15.1 分式(原卷版+解析版)-2022-2023学年八年级数学上册课后培优分级练（人教版）

15.1 分式

知识点01  分式的概念

1、分式的定义：

一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．

2、一个式子是分式需满足的三个条件：

①是形如的式子；

②A，B为整式；

③分母B中含有字母．三个条件缺一不可．

【注意】

（1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志．

（2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a-1）÷（a+1），但（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式．

知识点02  分式有意义、无意义的条件

1、分式有意义的条件：分式的分母不等于0．

2、分式无意义的条件：分式的分母等于0．

【注意】

（1）分式有无意义与分母有关，与分子无关．

（2）分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分式就没有意义了．

知识点03  分式的值为0的条件

分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0．

分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可．

【拓展】

对于分式，（1）若的值为正数，则或；（2）若的值为负数，则或；（3）若的值为1，则A=B且B≠0；（4）若的值为-1，则A+B=0且B≠0．

知识点04  分式的基本性质

1、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．

用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式．

分式的基本性质是分式变形的理论依据．

【注意】

①基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件．

②应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式．

③若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个整式C．

2、分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变．

用式子表示为：

或

知识点05  约分、最简分式

1、约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

2、最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．

【归纳】

（1）约分的依据是分式的基本性质：，其中A，B，C都是整式．

（2）约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式．

（3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分．

（4）约分的结果是整式或最简分式．

（5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变．

知识点06  通分

1、通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．

2、约分与通分的联系与区别

（1）约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值．

（2）约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言．

（3）约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式．

最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．

【注意】

（1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母．

（2）分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变．

3、确定最简公分母的方法：

（1）当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；

（2）当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确定．

4、通分的步骤

（1）求各分式的最简公分母；

（2）用这个最简公分母除以分式的分母；

（3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母．

培优第一阶——基础过关练

1．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＝2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2

【答案】D

【详解】解：由题意得：，

解得，

故选：D．

2．下列式子是分式的是（　　）

A． B．+y C． D．

【答案】C

【详解】解：A、分母中不含有字母，故该选项不是分式，该选项不符合题意；

B、分母中不含有字母，故该选项不是分式，该选项不符合题意；

C、分母中含有字母，符合分式的定义，故该选项是分式，该选项符合题意；

D、分母中不含有字母，故该选项不是分式，该选项不符合题意．

故选：C．

3．下列分式中是最简分式的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：A、＝，不是最简分式，故本选项错误，不合题意；

B、是最简分式，故本选项正确，符合题意；

C、＝，不是最简分式，故本选项错误，不合题意；

D、＝＝，不是最简分式，故本选项错误，不合题意；

故选：B．

4．若分式有意义，则x的值是（　　）

A．x＝-1 B．x>-1 C．x<-1 D．x≠-1

【答案】D

【详解】解：由题意得：x+1≠0，

解得：x≠-1，

故选D．

5．分式变形正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：

，

故选：C．

6．当x____时，分式有意义；当x_____时，分式值为零．

【答案】         

【详解】解：（1）由题意可得x-1≠0，

∴．

故答案为：；

（2）由题意得：x+2=0且x-3≠0，

解得x=-2．

故答案为：=-2．

7．小明用元钱去购买某种练习本．这种练习本原价每本元（），现在每本降价1元，购买到这种练习本的本数为______．

【答案】

【详解】解：根据题意得，现在每本单价为（b﹣1）元，

则购买到这种练习本的本数为（本）．

故答案为：．

8．化简下列分式：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）；（2）；（3）

【详解】解：（1）；

（2）；

（3）．

9．已知－＝4，求的值．

【答案】．

【详解】解：∵－＝4，

两边同时乘以ab，得

∴b－a＝4ab，

∴a－b＝-4ab，

∴＝＝．

10．下列分式，当取何值时有意义．

(1)；

(2)．

【答案】(1)；

(2)

【详解】(1)要使分式有意义，

则分母3x+2≠0，

解得：；

(2)要使分式有意义，

则分母2x-3≠0，

解得，．

培优第二阶——拓展培优练

1．下列分式属于最简分式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】A、，故此选项不符合题意；

B、，故此选项不符合题意；

C、是最简分式，故此选项符合题意；

D、，故此选项不符合题意．

故选：C．

2．当时，分式没有意义，则b的值为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【详解】解：当，，

∵分式没有意义，

∴，

∴，

故选：B．

3．下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；

B、，故本选项错误，不符合题意；

C、，故本选项正确，符合题意；

D、，故本选项错误，不符合题意；

故选：C

4．若，则A、B的值为（          ）．

A．A=3，B=﹣2 B．A=2，B=3 C．A=3，B=2 D．A=﹣2，B=3

【答案】B

【详解】解：

．

∵，

∴，

∴，

得：，

∴．

将代入①中，解得：，

∴方程组的解为：．

故选B．

5．把分式中的和分别扩大为原来的3倍，则分式的值（    ）

A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的

C．扩大为原来的9倍 D．不变

【答案】B

【详解】解：分式中的a，b都扩大为原来的3倍得：，

∴分式的值缩小为原来的，

故选：B．

6．若分式的值为零，则x的值为________．

【答案】

【详解】解；根据分式的值为零的条件得：，且，

解得：，

故答案为：．

7．分式 ， ，的最简公分母是_____________________

【答案】ab(a+b)(a-2b)

【详解】解：分式 ， ，的分母依次为：，，

故最简公分母是ab(a+b)(a-2b)

故答案为：ab(a+b)(a-2b)

8．化简约分

(1)

(2)

(3)

【答案】(1)6b

(2)

(3)

【详解】（1）=

（2）

=

=

（3）

=

=

9．已知，x取哪些值时：

(1)y的值是正数；

(2)y的值是负数；

(3)y的值是零；

(4)分式无意义．

【答案】(1)

(2)x＜或x＞2

(3)x＝2

(4)x＝

【详解】（1）根据题意，得

或，

解得；

（2）根据题意，得

或，

解得x＜或x＞2；

（3）根据题意，得

，

解得x＝2；

（4）根据题意，得

3﹣4x＝0，

x＝．

10．阅读下列解题过程：已知，求的值

解：由，知，所以，即，

∴，

∴的值为2的倒数，即

以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：

(1)已知，求的值；

(2)已知，求的值；

(3)已知，，，求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)1

【详解】（1）解：由，知，∴，即，

∴，

∴的值为7的倒数，即；

（2）由，知，∴，∴，即，

∴，

∴的值为21的倒数，即；

（3）由，知，，∴，即，

由，知，，∴，即，

由，知，，∴，即，

①＋②＋③得：，∴，

∴，

∴的值为1的倒数，即1．

培优第三阶——中考沙场点兵

1．分式有意义的条件是（    ）

A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠0

【答案】B

【详解】解：由分式的分母不能为0得：，

解得，

即分式有意义的条件是，

故选：B．

2．代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】B

【详解】分母中含有字母的是，，，

∴分式有3个，

故选：B．

3．若分式的值为零，则x的值为（    ）

A．1 B． C． D．0

【答案】A

【详解】解：根据题意得：且，

解得：．

故选：A

4．当x＝﹣2时，分式的值是（    ）

A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15

【答案】A

【详解】解：

把代入上式中

原式

故选A.

5．已知两个不等于0的实数、满足，则等于（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【详解】解：∵，

∴，

∵两个不等于0的实数、满足，

∴，

故选：A．

6．若分式的值为0，则x的值为__________．

【答案】3

【详解】由x2-9=0，得

x=±3．

又∵x+3≠0，

∴x≠-3，

因此x=3．

故答案为3．

7．若，则________．

【答案】

【详解】解：

，

；

故答案为：．

8．计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．

【答案】

【详解】解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）

=（x﹣2）2﹣x（x﹣1）

=

=．

9．已知：，，求代数式的值．

【答案】8

【详解】原式，

当，时，

原式．

10．化简并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边且a为整数．

【答案】 ，时，-1.    

【详解】解：原式==，

∵与、构成的三边，且为整数

∴，

由题可知、、，

 ∴，

∴原式=．