2023年高考考前押题密卷-数学（全国甲卷理科）（参考答案）

2023年高考考前押题密卷（全国甲卷）

数学（理科）·参考答案

13．【答案】   14．【答案】．  15．【答案】   16．【答案】或

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分．

17．【详解】（1）选择条件①，，

在中，由余弦定理得，（2分）

整理得，则，又，所以.（5分）

选择条件②，，于是，

在中，由正弦定理得，，（2分）

因为，则，即，（3分）

因为，因此，即，又，所以.（5分）

选择条件③，，

在中，因为，即，（2分）

则，又，即有，则，所以.（5分）

（2）由（1）知，，有，（6分）

而与的平分线交于点，即有，于是，（7分）

设，则，且，（8分）

在中，由正弦定理得，，

所以，，（9分）

所以的周长为

，（10分）

由，得，则当，即时，的周长取得最大值，

所以周长的最大值为.（12分）

18．【详解】（1）根据表中数据可知增加的速度逐渐变快，

所以回归方程适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；（2分）

（2）对两边取自然对数，得，令，得,（3分）

由于，，，（4分）

则，，（6分）

∴关于的回归直线方程为，则关于的回归方程为；（7分）

（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C：丙与乙先赛，

由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，（8分）

则甲公司获胜的概率分别是，（9分）

，（10分）

，（11分）

由于，∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大．（12分）

19．【详解】（1）如图1，取中点，连接.

因为分别是的中点，所以，且，（1分）

所以是平行四边形，所以.因为，所以.（3分）

又，所以，所以是的中点.（5分）

又因为是的中点，所以，所以，所以四点共面．（6分）

（2）如图2，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，

所以，，，.（7分）

设平面的一个法向量为，

由可得，，取，则是平面的一个法向量.（9分）

设平面的一个法向量为，

由可得，，取，则是平面的一个法向量.（11分）

所以，，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．（12分）

20．【详解】（1）由已知得：，，，设，

因为M在椭圆上，所以①     （2分）

因为，将①式代入，得，所以，

所以椭圆的方程为．（4分）

（2）①设，则， ，所以，，

联立方程，得，则．（5分）

联立方程，得，，则，（6分）

椭圆的右焦点为，，，（7分）

因为，说明C，D，三点共线，即直线CD恒过点．（8分）

②因为直线CD恒过点，所以的周长为，

设内切圆的半径为，所以的面积，

所以，即，（9分）

若内切圆的面积最大，即r最大，也就是最大，

因为三点不共线，所以直线CD的斜率不为0，设直线CD的方程为，

代入得：，可得，，

又因为

令，（*）式化为：，（11分）

因为函数在上单调递增，所以当，即时，（*）式取最大值3，

所以，故，所以得到内切圆面积的最大值为，当时取得．（12分）

21．【详解】（1）由题意，有两个不相等正根，

所以有两个不相等正根，即有两个不相等正根，（1分）

记函数，则，

令，得，令，得，令，得，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，（3分）

令得，且，x无限趋近于0时，函数值无限趋向于0，

作出函数的图象，如图

   （4分）

要使有两个不相等正根，则函数与函数有两个交点，

由图知，故实数a的取值范围.（5分）

（2）函数定义域为，

当时，，在上单调递增，不符合题意；

当时，若时，，在上单调递减，

若时，，在上单调递增，（7分）

由题意，不妨设，先证明.要证，即证；

因为，且在上单调递增，故只需证明，（8分）

令，

则，所以在上单调递增，（9分）

所以当时，，则有，

因为，所以，则，故；

再证，即证.因为，且在上单调递增，（10分）

只需证明，即证，

因为，所以，

所以只需证明，令，（11分）

则．令，

当时，，所以在上单调递增，

当时，，于是，

从而可得在上单调递减，故，

所以成立，故.综上，.（12分）

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22【详解】（1）设A、B两点的极坐标分别为、，（2分）

则，

，因此，；（5分）

（2）根据对称性，不妨设、，

．（8分）

∵，则，

所以当时，即，时，．（10分）

[选修4-5：不等式选讲]

23．【详解】（1）当时，，

解，即，解得；    

当时，，

解，即，解得，无解；

当时，，

解，即，解得.（4分）

综上所述，不等式的解集为.  （5分）

（2）由（1）可知，.

当时，；

当时，；

当时，，（7分）

所以函数的最小值为2，所以，所以.（8分）

由柯西不等式可得，，（9分）

当且仅当时，等号成立.所以，所以。（10分）