21.2 解一元二次方程-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练（人教版）

21.2解一元二次方程

培优第一阶——基础过关练

一、单选题

1．方程的解是（         ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：由原方程可得：x2=1，

两边开平方可得：，

故选：C．

2．如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是(        )

A．    B．     C．     D．

【答案】A

【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，

∴3＋1＝−p，3×1＝q，

∴p＝−4，q＝3，

所以这个一元二次方程是，

故选：A．

3．用配方法解方程：，下列配方正确的是（          ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：由题意可得：，

∴；

故选A．

4．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（          ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】A

【详解】解：根据题意得Δ＝＝0，

解得m＝9，

故选：A．

5．关于x的方程的一个根为1，则方程的另一个根与m的值分别为（         ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【详解】解：设方程的另一根为x2．

∵关于x的方程的一个根为1，

∴x=1满足关于x的一元二次方程，

∴，

解得m=-4；

又由韦达定理知1×x2=3，

解得x2=3．

故方程的另一根是3．

故选：A．

6．下列一元二次方程无实数根的是（          ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；

B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；

C．，方程没有实数根，符合题意；

D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意；

故选： C．

二、填空题

7．一元二次方程的根是____________．

【答案】或

【详解】解：由题意可知：或，

∴或，

故答案为：或．

8．关于x的方程无实数解，则m的取值范围________．

【答案】

【详解】∵无实数解，

∴m+1<0，

解得

故答案为．

9．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．

【答案】

【详解】解：根据题意得Δ=(-4)2-4×1×(-2m+5)＞0，

解得m>，

所以实数m的取值范围是m>．

故答案为：m>．

10．方程的根是___________．

【答案】或

【详解】解：移项，得：，

将左边因式分解，得：，

即，

∴或，

解得：或，

故答案为：或．

三、解答题

11．用适当的方法解下列方程：

(1)      (2)       (3)       (4)．

【答案】(1)，；(2)，；(3)，；(4)，

【解析】(1)解：将移项得

，

开平方得，

解得，；

(2)解：在中

，

∴，

解得，；

(3)解：由得

，

∴或，

解得，；

(4)解：将两边加上1得

，

即，

开平方得，

解得，．

12．已知关于x的一元二次方程．

(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？

(2)当时，用合适的方法求此时该方程的解．

【答案】(1)，且；(2)，

【解析】(1)解：由题意得:＞0，

即：，

，

解得：，

∵该方程为一元二次方程，

∴，

∴当，且时，方程有两个不相等的实数根；

(2)解：当m＝2时，方程为，

∵＝9＋4×2×2＝25＞0，

∴，

∴，．

培优第二阶——拓展培优练

一、单选题

1．关于的方程有实数根，则的取值范围值是（          ）

A． B． C．且 D．且

【答案】A

【详解】解：当方程为一元二次方程时，

m-1≠0，即m≠1．

∵关于x的方程有实数根，

∴，

解得；

当方程为一元一次方程时，

m-1=0且m≠0，

则m=1，

综上，时方程有实数根．

故选：A．

2．关于的方程有两个实数根，，且，则的值为（         ）

A．1 B．5 C．0或5 D．1或5

【答案】B

【详解】解：关于的方程有两个实数根，，

方程根的判别式，，

解得，

当时，方程为，解得，不符题意，

则，

，

，

解得或（舍去），

经检验，是所列分式方程的解，

故选：B．

3．若一元二次方程的解为a、b，则一次函数的图象不经过的象限是（        ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【详解】解：∵方程的两个实数根分别是a、b，

∴a+b=-2、ab=-3， 则一次函数的解析式为y=-2x+3，

∴该一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，

故选：C．

4．已知关于x的一元二次方程的两根分别记为，若，则的值为（　 　）

A．7 B． C．6 D．

【答案】B

【详解】解：将代入得，，解得：；

∴，

∴

∴，

故选：B．

5．若是方程的两个实数根，则的值为（         ）

A．3或 B．或9 C．3或 D．或6

【答案】A

【详解】解：∵，

∴，

,则两根为：3或-1，

当时，，

当时，，

故选：A．

6．关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（           ）

A．有两个相异正根    B．有两个相异负根    C．有一个正根和一个负根   D．无实数根

【答案】C

【详解】解：由题意得：方程可化为，

∴，

∴该方程有两个不相等的实数根，

设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：，

∴该方程的两个根为一正一负，

故选C．

二、填空题

7．如果一元二次方程的两个根为，，则______．

【答案】-4

【详解】解：由题意得： ， ，

∴

=-4．

故答案为：-4．

8．已知，则的值是___________．

【答案】7

【详解】令（t），

∴原方程化为t（t－1）＝42，

解得t＝7，或t＝－6（舍），

∴，

故答案为：7．

9．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两个根，则的值为_______．

【答案】12或16

【详解】解：由题意，分以下两种情况：

（1）当6为等腰三角形的腰长时，则

关于 x 的方程 x2−8x+m=0的一个根x1=6

代入方程得，36-48+m=0

解得m=12

则方程为 x2−8x+12=0

解方程，得另一个根为x2=2

∴等腰三角形的三边长分别为 6，6，2，经检验满足三角形的三边关系定理；

（2）当6为等腰三角形的底边长时，则

关于x的方程 x2−8x+m=0 有两个相等的实数根

∴根的判别式

解得，m=16

则方程为x2−8x+16=0

解方程，得 x1=x2=4

∴等腰三角形的三边长分别为4，4，6，经检验满足三角形的三边关系定理．

综上，m的值为12或16．

故答案为：12或16．

10．设，是一元二次方程的两个根，则______．

【答案】0

【详解】解:∵α，β是一元二次方程x2+3x−7=0的两个根，

∴α2+3α−7=0，，

∴原式＝．

故答案为：0

三、解答题

11．设关于x的方程x2−5x−m2+1=0的两个实数根分别为α、β．

(1)证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)当|α|+|β|≤6时，试确定实数m的取值范围．

【答案】(1)见解析；(2)−≤m≤．

【解析】(1)证明：∵Δ=（-5）2-4(−m2+1)=4m2+21＞0，

∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

(2)解：关于x的方程x2−5x−m2+1=0的两个实数根分别为α、β，

∴α+β=5，αβ=1-m2，

∵|α|+|β|≤6，

∴α2+β2+2|αβ|≤36，

即（α+β）2-2αβ+2|αβ|≤36．

∴25-2（1-m2）+2|1-m2|≤36，

当1-m2≥0时，25≤36成立，

∴-1≤m≤1．①

当1-m2＜0时，

得25-4（1-m2）≤36，

∴−≤m≤．②

由①、②得−≤m≤．

12．阅读材料：

材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．

材料2：已知实数，满足，，且，求的值．

解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以

根据上述材料解决以下问题：

(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．

(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．

(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．

【答案】(1)；；(2)；(3)3

【解析】(1)，；

故答案为；；

(2)，，且，

、可看作方程，

，，

；

(3)把变形为，

实数和可看作方程的两根，

，，

．

13．阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．

再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，解得．

（1）解下列方程：

①

②

（2）根据材料给你的启示，求函数的最小值．

【答案】（1）①，，；②；（2）

【详解】（1）①∵

∴

∴，，

②∵

∴，即

∴

∴，

∵

∴

∵

∴

∴（舍去）

∴的解为：

（2）将原函数转化成关于x的一元二次方程，得，

当时，

∵x为实数       

∴       

∴且；

当时，得：，方程有解（x的值存在）；

∴

∴．

培优第三阶——中考沙场点兵

一、单选题

1．（2022·山东临沂·中考真题）方程的根是（         ）

A．，       B．，    C．，  D．，

【答案】B

【详解】解：，

或

解得：

故选B

2．（2022·河南商丘·三模）关于x的方程的根的情况是（          ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．不能确定

【答案】A

【详解】解：，

故方程有两个不相等的实数根，

故选：A．

3．（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　   　）

A．﹣3 B．0 C．3 D．9

【答案】C

【详解】解：x2+6x+c＝0，

移项得：

配方得： 而（x+3）2＝2c，

解得：

故选C

4．（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（          ）

A．2或6 B．2或8 C．2 D．6

【答案】A

【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,

∴,

∴

∵是方程的两个实数根,

∵，

又

∴

把代入整理得,

解得,

故选A

5．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根的情况（         ）

A．有两个相等的实数根     B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根    D．无法确定

【答案】B

【详解】解：由题意可知：，

∴，

∴方程由两个不相等的实数根，

故选：B．

6．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（         ）

A．7 B． C．6 D．

【答案】B

【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，

∴+=2，

∵，

∴=3，

∴·=-a=-3，

∴a=3，

∴．

故选B．

二、填空题

7．（2022·湖南长沙·中考真题）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数t的值为___________．

【答案】

【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

，

，

故答案为：．

8．（2022·黑龙江绥化·中考真题）设与为一元二次方程的两根，则的值为________．

【答案】20

【详解】解：∵

△=9-4=5＞0，

∴，，

∴=，

故答案为：20；

9．（2022·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为_____．

【答案】

【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，

∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，

∴a+b=4，ab=3，

∴，

故答案为：．

10．（2022·四川眉山·中考真题）设，是方程的两个实数根，则的值为________．

【答案】10

【详解】解：根据题意，

∵，是方程的两个实数根，

∴，，

∴；

故答案为：10．

三、解答题

11．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：

【答案】，

【详解】解：∵

∴或

解得，．

12．（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于的一元二次方程．

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】(1)，

∵，

∴，

该方程总有两个不相等的实数根；

(2)方程的两个实数根，，

由根与系数关系可知，，，

∵，

∴，

∴，

解得：，，

∴，即．

13．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：

材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝

材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．

解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，

∴m＋n＝1，mn＝－1，

则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝        ；x1x2＝        ．

(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．

(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．

【答案】(1)；；(2)；(3)或

【解析】(1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，

∴，．

故答案为：；．

(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，

∴，，

∴

(3)∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，

∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，

∴，，

∵

∴或，

当时，，

当时，，

综上分析可知，的值为或．