2023年高考考前押题密卷-数学（全国甲卷文科）（全解全析）

2023年高考考前押题密卷（全国甲卷）

数学（文科） 全解全析

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（改编）复数在复平面内对应的点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】复数在复平面内对应的点为，则

故选：C.

2．已知全集，集合，则集合等于（     ）

A．      B．      C．      D．

【答案】B

【详解】由题意知，，

所以，，故选：B．

3．某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元.则下列说法错误的是（    ）

A．该公司2022年营收总额约为30800万元

B．该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的3倍还多

C．该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多

D．该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%

【答案】D

【详解】A：湖南省的营收额约为2156万元，占比7.00%，

所以2022年营收额约为万元，故A正确；

B：华南地区的营收额占比为19.34%，河南省的营收额占比为6.19%，

有，所以华南地区的营收额比河南省的3倍还多，故B正确；

C：华东地区的营收额占比为35.17%，西南地区的营收额占比为13.41%，

东北地区的营收额占比为11.60%，湖北的营收额占比为7.29%，

有13.41%+11.60%+7.29%=32.3%<35.17%，故C正确；

D：湖南的营收额占比为7.00%，华中地区的营收额占比为20.48%，

有，故D错误. 故选：D.

4．如图，网格小正方形的边长为1，网格纸上绘制了一个多面体的三视图，则该多面体的体积为 （    ）

A．14 B．7 C． D．

【答案】C

【详解】如图，由三视图还原可得，原几何体为三棱台，且有，，，.

因为平面，平面，，所以平面.

又，所以，三棱台的高即为.

又，，，，，，

所以，，

所以，由棱台的体积公式.故选：C.

5．（改编）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为，10种情况，

若这三个数之积为偶数有，9种情况，

它们之和大于8共有 ，5种情况，

从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，

若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为. 故选:D.

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．C． D．

【答案】A

【详解】由，可得，则定义域为，

则，

，

则为偶函数，其图像关于y轴轴对称，排除选项CD；

又，则排除选项B，正确选项为A.故选：A

7．数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：，，

，

又为整数，必须是2的次幂，即．

内所有的“幸运数”的和：

，故选：D．

8．（改编）在平面直角坐标系y中，圆的方程为，若直线上存在一点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的值不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由，得，则圆心，半径，

因为过点所作的圆的两条切线相互垂直，所以，及两切点构成正方形，且对角线，

在直线上，则圆心到直线的距离，解得或

根据选项，满足条件的为B.故选：B.

9．将函数图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，并沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象．若的图象关于点对称，则函数在上零点的个数是（    ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】将图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象，

继续沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得的图象，

∵的图象关于点对称，得，．

又∵，∴，∴．

令，当时，有，由，可得，，

结合函数的图象可得，在上只有2个解，

即函数在上零点的个数是2．故选：B.

10．如图，在已知直四棱柱中，四边形为平行四边形，分别是的中点，以下说法错误的是（    ）

A．若，，则     B．

C．平面                     D．若，则平面平面

【答案】B

【详解】对于A，连接，，，

，又，，即；

，，四边形为平行四边形，，，A正确；

对于B，连接，分别为中点，，又，，

，与不平行，B错误；

对于C，连接，分别为中点，，；

，，四边形为平行四边形，，，

为中点，，，，四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面，C正确；

对于D，连接，，四边形为平行四边形，四边形为菱形，；

平面，平面，，

又，平面，平面，

平面，平面平面，D正确.  故选：B.

11．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，则下列判断不正确的是（    ）

A．若过点，则的准线方程为     B．若过点，则

C．若，则               D．若，则点的坐标为

【答案】D

【详解】设，对于A项，若过点，则点的坐标为，所以，

故的准线方程为，故A项正确；对于B项，由A可得的方程为，

与的方程联立，消去并整理，得，则，，

根据抛物线的定义，可得，，.

所以，所以，故B项正确；

对于C项，将的方程与的方程联立，得，所以，.

设，则，所以，即，

由得，即，

所以，所以，故C正确；

对于D项，由C知，，所以焦点，故D错误.故选：D.

12．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为函数恰有5个零点，

所以方程有个根，所以有个根，

所以方程和共有5个根；

当时，，，

当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减；

因为，所以，，当且时，，时，，

当时，，，

故函数在上的图象为对称轴为，顶点为的抛物线的一段，

根据以上信息，作函数的图象如下：

观察图象可得函数的图象与函数的图象有2个交点，所以方程有两个根，

所以方程有3个异于方程的根，

观察图象可得，所以的取值范围为..故选：D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．曲线在点处的切线方程为___________.

【答案】

【详解】因为，

所以，所以切线方程为：，

即：.  故答案为：.

14．已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为______.

【答案】

【详解】因为，与的夹角为，所以，

所以，

得，又，所以，

又因为，所以.故答案为：.

15．写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式______．①；②数列的前n项和存在最小值．

【答案】(答案不唯一)

【详解】∵，∴数列是等差数列，

∵数列的前n项和存在最小值，∴等差数列的公差，，

显然满足题意．故答案为：．

16．已知双曲线的左､右焦点分别为，点是的一条渐近线上的两点，且（为坐标原点），.若为的左顶点，且，则双曲线的离心率为

【答案】

【详解】设双曲线的焦距为，

因为，所以，所以关于原点对称，所以四边形为平行四边形，

又，所以四边形为矩形，因为以为直径的圆的方程为，

不妨设所在的渐近线方程为，则，

由解得或，不妨设，

因为为双曲线的左顶点，所以，所以，

又，由余弦定理得，

即，整理得，所以离心率.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分．

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

(1)求的值；(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：的周长为9．

【答案】(1)2  (2)

【详解】（1）∵， 则，  （3分）

∴.  （4分）

（2）由（1）可得，由正弦定理可得，  （5分）

若选条件①：由余弦定理，即，  （7分）

注意到，解得，则，由三角形的性质可知此时存在且唯一确定，  （9分）

∵，则，可得，  （11分）

∴的面积.  （12分）

若选条件②：∵，可得，则有：    

若为锐角，则，由余弦定理，即，

整理得：，且，解得，则；（7分）

若为钝角，则，由余弦定理，即，

整理得：，且，解得，则；（10分）

综上所述：此时存在但不唯一确定，不合题意.（12分）

若条件③：由题意可得：，即，解得，则，（6分）

由三角形的性质可知此时存在且唯一确定，（7分）

由余弦定理可得，（9分）

则，可得，（11分）

∴的面积.（12分）

18．一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，.

(1)根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；

(2)已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？（注：年利润=年销售额一年投入成本）

参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.

【答案】(1)  (2)当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值

【详解】（1）解：令，则关于的线性回归方程为，  （1分）

由题意可得，，  （3分）

则，所以，关于的回归方程为.  （5分）

（2）解：由可得，  （7分）

年利润，  （9分）

当时，年利润取得最大值，此时，  （11分）

所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值.   （12分）

19．如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.

(1)已知点满足，求证四点共面；(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析(2)

【详解】（1）证明：如图，作中点，连接，

因为是平行四边形，所以，  （2分）

在中，为中位线，故，所以，故四点共面．  （5分）

（2）设到平面的距离为，点到平面的距离为，  （7分）

在中，．故的面积．  （9分）

同理，由三棱锥的体积，  （10分）

所以，得．故到平面的距离为．  （12分）

20．已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．(1)求椭圆C的方程；(2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．①证明：直线CD过椭圆右焦点；②椭圆的左焦点为，求的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

【答案】(1)(2)①证明见解析；②定值为8.

【详解】（1）由已知得：，，，

设，因为M在椭圆上，所以①（2分）

因为，

将①式代入，得，得，（4分）

所以椭圆．（5分）

（2）①证明：设，则，，同理可得，，（6分）

联立方程，得，，则．  （7分）

同理联立方程，可得，，则.   （8分）

又椭圆的右焦点为，所以，，（9分）

因为，说明C，D，三点共线， 即直线CD恒过点．（10分）

②周长为定值．因为直线CD恒过点，根据椭圆的定义，所以的周长为．（12分）

21．已知函数，为常数，且.(1)判断的单调性；(2)当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：.

【答案】(1)答案见解析  (2)证明见解析

【详解】（1）∵，

∴，，记，（1分）

①当，即时，恒成立，

所以在上恒成立，所以在上单调递增.（2分）

②当，即时，

方程有两个不等实根，且，，

∴，，，单调递增，

，，，单调递减，

，，，单调递增，（4分）

综上所述：①当时，在上单调递增，②当时，在和上单调递增，在上单调递减.（5分）

（2）∵，∴，（6分）

由（1）可知时，在上单调递增，故不妨设，

要证：，即证：，（7分）

又∵当时，在上单调递增，∴只需证，

又∵，∴只需证：，（8分）

即证：，（），记，，

，

∴当时，恒成立，单调递增，（11分）

∴，∴原命题得证.即.（12分）

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022），简称“杭州2022年亚运会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办；2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变。某高中体育爱好者为纪念在我国举办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章捐献给亚运会。如图，在极坐标系Ox中，方程表示的图形为“四叶草”对应的曲线C．

(1)设直线l：与C交于异于O的两点A、B，求线段AB的长；

(2)设P和Q是C上的两点，且，求的最大值．

【答案】(1)9   (2)

【详解】（1）设A、B两点的极坐标分别为、，（2分）

则，

，因此，；（5分）

（2）根据对称性，不妨设、，

．（8分）

∵，则，

所以当时，即，时，．（10分）

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若的最小值为m，正数a，b，c满足，求证．

【答案】(1)  (2)答案见详解

【详解】（1）当时，，

解，即，解得；    

当时，，

解，即，解得，无解；

当时，，

解，即，解得.（4分）

综上所述，不等式的解集为.  （5分）

（2）由（1）可知，.

当时，；

当时，；

当时，，（7分）

所以函数的最小值为2，所以，所以.（8分）

由柯西不等式可得，，（9分）

当且仅当时，等号成立.所以，所以。（10分）