北京市房山区2023届初三中考一模数学试卷+答案（正式版本）

这是一份北京市房山区2023届初三中考一模数学试卷+答案（正式版本），共8页。

房山区2023年初中学业水平考试模拟测试（一）
九 年 级 数 学
本试卷共8页，共100分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。

一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如图是某几何体的展开图，该几何体是
（A）长方体 （B）四棱锥
（C）三棱柱 （D）正方体
2．中国立足本国国情、粮情，实施新时期国家粮食安全战略，走出了一条中国特色粮食安全之路. 2022年我国全年粮食产量68653万吨，比上年增加368万吨，增产0.5% .
将686 530 000用科学记数法表示应为
（A）68653×104 （B）0.68653×109 （C） 6.8653×108 （D）6.9×108
3．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成
的平面图形，则的值
为
（A）180° （B）360°
（C）540° （D）720°
4．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，
实数c满足，下列结论中正确的是
（A） （B）| a | > b
（C） （D）| c | > | a |
5．直尺和三角板如图摆放，∠1 = 50°，则∠2的度数为
（A）30° （B）40°
（C）45° （D）50°



l
l
l
6．下列图形中，直线l为该图形的对称轴的是

l




（A） （B） （C） （D）
7．同时抛掷面值为1角，5角，1元的三枚质地均匀的硬币，则三枚硬币都正面向上的概率是
（A） （B） （C） （D）
图8-1 图8-2
8．如图8-1，在边长为4的等边△ABC中，点D在BC边上，设BD的长度为自变量x，以下哪个量作为因变量y，使得x，y符合如图8-2所示的函数关系
（A）△ABD的面积
（B）△ABD的周长
（C）△ACD的面积
（D）△ACD的周长

二、填空题（共16分，每题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
10．分解因式：=　 　．
11．计算：=　 　．
12．在平面直角坐标系xOy中，若点A（1，m），B（3，n）在反比例函数（k<0）的图象上，则m　 　n（填“>”“=”或“<”）
13．如图，△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC交BC
于点E．若AC = 5，DE = 3，则BE =　 　．
14．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a =　 　，c =　 　．
15．某校要在张平和李波两位跳远成绩优秀的同学中选择一位同学代表学校参加区春季运动会. 体育老师对两位同学近10次的测试数据进行了统计，发现其平均数都是5.72米，并将两位同学的测试数据制成了折线图. 如果要选出一名发挥相对稳定的同学参赛，则应该选择 （填“张平”或“李波”）.
次数编号
成绩/米
张平
李波

16．为进一步深化“创城创卫”工作，传播健康环保的生活理念，房山区持续推进垃圾分类工作. 各乡镇（街道）的党员、志愿者纷纷参与“桶前值守”，在垃圾桶旁监督指导居民对垃圾进行分类. 某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示：
志愿者
可参与值守时间段1
可参与值守时间段2
甲
6 : 00-8 : 00
16 : 00-18 : 00
乙
6 : 30-7 : 30
17 : 00-20 : 00
丙
8 : 00-11 : 00
18 : 00-19 : 00
丁
7 : 00-10 : 00
17 : 30-18 : 30
已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最短为_______小时，最长为_______小时（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完）.

三、 解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17．计算：．


18．解不等式组：


19．已知，求代数式的值．

20．下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明.
等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）.
方法一：
已知：如图，△ABC中，
AB = AC，AD平分∠BAC.
求证：BD = CD，AD⊥BC.




方法二：
已知：如图，△ABC中，AB = AC，点D为BC中点.
求证：∠BAD =∠CAD，
AD⊥BC.






方法三：
已知：如图，△ABC中，AB = AC，AD⊥BC.
求证：BD = CD，
∠BAD =∠CAD.










21．如图，ABCD中，对角线AC、BD交于点O，在BD上截取OE = OF = OA.
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AE = AF，求证：AC平分∠BAD.








22．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，a）在直线l1：上，直线
l2：y = x＋m过点B（2，3）.
（1）求a的值及直线l2的表达式；
（2）当x >－1时，对于x的每一个值，函数的值大于函数
y = x＋m的值，直接写出k的取值范围.





23．如图，△ABC中，AB = AC，以BC为直径作⊙O，与边AC交于点D，过点D的⊙O的切线交BC的延长线于点E.
（1）求证：∠BAC = 2∠DBC；
（2）若cos∠BAC =，DE = 4，求BE的长.










24．2023年国际数学日的主题是“给每一个人的数学”. 在数学日当天，甲、乙两所学校联合举办九年级数学知识竞赛. 为了解两校学生的答题情况，从中各随机抽取20名学生的得分，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息.
a．两校学生得分的数据的频数分布直方图如下：
（数据分成4组：20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x≤100）
甲校20名学生得分频数分布直方图
乙校20名学生得分频数分布直方图

频数

得分/分
得分/分
频数


b．其中乙校学生得分在60≤x＜80这一组的数据如下：
68 68 69 73 74 74 76 76 77 78 79
c．两组样本数据的平均数、中位数如下表所示：
学校
平均数
中位数
甲校
68.25
69
乙校
67.65
m
根据所给信息，解答下列问题：
（1）写出表中m的值：m = ；
（2）一名学生的成绩为70分，在他所在的学校，他的成绩超过了一半以上被抽取的学生，他是 （填“甲校”或“乙校”）学生；
（3）在这次数学知识竞赛中，你认为哪个学校的学生表现较好，为什么？





25．如图25-1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上. 若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图25-2所示的平面直角坐标系. 拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系.


竖直高度y/m
水平距离x/m
O








图25-1 图25-2
（1）拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
2
3
6
8
10
12
竖直高度y/m
4
5.4
7.2
6.4
4
0




根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系.

（2） 一段时间后，公园重新维修拱门. 新拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y =－0.288（x－5）2＋7.2，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为d1，“新拱门”的跨度为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）．


26．已知抛物线经过点（1，1）.
（1）用含a的式子表示b及抛物线的顶点坐标；
（2）若对于任意≤x≤，都有y≤1，求a的取值范围.




27．如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，连接AE，将射线AE绕点A逆时针旋转90°交CD的延长线于点F，连接EF，取EF中点G，连接DG.
（1）依题意补全图形；用等式表示∠ADG与∠CDG的数量关系，并证明；
（2）若DG =DF，用等式表示线段BC与BE的数量关系，并证明.









28．在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：y = kx＋b（k ≠ 0）和点P，给出如下定义：将点P向右（k > 0）或向左（k < 0）平移 | k | 个单位长度，再向上（b≥0）或向下
（b < 0）平移 | b | 个单位长度，得到点P'，将点P' 关于y轴对称点Q称为点P关于直线l的“平移对称点”.
（1）如图，已知直线l为.
①点A坐标为（1，2），则点A关于直线l的“平移对称点”坐标为 ；
②在直线l上是否存在点B，使得点B关于直线l的“平移对称点”还在直线l上？若存在求出点B的坐标，若不存在请说明理由.

（2）已知直线m：y =－x＋b，若以点T（t，0）为圆心，1为半径的圆上存在一点P，使得点P关于直线m的“平移对称点”在直线m上，直接写出t的取值范围.





房山区2023年初中学业水平考试模拟测试（一）
九年级数学参考答案

一、选择题（共16分，每题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
A
B
D
D
C

二、填空题（共16分，每题2分）
9.x≥5 10.a(x－1)2 11.a+b 12.＜
13. 14.答案不唯一，ac=4即可 15.李波 16. 5，14

三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）

17．


………………………………4分

………………………………5分

18. 解①得：x＜3 ………………………………2分
解②得：x＞2 ………………………………4分
∴不等式组的解集是2＜x＜3 ………………………………5分

19. 解：
………………………………2分
………………………………3分

………………………………4分

………………………………5分


20. 方法一：
证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD， ………………………………1分
在△BAD与△CAD中，

∴△BAD≌△CAD ………………………………3分
∴BD=CD，∠BDA=∠CDA， ………………………………4分
∵∠BDA+∠CDA=180°，
∴∠BDA=∠CDA=90°
∴AD⊥BC ………………………………5分

方法二：
证明：∵点D为BC中点，
∴BD=CD， ………………………………1分
在△BAD与△CAD中，

∴△BAD≌△CAD ………………………………3分
∴∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA， ……………………4分
又∵∠BDA+∠CDA=180°，
∴∠BDA=∠CDA=90°
∴AD⊥BC ………………………………5分

方法三：
证明：∵AB=AC
∴∠B =∠C ………………………………1分
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠CDA=90° ………………………………2分
在△BAD与△CAD中，


∴△BAD≌△CAD ………………………………4分
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD. ………………………………5分

（其它证法酌情给分）


21.




（1） 证明：∵ ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
∴OA=OC， ………………………………1分
又∵OE=OF=OA，
∴四边形AECF是平行四边形， ……………………2分
∵ OE=OF=OA=OC，
∴OE+OF=OA+OC，
即AC=EF，
∴ AECF是矩形. ………………………………3分

（2）证明：∵四边形AECF是矩形且AE=AF，
∴四边形AECF是正方形， …………………………4分
∴AC⊥EF，
∴ ABCD是菱形， …………………………5分
∴AC平分∠BAD. …………………………6分

（其它证法酌情给分）

22.（1）解：∵点A（1，a）在直线y = kx + 3k（k >0）上，
∴a = k +3k =3 ………………………………1分
即a值为3
∵直线y = x + m经过点B（2，3），
∴2+m=3，
∴m=1. ………………………………2分
∴直线的表达式为y = x + 1 . ……………………3分
（2）k的取值范围为1≤k≤. ………………………………5分

23.（1）证明：连接AO， ……………………1分
∵AB=AC，点O为直径BC中点，
∴AO⊥BC，∠BAC=2∠OAC， ……………………2分
∴∠OAC+∠ACO=90°，
∵BC为⊙O直径，点D在⊙O上，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠ACO=90°，
∴∠DBC=∠OAC，
∴∠BAC=2∠DBC； ……………………3分

（2）解：连接OD， ……………………4分
∴∠DOE=2∠DBC，
又∵∠BAC=2∠DBC，
∴∠BAC=∠DOE， ……………………5分
∴cos∠DOE= cos∠BAC =，
∵DE切⊙O于点D，
∴∠ODE=90°，
在Rt△ODE中，
cos∠DOE = =，
∴设OD=3x，OE=5x，
∴由勾股定理可得，DE=4x，
∵DE=4，
∴4x=4，
∴x=1，
∴OE=5，OD=3，
∴OB=OD=3，
∴BE=OB+OE=3+5=8. ……………………6分
（其它解法酌情给分）

24. （1）74 ……………………2分
（2）甲校 ……………………4分
（3）答案不唯一 ……………………6分


25. （1）“门高”： 7.2 m ……………………1分

设函数表达式 （a＜0） ……………………2分
将点（12，0）代入得：，解得，
故拱门上的点满足的函数关系为：. …………………3分

（2） ＞ ……………………5分

26.（1）把（1,1）代入表达式得，，
∴ ……………………1分
抛物线为
抛物线顶点坐标为 ……………………2分

（2）∵抛物线关于x=a对称，开口向上，
∴当≤x≤时，由对称性得，x=时函数y有最大值：
y最大=(a+2－a)2－a2+2a=－a2+2a+4. ……………………3分
∵对于任意≤x≤,都有y≤，
∴－a2+2a+4≤ ……………………4分
即a2－2a－3≥0
∴ a≤－1或a≥ ……………………6分

（其它解法酌情给分）

27.（1）补完图形如下：


……………………1分

∠ADG=∠CDG. ……………………2分
证明：如图，连接AG、CG
∵∠EAF=90° ，点G是EF中点，
∴AG=EF
∵正方形ABCD，∠ECF=90° ，
∴CG=EF
∴AG=CG ……………………3分
∵AD=CD，DG=DG
∴△ADG≌△CDG
∴∠CDG=∠ADG ……………………4分
（2）BC=3BE ……………………5分
过点G作GH⊥CD于点H，
易证GH是△CEF的中位线，
∴CE=2GH. ……………………6分
易证△GDH是等腰直角三角形，
∴DG =GH.
又∵DG=DF，∴DF=GH.
易证△ADF≌△ABE ∴DF=BE，
∴BE=GH.
∵CE=2GH，
∴CE=2BE
∴BC=3BE ……………………7分
（其它证法酌情给分）

28.（1）①（－2，1）； ……………………2分
②存在.
设点B坐标为（x，x－1），则它向右平移1个单位，再向下平移1个单位
的点坐标为B'（x+1，x－2），B'关于y轴对称点坐标为（－x－1，x－2） ……………3分
代入y = x－1得x－2 =－x－1－1，x = 0； ……………………4分
∴点B坐标为（0，－1）. ……………………5分

（2）－≤t≤ ……………………7分