，故选项D符合题意；
故选：．
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，，
解得，，
是腰长时，三角形的三边分别为、、，
，
不能组成三角形；
是底边时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，
周长．
综上所述，等腰三角形的周长是．
故选：．
根据非负数的性质求出、，再分情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，掌握分情况讨论是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：，即，
代入已知方程得：，
解得：，
则．
故选：．
与互为相反数，那么，然后联立解方程组即可求解．
此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，故A正确，不符合题意；
矩形的对角线相等且互相平分，故B正确，不符合题意；
菱形的对角线垂直且互相平分，故C错误，符合题意；
正方形的对角线相等且互相垂直平分，故D正确，不符合题意；
故选：．
根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
根据抛物线的对称轴为直线，则有；观察函数图象得到当时，函数值大于，则，即；利用抛物线的对称性得到点关于对称轴对称的点坐标为：，然后利用二次函数的增减性求解即可，作出直线，然后依据函数图象进行判断即可．
本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【解答】
解：，
，故正确．
由函数图象可知：函数图象与轴有两个交点，
，故错误．
抛物线与轴的一个交点为，对称轴为，
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，
即，即；故正确；
抛物线的对称轴为，，
点关于对称轴对称的点坐标为：
，在对称轴的左侧，
随的增大而增大，
，故错误．
方程的两根为或，
过作轴的平行线，直线与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，

依据函数图象可知：，故正确．
正确的结论有：共三个，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于中考常考题型．
利用菱形的面积公式：，即可解决问题；
【解答】
解：四边形是菱形，
，，，
由勾股定理得：，
，
，
故答案为．  

13.【答案】且 

【解析】解：代数式有意义，
且，
的取值范围是且．
故答案为：且．
根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
首先根据底面半径，高，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．
此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．
【解答】
解：它的底面半径，高．
，
这个圆锥漏斗的侧面积是：
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：当时，，
关于的一元一次不等式的解集为．
故答案为：．
利用函数图象，写出直线在直线的上面所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接．
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，，
，，故正确，
，，
，故正确，
，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故正确，
，，，
≌，故正确，
同法可证四边形是菱形，
平分，故正确．
故答案为：．
正确，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可；
正确，利用直角三角形的斜边中线的性质证明即可；
正确，先证明正确，再根据证明可得结论；
正确，证明四边形是菱形，可得结论；
正确，根据邻边相等的平行四边形是菱形，证明即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

18.【答案】解：原式

，
由题意得：、、，
当时，原式． 

【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，，，
．
四边形是平行四边形，
．
在和中，
，
≌．
≌，
．
四边形是平行四边形，
．
，
，
四边形是矩形． 

【解析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点．
根据题中的已知条件我们不难得出：，，又因为，那么两边都加上后，，因此就构成了全等三角形的判定中边边边的条件．
由于四边形是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可．
 

20.【答案】解：先作出线段的垂直平分线；
再作出的角平分线，与的交点为；

则即为所求作的点． 

【解析】作的角平分线，作的垂直平分线，两条线交于点即可．
本题考查了作图复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线的作法．
 

21.【答案】解：；
补全图形如下：

；
人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为． 

【解析】

【分析】
本题主要考查了树状图求概率，条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，关键是从统计图中获取信息的能力 
由组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去、、人数求出组人数即可补全图形；
用乘以组人数所占比例即可；
总人数乘以样本中组人数所占比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
再由概率公式求解即可．
【解答】
解：本次调查的学生总人数为名，
组人数为名，
统计图见答案．
组所对应的扇形圆心角为，
估计该校喜欢跳绳的学生人数约是人，
见答案．  

22.【答案】解：设型口罩的每盒进价是元，则型口罩每盒进价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：型口罩的每盒进价是元，型口罩每盒进价是元；
设型口罩每盒售价是元，销售型口罩所得日均总利润为元，
根据题意得：，
，
时，取得最大值，最大值是元，
答：当型口罩每盒售价元时，销售型口罩所得日均总利润最大，最大日均总利润为元． 

【解析】本题考查分式方程及二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
设型口罩的每盒进价是元，则型口罩每盒进价是元，可得，即可解出答案；
设型口罩每盒售价是元，销售型口罩所得日均总利润为元，可得，由二次函数性质可得答案．
 

23.【答案】解：连接，

是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
为切线；
，

、、、均在上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
；
，
，，，
设，则，
在中，
，
，
，
负值舍去，
过作交于点，

，，
，
，
在中，，
，
． 

【解析】本题通过连接，证明即可，通过导角，得到，得出垂直；
通过和相似，得到对应边的比，通过圆周角的性质，得到，得到和的比，从而得到和的比得出结果；
过点作，由的结论，得到的长，在等腰直角中，得到和的长，在中，通过得到的长，然后得到的长．
本题考查了圆的切线性质，圆的圆周角相等的性质，考查了等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角函数等．
 

24.【答案】 

【解析】证明：如图中，

，，
，
是边上的高，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
；
故答案为：；
解：如图中，

，
，，
∽，
，
，
；
解：，
，
平分，
，
，
，
设，，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
中，是的中点，
．
根据证明三角形全等即可；
根据三角形全等的性质可得结论；
先根据正切得，证明∽，列比例式可得结论；
设，，表示，，根据，可得，，，根据三角函数可得的长，从而计算，，的长，最后根据直角三角形斜边中线的性质可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：将点、的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为：；
由抛物线的表达式知，点，
设直线的表达式为，
由点、的坐标得，
解得
直线的表达式为：；
由点，知点，点，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值为；
存在，理由：
点、的坐标分别为、，则，
当时，过点作轴于点，

则，即，
解得：舍去负值，
故点；
当时，则，
在中，由勾股定理得：，解得：或舍去，
故点；
当时，则，解得：，
为线段上的一个动点，
，即不合题意；
综上，点的坐标为或 

【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到运用待定系数法确定函数关系式、函数图象上点的坐标的特征、勾股定理、等腰三角形的概念等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
将点、的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
，即可求解；
分、、三种情况，分别求解即可．