2023年高考考前押题密卷-数学（广东卷）（全解全析）

2023年高考考前押题密卷（广东卷）

数学·全解全析

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（原创）1．已知集合，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知，，即，所以，

所以.

故选：D.

（原创）2．已知a，，，则（    ）

A．5 B． C．3 D．

【答案】D

【解析】因为，所以，，

所以.

故选：D.

（改编）3．某个函数的大致图象如图所示，则该函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】4个选项函数定义域均为R，对于A, ，故为奇函数，且

对于B, 故为奇函数，，

对于C, ,故为偶函数，

对于D，故为奇函数，，

由图知为奇函数，故排除C；由，排除A,由，排除D,

故选：B．

4．中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的帐周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设圆的半径为，将内解正边形分成个小三角形，

由内接正边形的面积无限接近圆的面即可得：，

解得：.

故选：A.

5．已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，，

所以，

所以，向量在向量上的投影向量为.

故选：C．

6．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得：，

即，解得或，

∵，则，故，

可得，

所以.

故选：B.

7．某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有种，

其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有种，

由古典概型的概率计算公式可得，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为，

故选：C.

8．如图，在梯形ABCD中，，，，将△ACD沿AC边折起，使得点D翻折到点P，若三棱锥P-ABC的外接球表面积为，则（    ）

A．8 B．4 C． D．2

【答案】C

【解析】如图所示，

由题意知，，

所以，，

所以AB的中点即为△ABC外接圆的圆心，记为，

又因为，

所以，，

所以在中，取AC的中点M，连接PM，则△APC的外心必在PM的延长线上，记为，

所以在中，因为，，所以为等边三角形，

所以，

（或由正弦定理得：）

所以，

在中，，，，

设外接球半径为R，则，解得：，

设O为三棱锥P-ABC的外接球球心，则面ABC，面APC．

所以在中，，

又因为在，，

所以，，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又因为，

所以，

又因为面APC，

所以BC⊥面APC，

所以，

所以，即：.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（改编）9．已知函数的部分图像如图所示，则（    ）

A．

B．的图像关于点对称

C．的图像关于直线对称

D．函数为偶函数

【答案】ABC

【解析】对选项A，，，所以.

因为，所以，，.

又因为，所以，，.

因为，所以，即，故A正确.

对选项B，令，解得，，

所以的图像关于点对称，故B正确.

对选项C，令，解得，，

所以的图像关于直线对称，故C正确.

对选项D，，

因为，定义域为，，

所以为奇函数，故D错误.

故选：ABC

（改编）10．下列命题中正确是（    ）

A．中位数就是第50百分位数

B．已知随机变量X~，若，则

C．已知随机变量~，且函数为偶函数，则

D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为

【答案】ACD

【解析】对于选项A，中位数就是第50百分位数，选项A正确；

对选项B，，则，因此，故B错误；

对选项C，，函数为偶函数，

则，

区间与关于对称，

故，选项C正确；

对选项D，分层抽样的平均数，

按分成抽样样本方差的计算公式，选项D正确.故选：ACD.

11．已知函数是定义在上的可导函数，当时，，若且对任意，不等式成立，则实数的取值可以是（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】AB

【解析】函数是定义在上的可导函数，，则定义域为，

，为偶函数，

当时，，则在上单调递增，

当，，则有，

即，所以，

由，可得，

根据选项可知，实数a的取值可以是-1和0.

故选：AB.

12．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别是，，渐近线方程为，M为双曲线E上任意一点，平分，且，，则（    ）

A．双曲线的离心率为

B．双曲线的标准方程为

C．点M到两条渐近线的距离之积为

D．若直线与双曲线E的另一个交点为P，Q为的中点，则

【答案】ACD

【解析】不妨设为双曲线的右支上一点，延长，交于点，如图，

因为，所以，即，因为平分，所以为等腰三角形，

则为中点，又为中点，所以，

根据双曲线的定义得，，所以，，因为双曲线的渐近线方程为，所以，得，，，

所以双曲线的标准方程为，离心率为，所以A正确，B不正确；

设，代入，即，所以，点到两条渐近线的距离之积为，所以C正确；

设，，因为，在双曲线上，所以①，②，

①②并整理得，，因为，，

所以，，所以D正确.

故选：ACD.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

（改编）13．已知无穷数列满足，写出满足条件的的一个通项公式：___________.（不能写成分段数列的形式）

【答案】（答案不唯一）

【解析】由，，，

猜想.

故答案为：.（答案不唯一）

（原创）14．已知，函数都满足，又，则______．

【答案】

【解析】根据题意，，显然，

所以， 

所以，

所以函数的周期为8，所以.

故答案为：

15．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.

【答案】

【解析】，，，

由勾股定理得，

同理得，，

在中，，，，

由余弦定理得，

，

在中，，，，

由余弦定理得.

故答案为：.

16．已知抛物线与圆，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，，，，其中，在第一象限，，在第四象限，则最小值是______.

【答案】

【解析】的圆心为，半径为1，

所以圆心为抛物线的焦点，且圆M过抛物线的顶点.

当轴时，，则，

当斜率存在时，设其方程为，，

将代入得，

则，

所以，

当且仅当，即时取等号，

由知，的最小值为.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．（10分）

在数列中，，.

(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【解析】（1），

当时，，

数列是首项为，公比为的等比数列，

，；

（2）

数列的前项和

．

18．（12分）

已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求A；

(2)若的面积为，，点D为边BC的中点，求AD的长．

【解析】（1）因为，

所以由正弦定理可得，

即．

由余弦定理可得，

又，所以．

（2）因为，

所以，

即，

又，则，所以．

所以，．

所以，

所以．

在△ACD中，由余弦定理可得，

即．

19．（12分）

如图，在四棱台中，底面是菱形，，梯形底面，.设为的中点.

(1)求证：平面；

(2)上是否存在一点，使得与平面所成角余弦为，请说明理由.

【解析】（1）证明：取的中点，连接，则共面

又，所以；

由底面是菱形，，所以为正三角形，所以，

又，平面，所以平面，

又，，所以，所以平面.

（2）因为平面平面平面，，

平面平面，所以平面，

则以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，

所以，，

设，则，，

设平面法向量,

由，则，则,

所以，

整理得，由，

所以方程无实数根，故不存在这样符合条件的点.

20．（12分）

某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个．

(1)若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备"有关联？（单位：箱）

(2)若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱口罩中任取20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验．设每个口罩为不合格品的概率都为，且各口罩是否为不合格品相互独立．记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为，求最大时的值．

(3)现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以（2）中确定的作为的值．已知每个口罩的检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？

附表：

附：，其中．

【解析】（1）                                                                           

零假设为：有不合格品与新旧设备无关联．

由列联表可知的观测值

，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为箱中有不合格品与新旧设备有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．

（2）由题意，得，

则，

令，又，得．

当时，，当时，，

所以最大时的值．

（3）由（2）知．

设表示余下的480件产品中不合格品的数量，依题意知，

所以．

若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，则，

所以．

如果对余下的产品做检验，这一箱产品所需要的检验费为（元）．

364远大于100，所以应该对余下的480个口罩进行检验．

21．（12分）

已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线与轴交于点，过作直线交于两点，交于两点.已知直线交于点，直线交于点.试探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.

【解析】（1）由题意，，解得，

代入点得，解得，

的方程为：；

（2）

由题意，，当斜率都不为0时，设，，

当时，由对称性得，

当时，联立方程，得

恒成立，，

同理可得：，

直线方程：，

令，得，

同理：，

，

，

当斜率之一为0时，不妨设斜率为0，则，

直线方程：，直线方程：，

令，得，

，

综上：.

22．（12分）

已知函数．

(1)当时，求的零点个数；

(2)若恒成立，求实数a的值．

【解析】（1）当时，，则，

当，，函数在上单调递减；

当，，函数在上单调递增，

所以，

又，，所以存在，，

使得，即的零点个数为2．

（2）不等式即为，

设，，则，

设，，

当时，，可得，则单调递增，

此时当无限趋近时，无限趋近于负无穷大，不满足题意；

当时，由，单调递增，

当无限趋近时，无限趋近于负数，当无限趋近正无穷大时，无限趋近于正无穷大，故有唯一的零点，即，

当时，，可得，单调递减；

当时，，可得，单调递增，

所以，

因为，可得，

当且仅当时，等号成立，所以，

所以

因为恒成立，即恒成立，

令，，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，所以，即，

又由恒成立，则，所以.